《线性代数》统考试卷

《线性代数》统考试卷

一、填空题（每小题3分，共30分）

a,-b,bi

1.已知行列式''=-4,则।/

a2+%a2-b2a2b2

01-11

-101-1

2.行列式D=的第一行元素的代数余子式之和

1-101

-11-10

Ai+A2+A3+A4=--------------

'abc、

3.已知3阶矩阵A=def的行列式=A*是4的伴随矩阵，则

收「J

(A*)-1=.

4.已知矩阵4=(1,2,T),5=(2,-1,1)且。=473,则。7

1-

5.设矩阵4=13-I的三个特征值分别为％，九2，砥，则3+九2+入3=

11'1、

6.如果线性方程组1有无穷多个解，则。=

UJVX3j<-2>

7.设A是机x〃实矩阵，若矩阵A的秩，（4）=3,则AZ的秩«AZ）=

8.设分别为〃阶矩阵，4®分别为A,8的伴随矩阵，若网=2,

7O

同=3,则分块矩阵C=的伴随矩阵C*=

8B

2-2、

9.设三阶矩阵4=2I2,三维向量a=m,lj,）\已知Aa与a线性相关，则

04,

10.已知二次型/（西,巧,对）=5］：+5君+5；-+6工内一6々占的秩为2,则参数

二、计算题一(每小题8分，共32分)

13-12

1.计算行列式D=；1-2S；3--4I

—5I3—3

’21P

3八（211

2.已知4=121,B=12;=[12I

(1)计算：BrC与BC『；(2)计算3A—*C.

TTr

3给定向量组%=(1,2,3,6)1,a2=(1,-1,2,4),a3=(1-4,1,2),a4=(-1,1-2,-8),

7

a5=(-l,4,-l,-6)\求该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用所求的极大线性无关组线性表

4.给定二次型/(国,々,均)=+54++4X)X2-4X^3-8x2x3

求一个可逆线性变换X=CY,将该二次型化为标准形。

三、计算题二（每小题10分，共30分）

1.给定线性方程组

2由―々+犬4=1

«$+2X2-均+4%=2

%]+lx2-4对+1LQ=入

（1）当九取何值时线性方程组有解？（2）当方程组有解时求出其全部解（用其导出组的基

型解系线性表示）

222、

2.给定实对称矩阵A=242

<224,

（1）求4的特征值与特征向量；（2）求正交矩阵。，使QTAQMQ'AQ为对角矩阵。

24)「21、

3.己知矩阵方程259X=3-2,求X.

<349JJ1

四、证明题(本题8分)

设二阶矩阵A8=1J，存在%=。⑵丁丹=(—1,1)丁，使得4%=5%，

Aa2=-a2；存在。=(3,1)7,02=(0,11,使得明=5自照=哼2.

(1)求可逆矩阵P「使P「AP1为对角矩阵；求可逆矩阵P2,使P20P2为对角矩阵；

(2)求可逆矩阵P,使得P一人尸=3.

《线性代数》参考答案与评分标准2010年7月

《线性代数》统考试卷参考答案与评分标准

一、填空题（每小题3分，共30分）

-a-b"2-11、

3A°*；9-1；

1.2；2.3；3.-d-e;4.4-22;5.5；6.-2；7.3；8.10.3.

23)

「g-h「21-I

二、计算题一（每小题8分,共32分）

13-12I3-12

0—84-6()21-1

1.解:D=3分

02I-10—84-6

016-27()16-27

13-1213-12

021-1021-1

6分

008-1()008-1()

00-10150005/2

=TO8分

(574、

2.解:BrC=7543分

J53,

’68、

5分

、97,

633、74]-1

3A-BrC==363754-4-18分

、336八453,3

(11-P

2-44

3解:A=（四,€€2，€（3《4，（^5）二

321-1

42-6；

11-1-r(\11-I-n

0-3-636012-2

3分

0-1-212000-4-4

、()-2-4-2、00000,

q0-101]

0120-1

T5分

00011

0000;

极大线性无关组必,。2，。4；6分

且：a=一%+2a+Oa；8分

324a5=a]-a2+a4

222

4.解:f(x,,x2,x3)==2fX]+2^(X2-x3)+(x2-x3)]-2(J2-)+5岩+5x；-8x2x3

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《线性代数》参考答案与评分标准2010年7月

=2（药+工2—电）2+3石—4.013+3x]

i4452

=2(X|+x--^3)+3x；--^2^3+—xI+-.V3

2393

2

=2(X1+X2-X3)+3L2-|X34分

力二a+々_13

7司—L%+1/3)0

令：，>?2=x--x,做可逆线性变换々=)'2+2/3%7分

233

乃

可将原二次型化为标准形：/=2），：+3_v?+:员8分

三、计算题二（每小题10分，共30分）.

r2-1111、2-142、

1.解:A二12-142.0-53-7-3

17-4II葭；,05-37入一2,

q01/56/54/5、

01-3/57/53/54分

000九一5,

因此,当九=5有解。5分

416

^1

线性方程组解的的一般解:，工3，工4为自由未知量8分

337

+广-『4

2/5、-r’-6、

3/53-7

全部解:+C]，G，Q为任意常数.10分

050

°，

X-4-2-2

2.解：⑴|XE-/1|=-2X-4-2=(X-8)(X-2)2

-2-2九一4

所以，A的特征值为九1=8,九2=入3=2。2分

对于从=8,对应的特征向量%=（1,1,1）"单位化：4分

rr

对于九2二九3=2,对应的特征向量a2=（l,-l,（D,a3=Q,l,-2）已正交,单位化得：

6分

V2V6

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《线性代数》参考答案与评分标准2010年7月

r11

-_KL

^7T

—

X正

2XJQ-1

3一为正交矩阵9分

1O面

I3-2

?P

气00、

使QTAQ=Q7Q=020为对角矩阵。10分

002,

22、

3解:先求259=-9315分

49)17

、3一2-1;

T24『(2

X=25938分

(34刃[11J

‘-92-ir

--93-1410分

<7-210

」2421、n2421、

或2