人教版（2024）八年级上册数学期末考试提升试卷3（含答案解析）

第第页人教版（2024）八年级上册数学期末考试提升试卷3（本试卷3个大题，满120分，考试时间120分钟。）一、选择题（每小题3分，共30分）1．（2024秋•越秀区期末）在以下四个图形中，轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2024秋•越秀区期末）若分式x3x+5有意义，则xA．x≠0 B．x＞−5C．x≠−53 D．x＞−53．（2024秋•越秀区期末）若n边形的内角和与它的外角和相等，则n的值是（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2024秋•安定区期末）等腰三角形的周长是13cm，其中一边长是3cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．3cm B．7cm C．5cm D．3cm或5cm5．（2024秋•越秀区期末）下列运算正确的是（）A．3a2•2a3＝6a6 B．（﹣2a）2＝﹣4a2 C．（6ab+a）÷a＝6b D．（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b36．（2024秋•越秀区期末）已知图中的两个三角形全等，则a+b﹣c是（）A．3 B．4 C．5 D．77．（2025春•罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝12，∠ACB＝45°．以B为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交BA，BC于M和N，再分别以M和N为圆心，大于12MN的长为半径画圆弧，两弧交于P．射线BP交AC于D．DE⊥AB，垂足为E；DF⊥BC，垂足为F．若DE＝4，则A．4 B．6 C．8 D．108．（2024秋•孝感期末）已知x2+y2＝13，xy＝﹣6，则x﹣y的值为（）A．5 B．±5 C．1 D．±19．（2024秋•越秀区期末）形如x2+8x＝33的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积33+4×22＝49，则该方程的正数解为7﹣2×2＝3．羊羊同学按此方法解关于x的方程x2+mx＝64（m＞0）时，构造出如图2所示面积为100的大正方形，则该方程的正数解为（）A．3 B．4 C．6 D．810．（2024秋•越秀区期末）根据下列条件，能画出唯一一个△ABC的是（）A．AB＝4，BC＝6，∠A＝120° B．AB＝1，BC＝2，AC＝3 C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°二、填空题（每小题3分，共18分）11．（2025•龙凤区校级三模）已知某种新型感冒病毒的直径为0.0000823米，将0.0000823用科学记数法表示为．12．（2025•徐州模拟）当x＝时，分式1x−2与113．（2025春•石峰区期末）在平面直角坐标系中，点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称，则m+n＝．14．（2024秋•越秀区期末）如图，把R1、R2、R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2+IR3．当R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5时，则U的值为．15．（2025春•文登区期末）如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠MEF＝90°，则∠A的度数为．16．（2024秋•越秀区期末）如图，∠BAC＝∠ABC＝∠ADC＝45°，∠ACD＝α（0°＜α＜90°），连接BD．给出下列四个结论：①当α＝20°时，∠BCE＝70°；②当∠DAC＝2∠ACD时，BD平分AC；③点P为直线DE上一点，当PA+PB最小时，∠CAP＝α﹣45°；④若CD＝9，△ACD的面积为18，则△BCD的面积为452其中正确的是.（填写所有正确结论的序号）三、解答题（共72分）17．（4分）（2024秋•越秀区期末）计算：3x•2x﹣x3y÷xy．18．（6分）（2025春•皇姑区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE≌△CFE；（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．19．（6分）（2024秋•大荔县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是；（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为；在平面直角坐标系中，作出与△ABC关于y轴对称的△DEF；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．直接写出点P的坐标．20．（6分）（2024秋•越秀区期末）已知A=(a−2ab−（1）化简A；（2）若a＝2b，求A的值．21．（6分）（2024秋•叙州区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°．（1）用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连结BD，求证：△ADE≌△BDE．22．（10分）（2024秋•越秀区期末）羊羊同学对教材中用图形的面积说明平方差公式和完全平方公式的内容很感兴趣．他继续钻研，开展数学活动．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l，过A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．设AD＝a，CD＝b，AC＝c，记四边形ADEB的面积为S．（1）用含c的式子△ABC的面积：；（2）羊羊查阅相关资料，知道S=12(AD+BE)⋅DE.