河北省保定市十校2025-2026学年高二上学期期中考试 数学含解析

河北省保定市十校2025-2026学年高二上学期11月期中考试

数学试题

一、单选题

π

1．下列直线中，倾斜角为的是（）

3

33

A．y3x7B．yx7C．y3x7D．yx7

33

x2y2

2．若点P在双曲线1上，则P到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（）

58

A．42B．25C．213D．10

3．设空间向量AB(x,1,x1),CD(y,3,6),AB//CD，则y（）

A．6B．9C．-6D．-9

4．圆A:(x2)2(y2)22与圆B:(x2)2(y2)218的位置关系是（）

A．内切B．相交C．外离D．外切

22

5．设P是圆O:xy20上的动点，点H在x轴上，H的横坐标与P的横坐标相等，且PMMH，则动

点M的轨迹为（）

A．长轴长为45，短轴长为4，焦点在x轴上的椭圆

B．长轴长为45，短轴长为4，焦点在y轴上的椭圆

C．长轴长为45，短轴长为25，焦点在x轴上的椭圆

D．长轴长为45，短轴长为25，焦点在y轴上的椭圆

y2x2

6．若双曲线C:1的焦距为4，直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点为N(2,1)，则直线l的

m2

斜率为（）

35

A．2B．C．1D．

23

7．在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC10,AC2,AA13,BB13BD,G为△A1B1C1的重心，则点G到

平面ACD的距离为（）

410125775

A．B．C．D．

5544

π

8．如图，若平行光线与平面所成的角0,，其照射在球O上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则

2

该椭圆的离心率为（）

11

A．sinB．cosC．D．

1cos1sin

二、多选题

9．在四面体PABC中，PAPB,APCBPC60,D,E分别为棱PB，AC的中点，且PB1,PA2,PC3，

则（）

13

A．DE(PBPAPC)B．PBAC

22

1

C．DE(PBPAPC)D．PCAB2

2

10．若圆(xm)2(y1)24上到直线3x4ym0的距离为1的点有且仅有2个，则m的取值可以是（）

1311

A．B．C．2D．

444

x2y2

11．已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，左、右顶点分别为A1,A2,P为C上的动点，

a2b2

则下列说法正确的是（）

A．PA1PA2的最大值为0

2

B．PF1PF2的最大值为b

4

C．若存在点P，使得PF,PF的斜率分别为k,2k(k0)，则C的离心率可能为

129

2

D．若存在点P，使得PF,PF的斜率分别为k,2k(k0)，则C的离心率可能为

129

三、填空题

12．两条平行直线x5y30,2x25y30之间的距离为.

x2y2

13．若双曲线M:my2x21与椭圆N:1有公共点，则M的实轴长的取值范围是，M

94

的离心率的取值范围是.

14．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段A1D1的中点，F为侧面BAA1B1上的动点.若AB62，且

C1FCE，则点F的轨迹长度为.

四、解答题

xy

15．（1）分别求直线2在x轴、y轴上的截距；

52

（2）求过点(1,1)，且与直线x2y0垂直的直线方程；

（3）若直线AxByC0的倾斜角为20，求直线AxByC0的倾斜角.

16．在四棱锥EABCD中，EA底面ABCD,AB//CD,ADAB.

(1)证明：AB//平面CDE.

(2)设ABADAE4,CD1.

（i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；

7

（ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于.

9

17．已知点A(3,0),O为坐标原点，动点T满足|TA|2|TO|，记点T的轨迹为曲线C.

(1)求C的标准方程.

(2)若直线ykx(2k1)与C交于E,F两点，求EF的最大值.

y2x2

18．已知椭圆C:1(ab0)的右顶点为P1,0，C的两个焦点为F1,F2，且

a2b2

23

sinPFFsinPFFsinFPF.

1221312

(1)求C的方程.

(2)设直线l:ykx3与C相交于A，B两点，B关于y轴的对称点为D.

（i）若k43，B的横坐标大于A的横坐标，求直线AD的斜率.

