河北省保定市多校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省保定市多校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，可得实数的取值范围为，故A正确.故选：A.2.如图，设直线，，，的斜率分别为，，，，则下列选项中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题知：，所以.故选：C.3.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，已知四棱锥是阳马，平面，且．若，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以.因为，所以.因为，所以.故选：A.4.已知圆与圆的位置关系为（）A.内切 B.相交 C.外切 D.外离【答案】B【解析】，即，圆心，半径，，圆心为，，则，则，故两圆相交.故选：B.5.已知自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，即，则圆心为，半径为，因为关于轴的对称点为，由于反射光线与圆相切，即反射光线所在直线为过的圆的切线所在直线，切线斜率显然存在，设切线方程为，即，则，化简得，所以．故选：C.6.已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】显然为椭圆的左焦点，令其右焦点为，圆的圆心，半径，由椭圆定义得，则，当且仅当点在线段上时取等号，而，当且仅当在线段上时取等号，所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段反向延长线与圆的交点时，取得最大值.故选：B.7.已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】整理得，令，解得，则直线过定点，整理得，令，解得，则直线过定点，则当直线与均垂直时，，之间的距离最大，而直线的斜率,则直线斜率为1，显然，则，解得.故选：D.8.已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】连接，设，，则，因为，所以，在中，，所以，化简得，则，，在中，，所以，即，所以离心率.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.若，，，是空间任意四点，则有B.若，则存在唯一的实数，使得C.若，共线，则D.对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中）且，则，，，四点共面【答案】ABC【解析】对于A，，故A错误；对于B，当时，不存在，故B错误；对于C，若共线，可以在同一条直线上，故C错误；对于D，若（其中），所以四点共面，故D正确.故选：ABC.10.已知曲线，是曲线上的动点，则下列结论正确的是（）A.当时，曲线表示的图形是圆B.若曲线表示焦点在轴上的椭圆，且离心率，则或C.当且时，的面积为D.当时，存在点使得【答案】ACD【解析】对于A，当时，曲线方程变为，则，可得曲线表示的图形是圆，故A正确，对于B，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，而离心率，可得，解得，故B错误，对于C，由题设可得，则，当时，则，化简得，而由椭圆的定义得，得到，解得，由三角形面积公式得，故C正确，对于D，设椭圆上一点为，而，，则，，若存在点使得，则存在点使得，此时，解得，可得，则存在点使得，故D正确.故选：ACD.11.已知点，点，是圆上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.过点且被圆截得最短弦长的直线方程为B.直线与圆总有两个交点C.过点作两条互相垂直的直线，分别交圆于点，和，，则四边形的面积的最大值为97D.的外接圆的半径最小值为【答案】BCD【解析】对于A，点在圆内，当弦与垂直时，所截得的弦长最短，对应直线方程为，A错误；对于B，直线过定点，由，得在圆内，因此直线与圆总有两个交点，B正确；对于C，记点到直线距离为，，，，则，当且仅当时取等号，因此，四边形的面积，C正确；对于D，设外接圆圆心为，外接圆的半径最小，当且仅当外接圆与圆内切，而点在的中垂线上，设，则外接圆半径，，因此，两边平方整理可得，即的外接圆的半径最小值为，D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设直线与椭圆相交于，两点，且的中点为，则直线的斜率为______．【答案】【解析】设，，所以，又因为的中点为，所以.故答案为：.13.若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由可得，得，所以曲线表示圆的上半圆，直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示：当直线与半圆相切且切点位于第二象限时，将直线化为一般式方程为，则，解得；将代入半圆方程得，则图中.当直线过点时，则，解得.又与圆相切，由图可知，直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是.故答案为：.14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限内的一点，且．过原点作平行于的直线，与和的角平分线分别交于，两点，且，则实数的值为______．【答案】5【解析】如图所示，因为，且的角平分线为，所以，可得，因为是的中点，所以为的中位线，则是线段的中点，可得，设，则，，由椭圆的定义可知，，则，所以，在中，由余弦定理得：，由，得，解得，故.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.根据下列条件求椭圆的标准方程．（1）椭圆的焦点在轴上，过点，离心率；（2）椭圆的一个焦点，过点；（3）椭圆过，两点．解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为，由题意得椭圆过点，，可得，解得，，则椭圆的标准方程为.（2）因为椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为，由题意得椭圆的一个焦点，过点，，解得，，可得椭圆的标准方程为.（3）设椭圆的方程为，由题意得椭圆过，两点，可得，解得，则椭圆的标准方程为.16.如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，．（1）求的长；（2）求和夹角的余弦值．解：（1）由，因为，，，，，所以则，即.（2）由，所以,故和夹角的余弦值为．17.如图，在平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴的交于点，过点的直线与圆交不同的两点，．（1）若直线与轴交于点，且，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别是，，证明：为定值．（1）解：设，求出，，则或4，当时，，此时直线的方程为，且圆心到直线距离，满足题意；当时，，，直线的方程为，圆心到直线距离（舍去）.（2）证明：设直线的方程为，联立，可得，设，则①可得，则②而，将①代入②化简可得，即；则为定值得证.18.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，．已知，分别为，的中点，平面与棱交于点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的正弦值；（3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：因为平面，平面，则，在正方形中，，因平面，则平面，因平面，则，又，点是的中点，则，因平面，故平面.（2）解：由（1）平面，因平面，则，因平面，平面，则，又平面，平面，因平面，则，因点是的中点，，则，因平面，则平面，因平面，则，因平面，则平面，因平面，则，即.由（1）平面，因平面，则，即，又，则，则，因为，，，则，即，即.以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，得，而平面法向量可取为，设平面与平面的夹角为，则，所以即平面与平面的夹角的正弦值为.（3）解：由（2）可得，则，假设线段上存在一点，满足，则，所以，则，即，则，由（2）已得平面的一个法向量为，则点H到平面的距离，解得或，则或.即在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为.19.如图，已知椭圆的左、右顶点为，，上、下顶点为，．记四边形的内切圆为．（1）求圆的标准方程；（2）已知椭圆的右焦点为，若上两点，满足，且．求证：以为直径的圆恒过异于点的一个定点；（3）若为椭圆上任意一点，过点作圆的切线分别交椭圆于，两点，则求三角形面积的最小值．（1）解：因为椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，所以四边形菱形，为其中心点，又，坐标分别为，，可得直线方程为，则原点到直线的距离为，即圆的半径，故圆的标准方程为．（2）证明：设，，，则，，又，所以，结合可得