2026年上海市复旦附中自主招生考试数学试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年上海市复旦附中浦东分校九年级毕业生自主招生考试数学试题1．已知，则．2．若满足关于的不等式的解的最大值为，则．3．已知x，y为正整数，满足，则．4．已知，且，则．5．10名选手进行单循环下棋比赛，胜者记2分，平者记1分，负者记0分，比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第二名选手的分数为后5名选手总分的，则第二名选手得分为．6．如图，为边上一点，，则．7．如图，为的切线，割线交于，交线段于点，，则．8．如图，为斜边上的高，延长至E，连接，过C作于F交于点，则．9．已知开口向上的二次函数的顶点为，且与轴交于，两点，与轴交于点，若的外接圆与轴相切，且，则的最小值是．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【分析】取每个方程的倒数，将原分式方程组转化为关于、、的方程组，然后求解该方程组得到的值，进而求出．本题考查了方程组的解法，熟练掌握取倒数转化方程组是解题的关键．【详解】解：由，得；由，得；由，得；设，，，则方程组变形为：将三个方程相加：故减去第一个方程：减去第二个方程：因此，所以，故答案为：．2．【分析】本题主要考查了二次函数的最值、解不等式，由不等式解的最大值为，可知时不等式成立，且时不等式不成立，代入得，即，分别验证和，发现时，满足不等式，故排除；，时满足且时不满足，因此符合条件．【详解】解：当时，不等式化为，即，解得：，当时，代入，可得：，不等式成立，但，与最大值为矛盾；当时，代入，可得：，成立；当时，，，左边，当时，，故不等式不成立；满足条件．故答案为：．3．或【分析】本题主要考查了因式分解的应用以及正整数的性质，熟练掌握因式分解（分组分解法）并结合正整数的范围分析是解题的关键．先对已知等式展开化简，得到关于、的关系式，再结合正整数的条件确定、的值，进而求出．【详解】解：，，，，，为正整数，∴，，分情况讨论：当，时，，，则，当，时，，，则，同理，交换、可得，当，时，，，则；当，时，，，则．故答案为：或．4．【分析】由，得，故，，故是一元二次方程的两个不相等的实数根，故，，变形化简计算即可．本题考查了一元二次方程，化简求值，熟练掌握解方程是解题的关键．【详解】解：由，得，故，，由；故，故是一元二次方程的两个不相等的实数根，故，，故又，故原式，故答案为：．5．16分【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意是解决本题的关键．由题意知每个选手和其他九位各赛一场，因此共45场，总得分90分，且得分互不相等，由于所有选手得分各不相同，且最高分不超过18分，故第二名的得分必然小于18分，又因为第二名选手的得分恰好是最后五名选手的得分之和的，且分数是5的倍数，故据此推算第二名的得分．【详解】解：10名选手进行单循环比赛：每个选手要和其他9名选手各赛1场，∴10个选手共赛场，但每场比赛被2名选手重复计算了，∴实际总场次是场，∵每场比赛无论“胜或负”还是“平局”，总得分都是2分（胜得2分负得0分，平各得1分），∴比赛总得分为分．∵后5名选手之间也要互相比赛，∴每个选手和其他4名后5名选手各赛1场，共赛场，∴后5名内部比赛的总得分至少为分（每场至少得2分），∴设后5名选手的总分为，则，又∵第二名得分是，∴必须是5的倍数，∵每名选手得分各不相同，且第一名最多得分（赢了所有9场比赛），∴第二名得分，即，结合且是5的倍数，只有符合条件，∴第二名得分是分．故答案为：16分．6．##【分析】作的中垂线交于点F，交于点E，得到，确定，设，则根据勾股定理，解答即可．本题考查了中垂线，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．【详解】解：作的中垂线交于点F，交于点E，故，，又，，，，由，，，设，则根据勾股定理，得，解得故故答案为：．7．【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，切线的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．连接，，，，，连接交于点H，先证明，，设，根据相似三角形的性质可得，代入数值求解即可．【详解】解：连接，，，，，连接交于点H，∵，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∵，∴，即∵为的切线，∴，∴，∴，∵，∴，∴∴设，∴，故，又∵，∴，，解得：，（负的舍去），即，故答案为：．8．【分析】先证明，再证明，列比例式解答即可．本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，解得，故答案为：．9．【分析】根据抛物线的性质和圆的性质可知，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，根据勾股定理可得：，因为，根据圆周角定理可得，所以可得，从而可得：，可得，所以可得，分情况求解即可．【详解】解：如下图所示，设二次函数解析为，由题意可知，，，设方程的两个根为、，其中，则，，，，在中，