（ii）试问直线AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

x23

19．已知P，Q是双曲线:y21(a0)上两个不同的点，O为坐标原点，点A2,.

a22

(1)若点A在上，求的渐近线方程.

107

(2)当O，P，Q，A四点共线时，|PQ|，点B(2,0).

7

（i）求的方程；

（ii）若B，P，Q三点共线，P，Q两点均不在x轴上，M，N分别为的左、右顶点，直线PM与QN交

于点D，证明：动点D在一条定直线上.

题号12345678910

答案CBBDCAABABBCD

题号11

答案ABD

1．C

π

由倾斜角为，则该直线的斜率为3，逐项判断即可.

3

π

【详解】若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为3，

3

π

所以这四条直线中，倾斜角为的是y3x7.

3

故选：C

2．B

根据双曲线的定义进行求解即可.

x2y2

【详解】设双曲线1的实半轴长为a，则a5，

58

所以P到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为2a25.

故选：B.

3．B

根据向量平行，列等式求解即可.

x1x1x3,

【详解】因为AB//CD，所以，解得

y36y9.

故选：B.

4．D

写出两圆圆心和半径，由圆心距与半径和（差）的关系即可得到两圆的位置关系.

【详解】圆A，圆B的圆心分别为A(2,2),B(2,2)，则|AB|42.

圆A，圆B的半径分别为2,32，则|AB|232，则这两个圆的位置关系是外切.

故选：D.

5．C

设P,M,H点的坐标，然后根据PMMH列出等式，代入圆的方程中即可得到M的轨迹为椭圆.

【详解】设Px0,y0,M(x,y)，则Hx0,0，

所以PMxx0,yy0,MHx0x,y.

x0x,

因为PMMH，所以

y02y,

22

2222xy

代入x0y020，得x(2y)20，即1，

205

则动点M的轨迹是长轴长为22045，短轴长为25，焦点在x轴上的椭圆.

故选：C.

6．A

先根据双曲线的焦距求出m，然后设Ax1,y1,Bx2,y2，将其代入双曲线方程得到等式，根据中点坐标进

而可求出直线的斜率.

【详解】由双曲线C的焦距为4，得2m24，解得m2.

x2y22

设，则11，则，

Ax1,y1,Bx2,y222x1x2x1x2y1y2y1y2

x2y22

因为点N2,1是线段AB的中点，

x1x2224,y1y2212，所以2x1x2y1y2，

y1y2

所以kl2.

x1x2

故选：A.

7．A

先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，求出平面ACD的法向量的坐标，进而根据向量的数量积

进行求解即可.

【详解】取AC的中点F,A1C1的中点E，连接EF,BF,B1E.

因为ABBC10,AC2，所以BFAC，且BF1013.

以F为坐标原点，以FC,FB,FE所在直线建立如图所示的空间直角坐标系，

则A1,0,0，C1,0,0,D0,3,1,G0,1,3，

所以AC2,0,0,AD1,3,1，DG(0,2,2).

设平面ACD的法向量为n(x,y,z)，则nAC2x0,nADx3yz0，

|nDG|8410

令y1，得n(0,1,3)，所以点G到平面ACD的距离为.

|n|105

故选：A.

8．B

设球的半径为r，则知道椭圆的短轴长，过椭圆的长轴作的垂面得到截面图，由平面几何求得椭圆的长轴

长，从而解得椭圆的离心率.

【详解】设球的半径为r，则椭圆的短轴长2b2r，即br.

过椭圆的长轴作的垂面，得到如图所示的截面图，

其中DE是椭圆的长轴，BC//DE，AD，BE是光线，

A，B是光线与球面的切点，则ACB,AB2r，

2rr

椭圆的长轴长2aDEBC，即a.

sinsin

cb2

故椭圆的离心率e11sin2cos.

aa2

故选：B.

9．AB

根据空间向量基本定理判断A、C，由空间向量数量积的运算判断B、D．

【详解】因为D，E分别为棱PB，AC的中点，

111

所以DEDPPEPB(PAPC)(PBPAPC)，A正确，C错误.

