河北省保定市十校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省保定市十校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列直线中，倾斜角为的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若倾斜角为，则斜率，观察选项可知，ABD不满足，C满足.故选：C.2.椭圆的焦距为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，所以，所以焦距为，故选：A.3.设空间向量，则（）A.6 B.9 C.-6 D.-9【答案】B【解析】因为，所以，解得故选：B.4.圆与圆的位置关系是（）A.内切 B.相交 C.外离 D.外切【答案】D【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则，，则，故两圆外切.故选：D.5.设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（）A.长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆B.长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆C.长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆D.长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆【答案】D【解析】设，，则（*）,，由,，则，即有，将其代入（*）,，化简得，即动点的轨迹为长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆.故选：D.6.若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由曲线，整理可得，则曲线为圆心、半径的圆的上半部分，如下图：由图可得直线与圆相切，则，解得，由图可得直线的方程为；；由图可得直线过，可得方程；由图可得直线过，可得方程.由图可得.故选：A.7.在直三棱柱中，，，，，为的重心，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直三棱柱中，底面；设,底面是等腰三角形，，，则边上的高为，因此,直三棱柱的高，所以顶点；由，故，因此,

是的重心，重心坐标为三个顶点坐标的平均值，即：,平面过点，取向量：,设平面的法向量为，则：，由得，代入第二个方程得，取，则，故法向量,平面过原点，因此平面方程为,对于平面，点的距离为：，因此，点到平面的距离为.故选：A.8.如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设球的半径为，球的大圆在光线照射下形成椭圆形，易知椭圆的长半轴长，短半轴长，因为，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在四面体中，，，分别为棱的中点，且，则（）A. B.C D.【答案】AB【解析】由题意如图所示：连接，因为分别为棱的中点，所以，由，故A正确，C不正确；因为，所以，又，所以，故B正确；由，故D不正确.故选：AB.10.若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】圆心到直线的距离，因为圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，所以，又圆的半径为2，所以，解得或，故选：BCD.11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为上的动点，则下列说法正确的是（）A.的最大值为0B.的最大值为C.若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为D.若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为【答案】ABD【解析】由题知，设，对于A，因为，则，又，则，又，所以，故A正确，对于B，因为，则，又，则，又，所以，故B正确，若，的斜率分别为，，又，且，则，整理得到，由，得到，所以选项C错误，选项D正确，故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两条平行直线，之间的距离为__________.【答案】或【解析】将直线的方程化为直线，由平行直线之间的距离公式得.故答案为：.13.已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________.【答案】【解析】设，所以，又因为为椭圆上任意一点，所以，因为，当时，取得最小值，所以的最小值为.故答案为：.14.在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为__________.【答案】6【解析】以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，则，设，则，由于，则，在平面内表示一条直线，令得，，令得，，则，即点的轨迹长度为6，故答案为：6.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）分别求直线在轴、轴上的截距；（2）求过点，且与直线垂直的直线方程；（3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角.解：（1），当时，，则轴上的截距为10；当时，，则轴上的截距为.（2）设所求直线的斜率为，的斜率为，因为两直线垂直，所以，解得，又所求直线过点，则所求直线方程为，整理得到.（3）直线的倾斜角为，，，的斜率为，直线的倾斜角为.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为上的动点.（1）若，求；（2）设点，求的最小值与最大值.解：（1）依题意得：，根据椭圆定义可得：，已知，联立以下两个方程：，将两式相加，得，因此.（2）椭圆右焦点的坐标为，左焦点；根据椭圆定义，，因此，代入，得：，对任意点，有，当且仅当、、共线时取等号；因为，所以，代入，得：最小值：，当在延长线与椭圆的交点时取得；

最大值：当在的延长线与椭圆的交点时取得.17.在四棱锥中，底面，，.（1）证明：平面.（2）设，.（i）求直线与平面所成角的正弦值；（ii）证明：平面与平面的夹角的余弦值小于.（1）证明：,且平面，平面，故平面.（2）(i)解：因为底面，面,面,，又，故以A为原点，分别为轴建立空间直角坐标系.如图：，.故，，.设平面的法向量为，，即，令，则，，设直线与平面所成角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.（ii）证明：设平面的法向量为，，即，令，则，.设平面与平面的夹角为，则，，，故平面与平面的夹角的余弦值小于.18.已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线.（1）求的标准方程.（2）若直线与交于，两点，求的最大值.（3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设动点，则，，而，故，化简得：，故的标准方程为.（2）设，，联立直线与曲线：得：，故，根据弦长公式得：，令，，故，令函数，易知在上单调递减，故当，最大，即最大，此时，故（舍）或，故最大值为：.（3）设点坐标为，，，过点的动直线为：.联立直线与曲线：得：，故，，，又，位于过点的动直线：上，故，.则，将代入上式，得：，若使为定值，则必须为常数，而且与无关，故此时只能为：，故存在点，使得，此时点坐标为：.19.已知椭圆的右顶点为，离心率为.（1）求的方程.（2）设直线与相交于，两点，关于轴的对称点为.（i）若，的横坐标大于的横坐标，求直