请用含a，b（3）羊羊又发现S还可以用三个三角形的面积相加来计算．按照这个思路，结合问题（2），你能得到a，b，c之间满足怎样的等量关系呢？请说明理由．23．（10分）（2025春•马鞍山期末）在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同．（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少？（2）快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求1a+124．（12分）（2025•衢州三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接CE交AD于点F．将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接AG．（1）如图1，当CE是∠ACB的角平分线时，①求证：AE＝AF；②直接写出∠CAG＝°．（2）依题意补全图2，用等式表示线段AF，AC，AG之间的数量关系，并证明．25．（12分）（2024秋•云阳县期末）在△ABC中，AC＝BC，点D，E是边BC上的两点．（1）如图1，若∠B＝60°，点N在AB边上，点F在AC的延长线上，且BN＝CF，连接NF交BC于点E，过点N作ND∥AF交BC于点D，AC＝4，CF＝1，求CE的值；（2）如图2，若∠B＝60°，点F在AC的延长线上，连接DF，AD，AE，且AD＝FD，∠CAE＝∠CDF，求证：CE＝CF；（3）如图3，连接AD，AE，若AD⊥BC，且BD：CD＝1：4，AE平分∠BAC，BD＝2，△ABC的面积为30，点M，N分别是线段AB，AE上的动点，连接MN，DN，直接写出MN+DN的最小值．参考答案1．（2024秋•越秀区期末）在以下四个图形中，轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．版权所有【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．2．（2024秋•越秀区期末）若分式x3x+5有意义，则xA．x≠0 B．x＞−5C．x≠−53 D．x＞−5【考点】分式有意义的条件．版权所有【专题】分式；运算能力．【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，列不等式求解即可．【解答】解：由题意得：3x+5≠0，解得：x≠−5故选：C．【点评】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是：分母不为零是解题的关键．3．（2024秋•越秀区期末）若n边形的内角和与它的外角和相等，则n的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】多边形内角与外角．版权所有【专题】多边形与平行四边形；运算能力．【分析】先求出n边形的内角和（n﹣2）×180°，外角和是360°，再根据n边形的内角和与它的外角和相等得（n﹣2）×180°＝360°，由此解出n即可．【解答】解：∵n边形的内角和（n﹣2）×180°，外角和是360°，又∵n边形的内角和与它的外角和相等，∴（n﹣2）×180°＝360°，解得：n＝4．故选：B．【点评】此题主要考查了n边形的内角和与外角和定理，解决问题的关键是熟练掌握n边形的内角和（n﹣2）×180°，外角和是360°．4．（2024秋•安定区期末）等腰三角形的周长是13cm，其中一边长是3cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．3cm B．7cm C．5cm D．3cm或5cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】依题意分两种情况讨论如下：①当该等腰三角形的腰长为3cm时，②当底边长为3cm时，对于每一种情况分别求出该等腰三角形的三边，再利用三角形三边关系进行判断即可得出答案．【解答】解：依题意，分两种情况讨论如下：①当该等腰三角形的腰长为3cm时，则另一腰也为3cm，∴底边长为：13﹣2×3＝7cm，此时该等腰三角形的三边为：3cm，3cm，7cm，∵3+3＜7，不符合构成三角形的条件，不合题意，舍去；②当底边长为3cm时，则腰的长为：（13﹣3）÷2＝5cm，此时该等腰三角形的三边为：3cm，5cm，5cm，∵3+5＞5，符合构成三角形的条件，∴该等腰三角形的腰长是5cm．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形三边之间的关系是解决问题的关键．5．（2024秋•越秀区期末）下列运算正确的是（）A．3a2•2a3＝6a6 B．（﹣2a）2＝﹣4a2 C．（6ab+a）÷a＝6b D．（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3【考点】整式的混合运算．版权所有【专题】整式；运算能力．【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：3a2•2a3＝6a5，故选项A错误，不符合题意；（﹣2a）2＝4a2，故选项B错误，不符合题意；（6ab+a）÷a＝6b+1，故选项C错误，不符合题意；（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，故选项D正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．6．（2024秋•越秀区期末）已知图中的两个三角形全等，则a+b﹣c是（）A．3 B．4 C．5 D．7【考点】全等三角形的性质．版权所有【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据“全等三角形的对应边相等”求解即可．【解答】解：∵两个三角形全等，∴a＝6，b＝4，c＝5，∴a+b﹣c＝6+4﹣5＝5，故选：C．【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．7．（2025春•罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝12，∠ACB＝45°．