专题01 绝对值的三种化简方法 初中数学人教版（2024）七年级上册（解析版）

目录专题01绝对值的三种化简方法目录A·重难点题型分类题型1：利用数轴化简绝对值…………………1题型2：利用几何意义化简绝对值……………10题型3：分类讨论法化简绝对值………………16B·能力提升………………………21知识梳理知识梳理1.绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。3.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。可整理为：，或，或4.归纳：绝对值等于它本身的数非负数绝对值大于它本身的数负数绝对值等于它的相反数的数非正数绝对值最小的有理数0绝对值最小的正整数1绝对值最小的负整数－1重难点题型分类重难点题型分类【题型1：利用数轴化简绝对值】【例1】a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．若a=c，下列结论正确的是（A．−a<a B．b<0 C．b>c D．【答案】B【分析】本题考查了数轴上点的位置、绝对值以及相反数的性质，正确判断a、b、c的符号及其绝对值的大小关系是解题的关键．由a、b、c在数轴上的位置可判断a<b<c，结合a=c，可得a<b<0<c且a与【详解】解：由数轴可知，a<b<c．∵∴a<b<0<c．A、由于a是负数，则−a是正数，故−a>a，A错误；B、b<0，B正确；C、∵b<0∴b但c∴bD、已知a=c，且a<0，c>0，则a与c互为相反数，即故选：B．【变式1-1】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（

）A．b>a B．−a<b C．−b>a D．【答案】C【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，绝对值，解题的关键是根据数轴上点的位置确定a，b的正负；根据a，b在数轴上的对应点的位置，逐项进行判断即可．【详解】解：由a，b在数轴上的对应点的位置可知，b<A、b<B、−a>C、−b>a，故该选项正确；D、a<故选：C【变式1-2】有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是（填序号）．①−a−1；②|a+1|；③2−|a|；④12【答案】①②③④【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数的定义，用绝对值的定义去判断是解题的关键.根据数轴得出−2<a<−1，再逐个判断即可.【详解】解：①根据数轴可知：−2<a<−1，∴1<−a<2，∴0<−a−1<1，符合题意，故①正确；②∵−2<a<−1，∴−1<a+1<0，∴0<a+1③∵−2<a<−1∴1<a∴−2<−a∴0<2−a④∵−2<a<−1，∴1<a∴1故答案为：①②③④.【例2】有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简a−b−a−c−A．a+c B．a−c C．2b−2c D．3a−c【答案】C【分析】本题考查化简绝对值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据绝对值的意义化简即可．【详解】解：由图可知：a<b<0<c，∴a−b<0,a−c<0,c−b>0，∴原式=b−a−c+a−c+b=2b−2c；故选：C．【变式2-1】三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简a+b−c−b+aA．2a+2b B．2a+2b−c C．−c D．−2b−c【答案】C【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断a+b<0，c−b>0的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．【详解】由数轴可得，a+b<0，c−b>0，∴a+b=−a−b−c+b+a，=−c，故选：C．【变式2-2】如图，数轴上点A，B，C所对应的数分别为a，b，c且都不为0，BC=2AC．若2a+b=2a−3c−b−3c，则|2a+3b+3c|=（用含【答案】4a+4b/4b+4a【分析】本题考查的是线段的倍分关系，化简绝对值，整式的加减运算，由BC=2AC可得3c=b+2a，结合2a+b=2a−3c−b−3c可得a<【详解】解：∵BC=2AC，∴b−c=2(c−a)，∴3c=b+2a，∴2a+b=|2a−b−2a|−|b−b−2a|=|−b|−|−2a|=|b|−|2a|，∴2a<0，b>0，2a+b>0，∴a<0，b>0，∴4a+4b>0，∴|2a+3b+3c|=|2a+3b+b+2a|=|4a+4b|=4a+4b．故答案为：4a+4b【例3】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么aa−a+bA．4 B．2 C．0 D．−2【答案】D【分析】本题考查化简绝对值，有理数的混合运算，有理数与数轴，根据数轴，判断出有理数的符号，式子的符号，根据绝对值的意义进行化简，再进行计算即可．【详解】解：由图可知：−1<a<0<b<1,a∴a+b<0,1−b>0，∴−aa故选：D．