广东省六校2025-2026学年高二上学期联合学业质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省六校2025-2026学年高二上学期联合学业质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因空间中的点的横坐标、纵坐标、竖坐标分别是该点在轴上的投影的坐标，故点关于平面对称的点的横坐标、纵坐标不变，竖坐标为原竖坐标的相反数，故所求点坐标为.故选：B.2.圆与圆的位置关系为（）A.内切 B.相交 C.外切 D.相离【答案】C【解析】，即，圆心，半径，，圆心为，，，故两圆外切.故选：C.3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】向量，，则，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C.4.已知直线，互相平行，且之间的距离为，则（）A.或3 B.或4 C.或5 D.或2【答案】A【解析】由可得，解得，则直线的方程为，由，即，解得或，故或，即.故选：A.5.设是椭圆左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以椭圆的焦点在轴上，可知，因为过的直线交椭圆于A，B两点，所以由椭圆的定义知：，所以，当轴时，最小，的值最大，此时为椭圆的通径，由通径公式可得：所以，解得：，所以，，故选：A.6.已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，易知，所以结合已知有，易知，设正方形边长为2，所以，,故选：A.7.已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意得，半径，设点坐标为，直线恒过点，直线恒过点，因为，所以，则，即，所以点的轨迹是以为直径的圆，的中点为，，故点的轨迹为圆，但是去掉点，其中，若点为弦的中点，位置关系如图：，连接，由，易知，故点在以为圆心，半径为1的圆上，，直线，联立与得或（舍去），又点为圆上的点，，此时.故选：D.8.如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论不正确的是（）A.点在曲线上B.点在上，则C.点在椭圆上，若，则D.过作轴的垂线交于两点，则【答案】B【解析】对于A：因为，由定义知，故A正确；对于B：点在上，则，化简得，所以，即，，故B错误；对于C：椭圆的焦点恰好为与，则，又，所以，故，所以，C正确；对于D：设，则，因为，则，又，所以，化简得，解得或（舍去），则，因为，所以，因此，故，所以，故D正确.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.以下命题中，正确的有（）A.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底B.对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面C.直线的方向向量可以是D.直线与直线垂直，则【答案】AB【解析】对于A，已知是空间的一个基底，故三个向量不共面，已知，假设共面，则存在实数，使得，即，整理得，由于不共面，因此系数必须全0，则，显然矛盾，因此不共面，因此也是空间的一个基底，故A正确；对于B，对空间任意一点和不共线的三点，，，若四点共面，可设，其中，则，可得，由于，且，可知四点共面，故B正确；对于C：若直线的方向向量为，则其斜率为，而直线的斜率为，故C错误；对于D：由，得，故D错误故选：AB.10.若实数满足，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】如图：是以为圆心，1为半径的圆.对于A，表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，由图象知圆上的点与坐标原点连线的倾斜角的范围是，故，即，故A正确；对于B，由知，，当且仅当，或，时取“”，故B正确；对于C，设，则直线与圆有公共点，所以，解得，所以，故C错误；对于D，，圆上的点到直线的距离的5倍的最大值等于圆心到直线的距离加半径的5倍，即，故D正确.故选：.11.如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（）A.若点为线段上的动点，当时，B.若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为C.若点为底面的中心，且，则面积的最大值为D.若，则点的轨迹的长度为【答案】ACD【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，对于AB选项，由知：，则，，A正确；，，设平面的法向量为，则，取，得，故平面的一个法向量为，又，则点到平面的距离为：，故B错误；对于C，取的中点，连接，如图所示，因为正方体的棱长为2，所以，，，平面，平面，平面，所以，，，所以，，所以，，由可得平面，所以，所以点的轨迹为线段，又，所以面积的最大值:，故C正确；对于D，平面，平面，所以，都是直角三角形.又，所以，因为，所以，在侧面中以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，整理得到，圆，所以点在以为圆心，以为半径的圆上，又因为在侧面（含边界）上运动，所以点的轨迹是圆上的一段劣弧（分别是圆与的交点），因为，，所以，则点的轨迹长度为，故D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线与圆相交，则整数的一个取值可能是__________.【答案】3（或，只需填写一个答案即可）【解析】由圆，得圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，因为直线与圆相交所以，解得，所以整数的所有可能取值为.故答案为：3.（或，只需填写一个答案即可）13.双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为____________．【答案】【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，，由，求得，因为，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，则由得，由得，则，由双曲线第一定义可得：，，所以双曲线的方程为.故答案为：.14.画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其方程为.已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，则动点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为________（用含的式子表示）；若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则的取值范围为________.【答案】①.②.【解析】因为椭圆，其离心率，则，所以，故该椭圆的蒙日圆方程为，其半径为，由于原点到蒙日圆上任意一点的距离为，原点到椭圆上任意一点的距离最大值为，故椭圆上的点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为；.若，则椭圆的方程为，即，蒙日圆方程为，不妨设，因为其在蒙日圆上，所以，设，，又，由蒙日圆的性质，，与椭圆相切，、分别为切点，故直线的方程为，直线的方程为，将代入，的直线方程中可得，所以直线的方程为，将其与椭圆的方程联立，消去得，则有，，所以.，，即，，故.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为.（1）求的中垂线的一般方程；（2）求底边的另一个端点的轨迹.解：（1）因为,，则中点为，则，，的方程为：，即.（2）设底边的另一个端点的坐标为，为等腰三角形，，则，又,，，又，，不能共线，所以去掉和这两个点，∴点的轨迹方程为：，（去掉点和）.即点轨迹是以为圆心，以为半径的圆，并去掉和这两个点.16.如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，.（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若底面为正方形，且，，，与相交于点，求点到直线的距离.（1）证明：设，，，以为空间一组基底，，，则，即且，所以四边形为平行四边形.（2）解：由题意可知，，，，，由（1）可知，为平行四边形，为的中点，则，则.，则点到直线的距离为，则点到直线的距离为.17.已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．（1）求双曲线的方程；（2）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；（3）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．（1）解：由题意可得，解得，因此，双曲线的方程为（2）证明：设，则，渐近线为，P到两条渐近线的距离之积.所以P到两条渐近线的距离之积为定值，即定值为.（3）解：由已知，得，设或，在双曲线上，所以，，因此或，函数对称轴为，于是在上单调递减，在上单调递增，，，所以当时，取得最小值为.18.如图，在三棱锥中，平面平面，，.（1）证明：；（2）若点，，，都在半径为的球的表面上.（i）求；（ii）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.（2）（i）解：如图，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，过点在平面内作的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，.设球心，，由，得，解得，，.由（1）知平面，所以设，由，，得，，解得，，，则.（ii）解：由（i）可得，，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，得，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，得，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.19.我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知双曲线与椭圆是“姊妹”圆锥曲线，分别为和的离心率，.（1）求椭圆的方程；（2）试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称；（3）若，是椭圆上的两动点（两点不关于轴对称），为坐标原点，的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）已知双曲线，由“姊妹”圆锥曲线的定义，可设椭圆的方程为，则，整理得，解得，∴椭圆的方程为.（2）设椭圆上，两点关于直线对称