以B为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交BA，BC于M和N，再分别以M和N为圆心，大于12MN的长为半径画圆弧，两弧交于P．射线BP交AC于D．DE⊥AB，垂足为E；DF⊥BC，垂足为F．若DE＝4，则A．4 B．6 C．8 D．10【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；尺规作图；几何直观；推理能力．【分析】根据角平分线的性质和等腰三角形的判定证得CF＝DF＝DE＝4，即可求出答案．【解答】解：如图，由基本作图可知，BP平分∠ABC，∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝4，∴DF＝DE＝4，∵∠ACB＝45°．∴∠CDF＝90°﹣45°＝45°＝∠ACB，∴CF＝DF＝4，∴BF＝BC﹣CF＝12﹣4＝8，故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．8．（2024秋•孝感期末）已知x2+y2＝13，xy＝﹣6，则x﹣y的值为（）A．5 B．±5 C．1 D．±1【考点】完全平方公式．版权所有【专题】整式；运算能力．【分析】根据完全平方公式得到（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，然后把x2+y2＝13，xy＝﹣6整体代入计算即可．【解答】解：（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，当x2+y2＝13，xy＝﹣6时，原式＝13﹣2×（﹣6）＝25，∴x﹣y＝±5，故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式：（x±y）2＝x2±2xy+y2，熟练掌握该知识点是关键．9．（2024秋•越秀区期末）形如x2+8x＝33的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积33+4×22＝49，则该方程的正数解为7﹣2×2＝3．羊羊同学按此方法解关于x的方程x2+mx＝64（m＞0）时，构造出如图2所示面积为100的大正方形，则该方程的正数解为（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】一元二次方程的应用；正方形的性质．版权所有【专题】一元二次方程及应用；矩形菱形正方形；运算能力；应用意识．【分析】根据阴影部分的面积+四个正方形的面积＝大正方形的面积，求出小正方形的边长为3，得（x+2×3）2＝100，解方程，即可解决问题．【解答】解：∵x2+mx＝64，∴阴影部分的面积为64，∵大正方形的面积为100，∴四个小正方形的面积＝大正方形的面积﹣阴影部分的面积＝100﹣64＝36，∴小正方形的边长为364∴大正方形的面积＝（x+2×3）2＝100，即（x+6）2＝100，解得：x1＝4，x2＝﹣16（不符合题意，舍去），∴x2+mx＝64（m＞0）的正数解为4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及正方形的性质等知识，借助数形结合的思想得出方程（x+2×3）2＝100是解题的关键．10．（2024秋•越秀区期末）根据下列条件，能画出唯一一个△ABC的是（）A．AB＝4，BC＝6，∠A＝120° B．AB＝1，BC＝2，AC＝3 C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°【考点】全等三角形的判定．版权所有【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．【解答】解：A、AB＝4，BC＝6，∠A＝120°．能画出唯一一个△ABC，故本选项符合题意；B、因为AB+BC＝1+2＝3＝AC，所以不能画出△ABC；故本选项不符合题意；C、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意，D、角角角，不能确定唯一三角形．本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．11．（2025•龙凤区校级三模）已知某种新型感冒病毒的直径为0.0000823米，将0.0000823用科学记数法表示为8.23×10﹣5．【考点】科学记数法—表示较小的数．版权所有【专题】应用题；符号意识．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000823＝8.23×10﹣5．故答案为：8.23×10﹣5．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．（2025•徐州模拟）当x＝0时，分式1x−2与1【考点】解分式方程．版权所有【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．【分析】先根据题意列出方程，求解方程得结论．【解答】解：∵分式1x−2与1∴1x−2∴x+2＝2﹣x．∴x＝0．经检验，x＝0是分式方程的解．故答案为：0．【点评】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．13．（2025春•石峰区期末）在平面直角坐标系中，点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称，则m+n＝5．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．版权所有【专题】平面直角坐标系；符号意识．【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，进而可得答案．【解答】解：∵点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称，∴m＝3，n＝2，∴m+n＝3+2＝5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，掌握关于x轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．