【变式3-1】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么|a+1|a+1A．−1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】本题考查了化简绝对值问题，根据a=a,a≥0−a,a<0，此时，a可以看作一个式子，a【详解】解：由数轴得，a+1>0,a<0,a−b<0,b−1<0，∴=a+1=1+1−1−1=0．故选：B．【变式3-2】在数轴上的位置，如图所示，计算-aa【答案】3【分析】本题考查了数轴上点的位置与实数正负性的关系、绝对值的性质及分式化简，解题的关键是根据点在数轴上的位置判断a、b、c的正负，进而确定绝对值内式子的正负，再利用“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”化简分式并计算．根据数轴信息判断a>0，b<0，c<0；由b<0、c<0得bc>0；分别化简|a|a、|b|b、【详解】解：∵点a在原点右边，∴a>0，∴|a|=a，∴|a|a∵点b、c在原点左边，∴b<0，c<0，∴|b|=−b，∴|b|b∵b<0，c<0，∴bc>0，∴|bc|=bc．∴|bc|bc将上述结果代入原式：−|a|故答案为：3．【变式3-3】若abc=−abc，且abc≠0，则aa【答案】1或−3【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键；利用绝对值的代数意义判断得到a,b,c中负数有一个或三个，即可得到原式的值．【详解】解：∵|abc|=−abc，且abc≠0，∴a、b、c中负数有一个或三个，当a、b、c中有一个负数时：aa当a、b、c中有三个负数时：aa则原式=1或−3，故答案为：1或−3【例4】数轴上A、B、C对应的数分别是a、b、c，若ac<0，|a|=−a，a+b>0，|b|<|c|．(1)请将a、b、c填入括号内．(2)化简|a−b|+|a+c|−|c−b|．【答案】(1)图见解析(2)2b【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．（1）画数轴图，把a、b、c表示在数轴上；（2）根据数轴知识和绝对值的定义解答．【详解】（1）解：如图：；（2）解：由（1）数轴图可知，a<0<b<c，∴a−b<0，a+c>0，c−b>0，∴|a−b|+|a+c|−|c−b|=−=−a+b+a+c−c+b=2b．【变式4-1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图；(1)用“>”或“<”填空：b−c______0，a+b______0，c−a______0；(2)化简：b−c=______；a+b=______；【答案】(1)<，<，>(2)c−b，−a−b，c−a【分析】（1）通过数轴判断a、b、c的正负及绝对值大小，进而确定式子的符号；（2）依据（1）中得到的符号，利用绝对值的性质进行化简．本题主要考查了数轴的性质、有理数的加减运算以及绝对值的化简，熟练掌握数轴上数的大小关系、有理数运算规则和绝对值的性质是解题的关键．【详解】（1）解：由数轴可知a<0<b<c，且|a|>|b|．∵b<c，∴b−c<0；∵a<0，|a|>|b|，∴a+b<0；∵c>0，a<0，∴c−a>0，故答案为：<，<，>；（2）解：∵b−c<0，∴|b−c|=c−b；∵a+b<0，∴|a+b|=−(a+b)=−a−b；∵c−a>0，∴|c−a|=c−a．故答案为：c−b；−a−b；c−a．【变式4-2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图，(1)用“>”或“<”填空：a+b0，b+c0，a−c0．(2)化简：a+b【答案】(1)＜，＞，＜(2)−a−2b【分析】本题主要考查数轴表示数的意义、绝对值、整式的加减运算等知识点，正确判断各个代数式的符号是解题的关键．（1）根据有理数a、b、c在数轴上的位置，进而判断即可解答；（2）根据（1）得到a+b,b+c,a−c的符号，再化简绝对值，然后再计算即可．【详解】（1）解：（1）由数轴可得：a<0<b<c，且b<∴a+b<0，b+c>0，a−c<0，故答案为：＜，＞，＜．（2）解：由（1）可得a+b<0，b+c>0，a−c<0，∴a+b=−=−a−b−b−c−=−a−b−b−c−a+c+a=−a−2b．【变式4-3】综合与实践问题情境：数形结合是一种重要的数学方法，如在化简a时，当a在数轴上位于原点的右侧时，a=a；当a在数轴上位于原点时，a=0；当a在数轴上位于原点的左侧时，a=−a．当a，b解决问题：（1）当a=1时，求aa=______；当b=−2时，求（2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，填空（请填入“＞”、“＜”或“=”）：a+b_________0；a−b________0；abc________0；拓展探究：（3）在（2）的条件下，求aa【答案】（1）1；−1；（2）<；>；>；（3）0【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的运算法则及有理数比较大小，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．