广东省深圳市福田某校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市福田某校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】，，设倾斜角为，，，，，.故选：A.2.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，则，，所以，又因为，所以.故选：A.3.在四面体中，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知故选：A.4.若直线是圆的一条对称轴，则（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】由题可知圆心为，因为直线是圆对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：A．5.已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】由题意可得，.故选：C.6.已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题在方向上的投影向量为.故选：C.7.已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若直线与关于l对称，则直线，l的交点在直线上，即，解得：.在直线上任取一点关于直线l对称的点为，则点B在直线上，由A,B两点可知，直线的斜率为，则直线的方程为：即.故选：C.8.已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】C【解析】由题意，设、、，则，，，则，则.故选：C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确有（）A. B.C.若，且，则 D.若且，则【答案】BC【解析】对于A，因为，，所以，可得，所以A错误；对于B，因为，，所以，所以B正确；对于C，若，且，则，解得，所以C正确，对于D，若且，因为，可得，解得，所以D错误.故选：BC.10.已知圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则实数的值可能取值为（）A. B. C. D.6【答案】BC【解析】圆方程可化为，的圆心，半径为，则圆心到直线的距离，平面内，若点到直线的距离为1，则点在与直线平行且距离为两条直线上，如图，要使圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则两平行直线与圆有且仅有两个公共点，则，解得，即，解得.故选：BC.11.已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）A.点的轨迹方程是B.点的轨迹与圆没有公共点C.平面上有一点，则的最小值为5D.直线是“最远距离直线”【答案】ACD【解析】对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半，所以，化简得，A正确；对于B，由，得，即圆心为，半径为1，易得点P的轨迹与圆C交于点，B错误．对于C，过P作于B，则，，由图知，的最小值即为点A到直线l：的距离，该距离为5，C正确；对于D，由可得，解得，存在，因此直线是“最远距离直线”，D正确；故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．【答案】【解析】分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，.，即异面直线A1M与DN所成角的大小是.13.若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为_____．【答案】（或，答案不唯一）【解析】联立，化简并整理得：，由题意得或，解得或无解，即，经检验，符合题意.故答案为：（或，答案不唯一）.14.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为：.故答案为：13.四､解答题15.的三个顶点是，求：（1）边上的中线所在直线的方程；（2）边上的垂直平分线所在直线的方程.解：（1）点的中点，直线的斜率为，所以边上的中线所在直线的方程为，即.（2）点的中点坐标为，直线的斜率为，则边上的垂直平分线的斜率为，所以边上的垂直平分线所在直线的方程为，即.16.已知向量，且．（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值．解：（1）因为，所以，解得，所以，则，所以；（2），，，设向量与夹角为，所以，所以向量与夹角的余弦值为．17.已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上．（1）求圆C的标准方程；（2）已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程．解：（1）因为圆C经过点和点两点，所以圆心C在线段的垂直平分线上，即上，联立可解得，即，所以圆C的半径为则圆C的标准方程.（2）设线段MN的中点，又M的坐标，且G为线段MN的中点，所以，又N在圆C上运动，可得，化简可得，所以，线段MN的中点G的轨迹方程.18.已知椭圆的离心率为，长轴长为4．（1）求C的方程；（2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求．解：（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，故，故椭圆方程为：.（2）由题设直线的斜率不为0，故设直线，，由可得，故即，且，故，解得，故.19.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知分别为的中点，平面与棱交于点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）判断线段上是否存在一点H，使得点H到平面的距离为？若存在，请求出点H的位置；若不存在，请说明理由.（1）解：因平面，平面，则，在正方形中，，因平面，则平面，因平面，则，又，点是的中点，则，因平面，故平面.（2）证明：由（1）平面，因平面，则，因平面，平面，则，又平面，平面，因平面，则，因点是的中点，，则，因平面，则平面，因平面，则，因平面，则平面，因平面，则，即.由（1）平面，因平面，则，即，又，则，则，因，，，则，即.以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则