14．（2024秋•越秀区期末）如图，把R1、R2、R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2+IR3．当R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5时，则U的值为220．【考点】代数式求值．版权所有【专题】实数．【分析】直接把已知数据代入进而求出答案．【解答】解：由题意可得：U＝IR1+IR2+IR3＝I（R1+R2+R3），当R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5时，原式＝2.5×（19.7+32.4+35.9）＝220．故答案为：220．【点评】此题主要考查了代数式求值，正确代入相关数据是解题关键．15．（2025春•文登区期末）如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠MEF＝90°，则∠A的度数为18°．【考点】等腰三角形的性质．版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】设∠A＝x，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到5x＝90°，求出x＝18°，即可得到∠A的度数．【解答】解：设∠A＝x，∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB＝x，∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝2x，∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝2x，∴DCE＝∠A+∠CDB＝3x，∵CD＝DE，∴∠DEC＝∠DCE＝3x，∴∠EDF＝∠A+∠DEC＝4x，∵DE＝EF，∴∠EFD＝∠EDF＝4x，∴∠MEF＝∠A+∠EFD＝5x＝90°，∴x＝18°，∴∠A＝18°．故答案为：18°．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是由以上知识点得到关于x的方程．16．（2024秋•越秀区期末）如图，∠BAC＝∠ABC＝∠ADC＝45°，∠ACD＝α（0°＜α＜90°），连接BD．给出下列四个结论：①当α＝20°时，∠BCE＝70°；②当∠DAC＝2∠ACD时，BD平分AC；③点P为直线DE上一点，当PA+PB最小时，∠CAP＝α﹣45°；④若CD＝9，△ACD的面积为18，则△BCD的面积为452其中正确的是①②④.（填写所有正确结论的序号）【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】①根据已知条件得到∠ACB＝90°，根据平角定义得到∠BCE＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB＝70°，故①正确；②设AC，BD交于O，过A作AH⊥CD于H，得到∠DAC＝2∠ACD＝2α，求得∠CAH＝2α﹣45°，由∠ACH+∠CAH＝90°，得到2α﹣45+α＝90°，求得α＝45°，求得∠ADC＝∠DAC＝45°，根据全等三角形的性质得到AO＝CO，求得BD平分AC；故②正确；③作点A关于DE的对称点F，连接FB交DE于P，此时PA+PB的值最小，如图，假设∠APD＝45°，得到∠CAP＝45°﹣α，故∠CAP不一定α﹣45°，故③错误；④如图，过A作AH⊥CD于H，根据三角形的面积公式得到AH=2×189=4，求得AH＝DH＝4，得到CH＝CD﹣DH＝5，根据全等三角形的性质得到BM＝CH＝5，根据三角形的面积公式得到△BCD的面积为12CD•BM=1【解答】解：①当α＝20°时，即∠ACD＝20°，∵∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，∴∠BCE＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB＝70°，故①正确；②设AC，BD交于O，过A作AH⊥CD于H，∵∠ACD＝α，∴∠DAC＝2∠ACD＝2α，∵∠ADC＝45°，∴∠DAH＝45°，∴∠CAH＝2α﹣45°，∵∠ACH+∠CAH＝90°，∴2α﹣45+α＝90°，∴α＝45°，∴∠ADC＝∠DAC＝45°，∴∠DAC＝∠ACB＝90°，∴AD＝AC＝CB，∵∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB（AAS，∴AO＝CO，∴BD平分AC；故②正确；③作点A关于DE的对称点F，连接FB交DE于P，此时PA+PB的值最小，如图，假设∠APD＝45°，∴∠CAP＝45°﹣α，故∠CAP不一定α﹣45°，故③错误；④如图，过A作AH⊥CD于H，∵CD＝9，△ACD的面积为18，∴AH=2×18∵∠ADH＝45°，∴AH＝DH＝4，∴CH＝CD﹣DH＝5，∵∠AHC＝∠ACB＝∠BMC＝90°，∴∠ACH+∠BCM＝∠BCM+∠CBM＝90°，∴∠ACH＝∠CBM，∵AC＝BC，∴△ACH≌△CBM（AAS），∴BM＝CH＝5，∴△BCD的面积为12CD•BM=12×9×5故答案为：①②④．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．17．（2024秋•越秀区期末）计算：3x•2x﹣x3y÷xy．【考点】整式的除法；合并同类项；单项式乘单项式．版权所有【专题】整式；运算能力．【分析】先根据单项式乘单项式、单项式除以单项式的法则计算，再合并同类项即可．【解答】解：3x•2x﹣x3y÷xy＝6x2﹣x2＝5x2．【点评】本题考查了整式的除法，合并同类项，单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．