（1）根据题意可知，将a=1，b=−2，分别化简即可；（2）由图可知a>0>c>b，且b>（3）由（2）可知，a+b<0，abc>0，故有a=a，b=−b，a+b=−【详解】解：（1）∵a=1时，a=a，b=−2时，b∴|a|a=a故答案为：1，−1；（2）由题意得：a>0>c>b，且b>∴a+b<0，a−b>0，abc>0，故答案为：<，>，>；（3）由（2）可知，a=a，b=−b，a+b=−∴|a|a=aa=1，|b|∴|a|a【题型2：利用几何意义化简绝对值】【例1】我们知道，a表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A，B分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB=a−b(1)数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和−3两点之间的距离是______；(2)数轴上表示x和−2的两点A，B之间的距离为______，如果AB=2，那么x(3)求x−2+(4)若x−2+x+3=7(5)某工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A，B，C，D，E，F，G，H，I，一只配件箱应该放在工作______处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米．【答案】(1)3，4(2)x+2，0或−4(3)5(4)−4或3(5)E，40【分析】本题考查绝对值的意义，数轴上两点间距离，绝对值的化简；由绝对值关系式得出参数的取值范围是解题的关键．（1）根据两点间的距离公式求解；（2）根据两点间的距离公式构建方程，根据绝对值的性质转化为方程求解；（3）根据绝对值的意义，结合两点间距离公式确定x取何值时，表达式得最小值进而确定最小值；（4）根据绝对值的意义，分x<−3、x>2、−3≤x≤2三种情况解绝对值方程即可；（5）设配件台的位置为P，当P位于E处时，则P在D、F之间，C、G之间，B、H之间，A、I之间，此时PD+PF取最小值为DF=4，PC+PG取最小值为CG=4×2=8，PB+PH取最小值为BH=6×2=12，PA+PI取最小值为AI=8×2=16，从而得解．【详解】（1）解：(−2)−(−5)=−2+5=3故答案为：3，4；（2）解：x−(−2)=由AB=2，得x+2=2∴x+2=2或x+2=−2．∴x=0或−4；（3）解：x−2的几何意义是：在数轴上表示数x和2两点间的距离；x+3的几何意义是：在数轴上表示数x和−3两点间的距离；∴x−2+x+3几何意义是：在数轴上表示数x和2两点间的距离与在数轴上表示数x和∴当−3≤x≤2时，x−2+x+3有最小值，最小值为故答案为：5；（4）解：当x<−3时，由x−2+x+3=7得2−x−x−3=7当x>2时，由x−2+x+3=7得x−2+x+3=7由（3）知，当−3≤x≤2时，x−2+综上，x=−4或3，故答案为：−4或3；（5）解：设配件台的位置为P，当P位于E处时，则P在D、F之间，C、G之间，B、H之间，A、I之间，此时PD+PF取最小值为DF=4，PC+PG取最小值为CG=4×2=8，PB+PH取最小值为BH=6×2=12，PA+PI取最小值为AI=8×2=16，∴最短路程为4+8+12+16=40，故答案为：E，40；【变式1-1】（1）已知n是最小的正整数，且m、n满足l−52+m+n=0，则m=__________，（2）【阅读】点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为AB=【应用】①数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是__________，如果AB=2，那么x=②若点P为一动点，其对应的数为x，则x+1+③当代数式x+1+x−2+【答案】（1）−1，1，5；（2）①x+1；1或−3；②6；③2．【分析】本题考查了绝对值和偶次幂非负性，数轴上两点的距离，绝对值的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．（1）根据绝对值和偶次幂非负性，有理数概念即可求解；（2）①根据阅读材料得出AB=x+1，然后再解绝对值方程②根据x+1+x−5表示点P到−1和③根据x+1+x−2+x−4表示点P到−1，【详解】解：（1）∵l−52∴l=5，m+n=0，∵n是最小的正整数，∴n=1，∴m=−1，故答案为：−1，1，5；（2）①数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是x−−1∵AB=2∴x+1=2∴x+1=2或x+1=−2，解得：x=1或x=−3故答案为：①x+1；1或−3；②∵x+1+x−5表示点P到−1和∴x+1+x−5取最小值时，则x+1+x−5的最小值为故答案为：6；③∵x+1+x−2+x−4表示点P到−1，∴当x=2时，x+1+x−2+故答案为：2．【变式1-2】阅读下面材料：在数轴上5与−2所对的两点之间的距离：5−−2在数轴上−2与3所对的两点之间的距离：−2−3=5在数轴上−8与−5所对的两点之间的距离：−8−在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB=a−b回答下列问题：(1)数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为；数轴上表示数和的两点之间的距离表示为x+2；(2)若x−3=1，则x=(3)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子x+2+x−3进行探究：请你在草稿纸上画出数轴，若x表示一个有理数，则【答案】(1)3，x−3；x，−2(2)4或2(3)有，最小值为5【分析】本题考查了绝对值的定义和化简，根据题意找出数轴上任意两点之间的距离公式是解题的关键．