222

因为PAPB,APCBPC60，且PB1，PA2,PC3，

3

所以PBACPB(PCPA)PBPCPBPA13cos6012cos90，B正确.

2

3

PCABPC(PBPA)PCPBPCPA31cos6032cos60，D错误.

2

故选：AB．

10．BCD

|4m4|

先求得圆心到直线的距离d，再由r1dr1，求解即可.

5

【详解】圆(xm)2(y1)24的圆心为(m,1)，半径r2，

|4m4|

圆心到直线3x4ym0的距离d，

5

|4m4|

依题意得r1dr1，即13，

5

199111

解得m，,.

4444

故选：BCD

11．ABD

根据椭圆的性质，结合向量的数量积公式、直线的斜率公式以及椭圆的离心率范围逐一分析选项

【详解】由题意知F1(c,0),F2(c,0),A1(a,0),A2(a,0)，设Px0,y0，则ax0a，

，

对于A，PA1ax0,y0PA2ax0,y0，

22

则22222b22c22，

PA1PA2x0ay0x0aax0x0c

a2a2

当x0a时，PA1PA2取最大值，所以PA1PA2的最大值为0,A正确.

，

对于B，PF1cx0,y0PF2cx0,y0，

22

所以22222b22c222，当时，取最大值，

PF1PF2x0cy0x0cax0x0bcx0aPF1PF2

a2a2

2

所以PF1PF2的最大值为b，B正确；

y0

k

x0cy0x0cc1

对于C、D，设，因为k0，所以2，得x3c0，又x0a，所以0e，

yxcy0a3

02k00

x0c

C错误，D正确.

故选：ABD

36

12．

4

利用两平行线间的距离公式求解.

【详解】x5y302x25y60

x5y30,2x25y30之间的距离，

6336

即直线2x25y60,2x25y30之间的距离为24.

2225

36

故答案为：.

4

5

13．(0,4],

2

由双曲线方程写出a2,b2，即可表示出离心率e，由双曲线与椭圆有公共点得不等式，然后解得双曲线中a的

范围，即得实轴长的取值范围，由不等式可以解得m的取值范围，可得M的离心率的取值范围.

2

y22

22x1212b

【详解】由myx1，得1，则a,b1，所以e11m.

ma2

m

11

因为N的上顶点的坐标为(0,2),M的上顶点的坐标为0,，则2，

mm

1

即a24，0a2，所以M的实轴长的取值范围为(0,4].

m

115

且m，所以e1m1.

442

5

故答案为：(0,4]；,.

2

14．6

建立空间直角坐标系，设出点F的坐标，利用C1FCE得到a,b的关系式，再判断轨迹形状即可求解.

【详解】

以A为原点，AB,AD,AA1的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则

C(62,62,0)，E(0,32,62)，C1(62,62,62)，

设F(a,0,b),a[0,62],b[0,62]，

则CE(62,32,62)，C1F(a62,62,b62)，

C1FCE，C1FCE0，

即62(a62)3662(b62)0，ab320，

当a62时，b32，此时F为棱BB1的中点；

当a32时，b0，此时F为棱AB的中点，

设棱AB的中点为M，棱BB1的中点为N，连接MN，则点F的轨迹是线段MN，

MN18186，点F的轨迹长度为6.

故答案为：6.

15．（1）在x轴、y轴上的截距分别为10,4；（2）2xy30；（3）160

（1）法一：方程转化成截距式，即可求解；法二：分别令x0和y0求解即可；

（2）法一：由垂直设直线方程2xyt0，代入点即可求解，法二：通过垂直先求得斜率，再由点斜式

即可求解；

A

（3）法一：由倾斜角得到tan20，进而可求解；法二：由两直线斜率互为相反数，得到这两条直线

B

的倾斜角互补，即可求解

xyxy

【详解】解：（1）（方法一）由2，得1，

52104

xy

所以直线2在x轴、y轴上的截距分别为10,4.

52

（方法二）令x0，得y4，

令y0，得x10，

xy

所以直线2在x轴、y轴上的截距分别为10,4.