（2025春•皇姑区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE≌△CFE；（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有【专题】图形的全等．【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE；（2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE＝EF，AD＝CF，由于AB＝BC+AD，等量代换得到AB＝BC+CF，即AB＝BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论．【解答】证明：（1）△DAE≌△CFE理由如下：∵AD∥BC（已知），∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE＝EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，∠ADC=∠ECFDE=EC∴△ADE≌△FCE（ASA）；（2）由（1）知△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF，∵AB＝BC+AD，∴AB＝BC+CF，即AB＝BF，在△ABE与△FBE中，AB=BFAE=EF∴△ABE≌△FBE（SSS），∴∠AEB＝∠FEB＝90°，∴BE⊥AE；【点评】主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质．解决此类问题，前面的结论可作为后面的条件．19．（2024秋•大荔县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是4；（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为（﹣4，3）；在平面直角坐标系中，作出与△ABC关于y轴对称的△DEF；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．直接写出点P的坐标．【考点】作图﹣轴对称变换．版权所有【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．【分析】（1）根据点A，B，C的坐标描点再连线即可；利用割补法求三角形的面积即可．（2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得点D的坐标；根据轴对称的性质作图即可．（3）设点P的坐标为（m，0），根据题意可列方程为12×|m−2|×1=1，求出【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．△ABC的面积是12故答案为：4．（2）∵点D与点C关于y轴对称，∴点D的坐标为（﹣4，3）．如图，△DEF即为所求．故答案为：（﹣4，3）．（3）设点P的坐标为（m，0），∵△ABP的面积为1，∴12解得m＝4或0，∴点P的坐标为（4，0）或（0，0）．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．20．（2024秋•越秀区期末）已知A=(a−2ab−（1）化简A；（2）若a＝2b，求A的值．【考点】分式的化简求值．版权所有【专题】分式；运算能力．【分析】（1）根据分式的减法法则、乘法法则把A化简；（2）把a＝2b代入化简后的式子计算，得到答案．【解答】解：（1）A＝（a2a=(a−b)2=a−b（2）当a＝2b时，原式=2b−b【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．21．（2024秋•叙州区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°．（1）用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连结BD，求证：△ADE≌△BDE．【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质．版权所有【专题】作图题；证明题；图形的全等；几何直观；推理能力．【分析】（1）作线段AB的垂直平分线即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，然后利用HL即可证明Rt△ADE≌Rt△BDE．【解答】（1）解：如图所示，DE即为所求；（2）证明：如图，连接BD，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∠DEB＝∠DEA＝90°，在Rt△ADE与Rt△BDE中，AD=BDDE=DE∴Rt△ADE≌Rt△BDE（HL）．【点评】本题考查了作图﹣基本作图．全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．22．（2024秋•越秀区期末）羊羊同学对教材中用图形的面积说明平方差公式和完全平方公式的内容很感兴趣．他继续钻研，开展数学活动．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l，过A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．设AD＝a，CD＝b，AC＝c，记四边形ADEB的面积为S．（1）用含c的式子△ABC的面积：S△ABC=12c（2）羊羊查阅相关资料，知道S=12(AD+BE)⋅DE.请用含a，b（3）羊羊又发现S还可以用三个三角形的面积相加来计算．按照这个思路，结合问题（2），你能得到a，b，c之间满足怎样的等量关系呢？请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景．版权所有【专题】整式；图形的全等；运算能力；推理能力．