（1）根据题意找出数轴上任意点间的距离的计算公式，然后进行计算即可；（2）利用绝对值的意义得到x−3=±1，求出结果即可；（3）把x−3+x+2理解为：在数轴上表示x到3和−2的距离之和，求出表示3和【详解】（1）解：数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是−2−数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为x−3；数轴上表示数x和−2的两点之间的距离表示为x+2，故答案为：3，x−3；x，−2．（2）∵x−3∴x−3=±1，∴x=3±1，∴x=4或2；（3）如图，当−2≤x≤3时，在数轴上表示x到3和−2的距离之和，x−3+当x>3时，x和−2的距离已经大于5，在数轴上表示x到3和−2的距离之和大于5，x−3+当x<−2时，x和3的距离已经大于5，在数轴上表示x到3和−2的距离之和大于5，x−3+当−2≤x≤3时，x−3+【变式1-3】阅读材料：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道4−2表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；4+2=4−−2，所以4+2表示4与−2在数轴上对应的两点之间的距离；4=4−0，所以4表示4在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A回答问题：(1)数轴上表示6与−4的两点之间的距离是______；数轴上表示x与2的两点之间的距离是______；(2)若m−2=3，求m(3)若n−2+n+3=5(4)若代数式x−1.5+x+a的最小值是4，请直接写出【答案】(1)10，x−2（写成2−x也可）(2)m=5或−1(3)−3，−2，−1，0，1，2(4)2.5或−5.5【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的意义．1根据题干中提供的两点之间的距离公式计算即可；2根据绝对值的定义可得m−2=±3，解方程即可得到m的值；3根据绝对值表示的意义分当n<−3、−3≤n≤2、n>2时三段分别求解；4根据绝对值表示的意义可知数式x−1.5+x+a=x−1.5+x−−a表示x到1.5和−a的距离之和，所以可知当代数式取最小值4时，表示x的点一定在1.5和a之间且1.5和−a【详解】（1）解：数轴上表示6与−4的两点之间的距离是6−−4数轴上表示x与2的两点之间的距离是x−2；故答案为：10，x−2；（2）解：∵m−2∴m−2=±3，∴m−2=3或m−2=−3，∴m=5或m=−1；（3）解：当n<−3时，∵n−2∴2−n整理得：−2n−1=5，解得：n=−3，∵n<−3，∴n=−3不在取值范围之内，故不符合题意；当−3≤n≤2时，可得：2−n+整理得：5=5，即当−3≤n≤2时，n−2+在−3≤n≤2之间的整数有−3、−2、−1、0、1、2；当n>2时，n−2+n+3=5，解得：n=2，不在取值范围之内，故不符合题意；（4）解：∵代数式x−1.5+x+a=x−1.5+x−−a当代数式取最小值4时，表示x的点一定在1.5和−a之间，且1.5和−a的距离是4，即−a−1.5=4∴−1.5−a=±4，解得：a=2.5或−5.5．【题型3：分类讨论法化简绝对值】【例1】阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：4−−1表示4与−1的差的绝对值，实际上也可以理解为4与−1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；类似地，5+3=5−−3表示5，−3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，A，B两点在数轴上表示有理数a，b，那么点A，解决问题：如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为−3和8，数轴上另有一个点P表示的数为x，试探索：(1)①点A，B之间的距离为；②点P，A之间的距离为；（用含x的式子表示）(2)①若点P在A，B两点之间，则x+3+x−8的值为②若x+3+x−8=13，则点P表示的数x【答案】(1)①11；②x+3(2)①11；②−4或9【分析】此题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，有理数的加法、减法运算等，正确理解题意，数形结合是解题的关键；（1）①利用两点间距离的定义求解即可；②利用两点间距离的定义求解即可；（2）①式子x+3+x−8表示点P到点A的距离和点P到点当点P在A，B两点之间时，可得点P到点A的距离和点P到点B的距离之和为11，故而可求解；②由x+3+x−8=13，可得点P到点A的距离和点P到点B的距离之和为13，结合数轴，分点P在A点P在点A左侧，点P在点B右侧，在每一种情况下，数形结合求出点P表示的数，综合可得结果．