52

（2）（方法一）依题意设所求直线方程为2xyt0，

将点(1,1)的坐标代入得3t0，

解得t3，

所以所求直线的方程为2xy30.

1

（方法二）因为直线x2y0的斜率为，

2

所以所求直线的斜率为2，

所以所求直线的方程为y12(x1)，

即y2x3（或2xy30）.

（3）（方法一）因为直线AxByC0的倾斜角为20，

A

所以tan20，

B

A

又直线AxByC0的斜率为，

B

A

所以tan20tan160，

B

所以直线AxByC0的倾斜角为160.

（方法二）因为直线AxByC0的斜率与直线AxByC0的斜率互为相反数，

所以这两条直线的倾斜角互补，

所以直线AxByC0的倾斜角为18020160.

16．(1)证明见解析

341

(2)（i）；（ii）证明见解析

41

（1）直接运用线面平行的判定定理证明即可.

（2）（i）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而找到向量坐标，再利用直线与平面所成角的向量公

式求解；

（ii）求出两个平面的法向量，再利用两平面夹角的向量公式求出夹角的余弦值，再比较大小.

【详解】（1）证明：因为AB//CD,CD平面CDE,AB平面CDE，

所以AB//平面CDE.

（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，

D(0,0,4),E(4,0,0),B(0,4,0),C(0,1,4),

则CE(4,1,4),BC(0,3,4).

nCE4xy4z0

设平面BCE的法向量为n(x,y,z)，则，

nBC3y4z0

令y4，得n(4,4,3).

（i）设直线AD与平面BCE所成角为，

nAD12341

因为AD(0,0,4)，所以sincosn,AD，

nAD44141

341

所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为.

41

（ii）证明：设平面CDE的法向量为mx,y,z,DC(0,1,0)，

mCE4xy4z0

则,令x1，得m(1,0,1).

mDCy0

设平面CDE与平面BCE的夹角为，

nm7777

由coscosn,m，

nm41282819

7

所以平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于.

9

17．(1)(x1)2y24

(2)14

（1）设T(x,y)，根据题意，结合两点间距离公式，化简计算，即可得答案.

（2）根据（1）可得圆心为C(1,0)，半径为2，可得圆心C到直线ykx距离d的表达式，代入弦长公式，

根据k的范围，即可求得答案.

【详解】（1）设T(x,y)，因为|TA|2|TO|，所以(x3)2y22x2y2，

则x26x9y24x2y2，即x22xy23.

所以C的标准方程为(x1)2y24.

（2）由（1）知，曲线C为一个圆，且圆心为C(1,0)，半径为2，

|k|

因为圆心C到直线ykx的距离d，

k21

k21

所以EF24d22423，

k21k21

又2k1，所以1k24，

所以当k1时，EF取得最大值，且最大值为14.

y2

18．(1)x21

4

14343

(2)（i）；（ii）直线AD过定点，且定点的坐标为0,

33

23

【详解】（1）因为sinPFFsinPFFsinFPF，

1221312

23

所以由正弦定理得PFPFFF，

21312

23

则2a2c，\

3

44

则a2c2a2b2，又因为椭圆C的右顶点为P(1,0)，故b1，

33

y2

所以a24，所以C的方程为x21.

4

2

y2

（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，将ykx3代入x1，

4

得k24x223kx10，

则Δ12k24k2416k210恒成立，

23k1

xx,xx.

12k2412k24

11

（i）若k43，则有52x224x10，解得x或.

262

11531

依题意得x1，则y,x,y3，

26113222

因为点B关于y轴的对称点为D，所以Dx2,y2，

y2y1143

则kAD.

x2x13

（ii）当k0时，A,D重合，与条件矛盾，

y1y2

直线AD的方程为yy1xx1，

x1x2

假设直线AD过定点，根据对称性可知，定点必在y轴上，

x1y1y2x1y2x2y1

令x0，得yy1

x1x2x1x2

x1kx23x2kx13

x1x2

2k

2kxx243

123k