【分析】（1）由∠ACB＝90°，AC＝BC＝c，得S△ABC=12AC•BC=1（2）由AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，得∠ADC＝∠CEB＝90°，则∠DAC＝∠ECB＝90°﹣∠ACD，可根据“AAS”证明△ADC≌△CEB，得AD＝CE＝a，CD＝BE＝b，所以S=12（AD+BE）•DE=12（a+b）（a+b）=12a2（3）由S＝S△ADC+S△CEB+S△ABC，且S△ADC＝S△CEB=12ab，S△ABC=12c2，得12a2+12b2+ab=12ab+12ab+1【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝c，∴S△ABC=12AC•BC=1故答案为：S△ABC=12c（2）∵AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB＝90°﹣∠ACD，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECB∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE＝a，CD＝BE＝b，∵四边形ADEB的面积为S，∴S=12（AD+BE）•DE=12（a+b）（a+b）=12a2∴S=12a2+12b（3）a2+b2＝c2，理由：∵S＝S△ADC+S△CEB+S△ABC，且S△ADC＝S△CEB=12ab，S△ABC=1∴12a2+12b2+ab=12ab+∴a2+b2＝c2．【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、乘法公式等知识，证明△ADC≌△CEB是解题的关键．23．（2025春•马鞍山期末）在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同．（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少？（2）快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求1a+1【考点】分式方程的应用；分式的加减法．版权所有【专题】分式；分式方程及应用；应用意识．【分析】（1）设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为1.6m元，根据数量＝总价÷单价，结合购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z，根据甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，可得出1x=ay+z，进而可得出1a+1=x【解答】解：（1）24000÷2＝12000（元）．设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为1.6m元，依题意得：120001.6m解得：m＝1.5，经检验，m＝1.5是原方程的解，且符合题意，∴1.6m＝2.4．答：A型口罩的单价为2.4元，B型口罩的单价为1.5元．（2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z，依题意得：1x∴a=y+z∴a+1=x+y+zx，即同理1b+1=y∴1a+1【点评】本题考查了分式方程的应用以及分式的加减法，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据三个机器人所用时间之间的关系，找出1a+1=xx+y+z，24．（2025•衢州三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接CE交AD于点F．将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接AG．（1）如图1，当CE是∠ACB的角平分线时，①求证：AE＝AF；②直接写出∠CAG＝45°．（2）依题意补全图2，用等式表示线段AF，AC，AG之间的数量关系，并证明．【考点】几何变换综合题．版权所有【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得∠ACB＝∠B＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，再由三角形的外角性质得∠AFE＝∠AEF，即可得出结论；②过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，证△ACM是等腰直角三角形，得∠M＝45°，CA＝CM，再证△MCF≌△ACG（SAS），即可得出结论；（2）过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，证△ACM是等腰直角三角形，得∠M＝45°，CA＝CM，AM=2AC，再证△MCF≌△ACG（SAS），得MF＝AG【解答】（1）①证明：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵AD是BC边上的高，∴∠BAD＝∠CAD=12∠∴∠B＝∠CAD，∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE＝∠BCE，∵∠AFE＝∠CAD+∠ACE，∠AEF＝∠B+∠BCE，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF．②解：如图1，过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，则∠ACM＝90°，∵∠CAD＝45°，∴△ACM是等腰直角三角形，∴CA＝CM，∠M＝45°，∵∠ACM＝90°，∴∠ACF+∠MCF＝90°，由旋转的性质得：∠FCG＝90°，CF＝CG，∴∠ACF+∠ACG＝90°．∴∠MCF＝∠ACG，∴△MCF≌△ACG（SAS），∴∠CAG＝∠M＝45°，故答案为：45；（2）解：依题意补全图2，2AC＝AF+AG，证明如下：过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，则∠ACM＝90°，∵∠CAD＝45°，∴△ACM是等腰直角三角形，∴∠M＝45°，CA＝CM，AM=2AC∵∠ACM＝90°，∴∠ACF+∠MCF＝90°，由旋转的性质得：∠FC