【详解】（1）①∵数轴上两点A，B表示的数分别为−3和8，8−−3∴点A，B之间的距离为11．故答案为：11．②∵数轴上两点A，P表示的数分别为−3和x，x−−3∴点A，P之间的距离为x+3．故答案为：x+3．（2）①∵x+3+x−8表示点P到点A的距离和点P若点P在A，B两点之间，则点P到点A的距离和点P到点B的距离之和为：PA+PB=AB=11，∴x+3故答案为：11．②若x+3+则点P到点A的距离和点P到点B的距离之和为13，即PA+PB=13由①知，当点P在A，B两点之间时，PA+PB=AB=11，不符合题意；当点P在点A左侧时，如图1所示：PA+PB=PA+PA+AB又AB=11，∴PA=1，∴x=−3−1=−4．当点P在点B右侧时，如图2所示：PA+PB=AB+PB又AB=11，∴PB=1，∴x=8+1=9．∴点P表示的数x为−4或9．故答案为：−4或9．【变式1-1】已知a，(1)若a为正数，则aa(2)若a，b满足ab＜(3)若a+b+c=0且a＜b＜【答案】(1)1(2)0(3)1或−1【分析】本题考查绝对值的性质以及有理数的运算．解题关键是根据绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，结合已知条件对字母的正负性进行分析，进而求解．（1）a为正数，则a=a（2）ab＜0，即a，b异号，需要分类讨论：①若a>0，b＜（3）a+b+c=0且a＜b＜c，可以得到a<0，c>0，需要分类讨论①【详解】（1）解：∵a为正数，则a=a，故答案为：1；（2）∵ab＜0，即①若a>0，b＜0②若a<0，b>0，a综上所述：a故答案为：0；（3）∵a+b+c=0且a∴a<0，c>0①b＜0，②b>0，a综上所述，aa+故答案为：1或−1．【变式1-2】已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a=6,b=7．(1)求边长c的取值范围．(2)化简：|a−b−c|−|a+b−c|．【答案】(1)1<c<13(2)2c−2a【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键．（1）根据三角形的三边关系，进行求解即可；（2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可．【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到：b−a<c<b+a，∵a=6,b=7，∴7−6<c<7+6，∴1<c<13．（2）由三角形三边关系定理得到：b+c>a,a+b>c，∴a−b−c<0,a+b−c>0，∴|a−b−c|−|a+b−c|=−=−a+b+c−a−b+c=2c−2a．能力提升能力提升一、单选题1．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简a−b−a+c+A．2c B．−2c C．−2a D．−2b【答案】A【分析】本题主要考查数轴和绝对值，根据数轴得出a−b<0,a+c<0,b−c<0的符号及绝对值的性质是解题的关键．由数轴可知a<b<0<c,a>c【详解】解：由数轴可知a<b<0<c,a即a−b<0,a+c<0,b−c<0，所以a−b=−=−=−a+b+a+c−b+c=2c．故选：A．2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若m<0,mn<0，则n−2m+4−2m−n−8的值是（A．12 B．−4m+2n+12 C．−4 D．−4或4【答案】C【分析】本题考查有理数的乘法运算，含字母的绝对值的化简，根据题意判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【详解】解：∵m<0,mn<0，∴n>0，∴n−2m+4>0,2m−n−8<0，∴n−2m+4=n−2m+4+2m−n−8=−4．故选C．3．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）若a、b、c是三角形的三边长，则化简a−b−c+b−a−c+A．a+b+c B．−3a+b+c C．−a−b−c D．2a−b−c【答案】A【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三角形的三边关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握以上知识点是关键．【详解】解：由三角形的三边关系得，a<b+c，b<a+c，c<a+b，∴a−b−c<0，b−a−c<0，c−b−a<0，∴原式=−a+b+c−b+a+c−c+b+a=a+b+c，故选：A．4．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）下列说法：①若a+b=0，则ab=−1；②若a+b<0，且ab>0，则a+3b=−a−3b；③若a=b，则a=bA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的四则运算，当a=b=0时，ab没有意义，据此可判断①；根据题意可证明a<0，b<0，则a+3b<0【详解】解：①当a=b=0时，满足a+b=0，但是ab②若a+b<0，且ab>0，则a<0，b<0，即可得到③a=b，则④若a+b+c<0，ab>0，则aa∴说法正确的有2个，故选：B．5．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）对于任意有理数a和b，满足a+b=a−b，对于下列关系式：①a>b；②ab<0；③a≥A．②③④ B．③ C．②③ D．③④【答案】B【分析】本题主要考查了绝对值的性质．先根据绝对值的性质，分四种情况进行讨论，①当a>0，b<0时；②当a<0，b>0时；③当a≥0，b≥0时，④当a≤0，b≤0时；就能得到答案．【详解】解：分四种情况讨论：①当a>0，b<0时，ab<0，a>b，则a+b=a−b=a+b≥0故①②③正确；②当a<0，b>0时，ab<0，a<b，则a+b=a−b=−a−b≥0故②③正确；③当a≥0，b≥0时，ab≥0，a+b≥0，由a+b=a−b得a+b=a−b，则故③正确；④当a≤0，b≤0时，ab≥0，a+b≤0，由a+b=a−b得−a−b=−a+b，则故③正确∴一定成立的是③故选：B．6．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且a=b，则下列结论中错误的是（A．a+c<0 B．−c+b>0C．a+b>a+c 【答案】C【分析】此题考查数轴，绝对值，解题关键在于结合数轴进行解答.根据数轴得到c<b<0<a，c>【详解】对于A，因为c<0<a，c>a，所以对于B，因为c<b<0，所以b−c=−c+b>0，故B正确；对于C，因为c<b<0<a，c>b=对于D，因为c<b<0<a，c>b=故选：C．7．（2025七年级上·全国·专题练习）已知2−6表示2与6的差的绝对值，也可理解为2与6两数在数轴上对应的两点之间的距离；同理x−4+x+2表示数轴上有理数x对应的点到4和−2对应的两点的距离之和，可以借助数轴分析得x−4+x+2的最小值为6．利用该方法，可得A．15 B．16 C．17 D．18【答案】B【分析】本题考查了绝对值的化简问题，整式的加减计算，难度较大，解题的关键利用分类讨论的思想求解．分五种情况讨论，分别去绝对值，再进行整式加减计算，然后计算最值并比较即可．【详解】解：当x<−6时，x+6=−x−6−x−2−x+2−2x+8=−5x+2，当−6≤x<−2时，x+6=x+6−x−2−x+2−2x+8=−3x+14，当x=−6时，−3x+14=−3×=32；当−2≤x≤2时，x+6=x+6+x+2+2−x+2=x+6+x+4−x+8−2x=−x+18，当x=2时，−x+18=−2+18=16，所以当x=2时，有最小值是16，当2<x≤4时，x+6=x+6+x+2+x−2−2x+8=x+14，当x=4时，x+14=4+14=18，当x>4时，x+6=x+6+x+2+x−2+2x−8=5x−2，∴x+6+故选：B．二、填空题8．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则a+b−c+a【答案】c−1【分析】本题考查了数轴，绝对值，整式的加减法，得出a+b<0，c+a<0，1−b>0是解题的关键．由数轴得c>0，a<0，b<0，b>a>c，进一步得出a+b<0，【详解】解：由数轴，得c>0，a<0，b<0，b>∴a+b<0，c+a<0，1−b>0，∴=−=−a−b+c+a−1+b=c−1，故答案为：c−1．9．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）若ab≠0,aa+bb的最大值为x，最小值为y【答案】−4【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的加法，除法运算，运用分类讨论思想是解题的关键；根据绝对值的定义分类讨论求解即可．【详解】解：当a>0,b>0时，aa当a<0,b<0时，a−a当a>0,b<0时，aa当a<0,b>0时，aa∴x=2，y=−2，∴xy=2×−2故答案为：−4．10．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）若ab≠0，则aa+【答案】±2或0【分析】本题考查了绝对值化简，分情况讨论化简求值即可．【详解】∵ab≠0∴分情况讨论：当a>0,b>0时，a当a>0,b<0时，a当a<0,b>0时，a当a<0,b<0时，a故答案为：±2或0．11．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）若a+b+c=0，abc>0，且a，b，c是非零有理数，则b+c∣a∣【答案】−1或3【分析】本题考查利用绝对值的性质求解代数式的值，解题关键是通过分类讨论判定结果．首先根据a+b+c=0，abc>0，可判定a、b、c中二负一正，然后转换形式，得出b+ca【详解】解：∵a+b+c=0，abc>0，∴a，b，c中两负一正，a+b=−c，a+c=−b，b+c=−a，∴b+c当a>0，b<0，c<0时，b+ca当a<0，b<0，c>0时，b+ca当a<0，b>0，c<0时，b+ca综上，b+ca+b故答案为：−1或3．12．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）已知abc<0，a+b+c=0，若x=b+ca+2a+c【答案】2【分析】本题考查绝对值的性质、有理数的加法法则，先将a+b+c=0进行转化，再将x的表达式进行化简，分析a，b，c的正负性，再分情况讨论x的值，最终求出x的最大值与最小值之和即可．【详解】解：由题意知，b+c=−a，a+c=−b，a+b=−c，∴x=−a∵abc<0，∴a，b，c中为一负二正或三负，又∵a+b+c=0，∴a，b，c不可能为三负，只能为一负二正，∴当a>0，b>0，c<0时，x=b+c当a>0，b<0，c>0时，x=b+c当a<0，b>0，c>0时，x=b+c∴x的最大值为6，最小值为−4，∴两数之和为：6+−4故答案为：2．三、解答题13．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示．

(1)根据数轴化简：a=①______；−b=②______；(2)若a=6.5，b=3.5，c=8【答案】(1)①−a；②b；③c−b(2)−11.5【分析】本题主要考查了数轴，有理数的加减运算，乘法运算，正确由数轴确定a,b,c的正负以及大小是解题的关键．（1）先根据数轴确定a,b,c的正负，再由a=（2）先根据数轴确定a,b,c的正负以及大小，去绝对值，代入求值即可．【详解】（1）解：①∵a<0∴a故答案为：−a．②∵b>0∴−b<0，∴−b故答案为：b．③∵c>b∴c−b>0，∴c−b故答案为：c−b．④∵a<0，c>0∴ac<0，∴ac故答案为：−ac．（2）解：∵a=6.5，b=3.5∴a=±6.5，b=±3.5，c=±8.5，∵a<0<b<c，∴a=−6.5，b=3.5，c=8.5，∴a+b−c=−6.5+3.5−8.5=−11.5．14．（25-26七年级上·河南信阳·阶段练习）我们知道，a是指数轴上表示数a的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为AB=a−b(1)如图1，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，则a0，b0，a−b0；(2)若x−2+x+3=7，则(3)已知a、b、c三个数在数轴上的位置如图2所示，化简：a−b+【答案】(1)<,>,>(2)−4或3(3)−b−3c【分析】本题考查有理数与数轴，根据点在数轴上的位置判断式子的正负，解绝对值方程，绝对值性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．（1）根据数轴回答即可；（2）根据题意得到x−2表示x到2的距离，x+3=x−−3表示x根据题意得到由数轴可知，c<b<0<a，c>a，进而得到【详解】（1）解：由数轴可知，a<0,b>0,a∴a−b故答案为：<,>,>．（2）解：x−2表示x到2的距离，x+3=x−−3表示x当x<−3时，原式变形为2−x−x−3=7，解得x=−4，当−3≤x≤2时，原式变形为2−x+x+3=7，该方程无解，当x>2时，原式变形为x−2+x+3=7，解得x=3，综上所述x=−4或3，故答案为：−4或3．（3）解：由数轴可知，c<b<0<a，c>∴a−b>0,c+b<0,a+c<0,c−b<0，∴a−b=a−b−=a−b−c−b−a−c−c+b=−b−3c．15．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB=|a−b|．【应用】如图，在数轴上，点A表示的数为−8，点B表示的数为−2，点C表示的数为6，动点P表示的数为x．(1)求点A，B之间的距离；(2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示）②求|x+8|+|x−6|的最小值；(3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出|x+8|+|x+2|+|x−6|的最大值及最小值．【答案】(1)6(2)①|x+8|；|x−6|；②14(3)|x+8|+|x+2|+|x−6|的最小值为14，最大值为22【分析】本题是三角形综合题，考查了实数与数轴上点的对应关系、数轴上两点间的距离公式，掌握其公式是解决此题的关键；（1）根据两点距离公式可得答案；（2）①由两点距离公式可得答案；②由①可知|x+8|+|x−6|表示的意义是点P到点A，C的距离之和，即可求解；（3）|x+8|+|x+2|+|x−6|的几何意义是表示有理数x的点到−8，−2，6所对应的三点距离之和，即可求解．【详解】（1）解：点A，B之间的距离AB=−2−(−8)=6；（2）解：①点P，A之间的距离为|x+8|，点P，C之间的距离为|x−6|；故答案为：|x+8|；|x−6|；②由①可知|x+8|+|x−6|表示的意义是点P到点A，C的距离之和，当在数轴上表示x的点在表示−8和−6（包括−8和6)的点之间时，|x+8|+|x−6|取得最小值，最小值为14；（3）解：|x+8|+|x+2|+|x−6|的几何意义是表示有理数x的点到−8，−2，6所对应的三点距离之和，∴当x=−2时，|x+8|+|x+2|+|x−6|的值最小，最小值为14；当x=6时，|x+8|+|x+2|+|x−6|的值最大，最大值为22；∴|x+8|+|x+2|+|x−6|的最小值为14，最大值为22．16．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】a−1+【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．a的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么|a−1|可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；a−1+a−2就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究a−1+（1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．（2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．（3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，a−1+【问题解决】(1)a−2+a−5的几何意义是，请你结合数轴探究：a−2+a−5(2)a−1+a−2+a−3的几何意义是，请你结合数轴探究：a−1+a−2+a−3的最小值是【答案】(1)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3；(2)a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；图见解析；2；2．【分析】本题考查了绝对值的几何意义．（1）仿照题干作答即可；（2）仿照题干表示出a−1+【详解】（1）由题可知，a−2+a−5的几何意义是当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时a−2+故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3；（2）由题可知，a−1+a−2+①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3；②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3；③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3；④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2；⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3；⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3；⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3；可知a−1+a−2+故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2；2．17．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示−3和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于m−n．如果表示数a和−1的两点之间的距离是3，那么a=________．(2)若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，则a+4+(3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得∣x+2∣+∣x−5∣=7，这些点表示的数的和是________．(4)当a=________时，a+3+【答案】(1)3，5；2或−4(2)6(3)12(4)1，7【分析】本题考查数轴与绝对值的综合，解题关键在于根据数轴上点的位置化简绝对值，其次注意分类讨论问题，最后计算仔细即可．（1）本题根据数轴上两点距离运算规则直接求解即可．（2）本题首先根据已知判断a+4与a−2的正负，继而化简绝对值运算求解．（3）本题根据x的范围分类讨论，化简绝对值后与7比较大小，进一步确定x的范围，最后在该范围内寻找符合条件的整数点．（4）与（3）同理可得当−3≤a≤4时，a+3+a−4取最小值7，结合当a=1时，【详解】（1）解：4与1两点间距离：4−1=3；−3与2两点间的距离：2−由已知得：a−−1=3，即解得a=2或a=−4．故答案为：3，5；2或−4；（2）解：由已知得：−4<a<2，故a+4>0，a−2<0；∴原式a+4+故答案为：6；（3）解：当x>5时，x+2+当−2≤x≤5时，x+2+当x<−2时，x+2+综上：x的取值范围为−2≤x≤5，故该范围下整数点为：−2，这些整数点的和为：(−2)+(−1)+0+1+2+3+4+5=12．故答案为：12；（4）解：与（3）同理可得：当−3≤a≤4时，a+3+又∵当a=1时，a−1取最小值0，∴当a=1时，a+3+故答案为：1，7．18．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下面材料，并解决有关问题，在实数范围内我们知道：a=aa>00a=0−aa<0，当a>0(1)已知a，b是不为0的有理数，当a<0，b>0时，则(2)已知a，b是不为0的有理数，当ab≠0时，则(3)已知a，b，c是有理数，当(4)已知a，b，c是有理数，【答案】(1)0(2)±2或0(3)1或−3(4)−1【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘、除法法则；（1）根据ab≠0，a<0，b>0时，根据