广东省深圳市某校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市某校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】k=tan120°=.故选：B．2.已知圆C的方程（），则圆C的圆心坐标和半径分别为（）A.，b B.，C.， D.，【答案】C【解析】由且化为标准形式，故圆心为，半径为.故选：C.3.原点关于直线的对称点坐标为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设原点关于直线的对称点坐标为，直线的斜率，因为直线与已知直线垂直，，即①且线段的中点在已知直线上将代入直线得：②联立①②解得：的坐标为.故选：D.4.过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故选C．5.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线．由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2．6.双曲线（，）一条渐近线的斜率为，一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（）A. B.2 C. D.6【答案】A【解析】由题设且，可得，所以双曲线一个顶点为，一条渐近线为，则顶点到渐近线的距离为.故选：A.7.已知椭圆C：，过椭圆C的焦点的直线l与椭圆C相交于，两点，设线段的中点为P.若，则（）A. B. C.1 D.9【答案】B【解析】已知椭圆C：的焦点，故椭圆焦点在轴上，标准形式为，其中，且，得方程（1），设直线l与椭圆C相交于，，中点为，则，直线l过和P.其斜率为，将，代入椭圆方程并相减。得：，因式分解后除以，得：，代入的值：，化简得：，即（2），联立（1）（2），将代入（1）：，所以，即，则，故.故选：B.8.如果方程表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】若，则方程表示焦点为的双曲线，此时选项A和选项B中的方程表示的曲线不存在，选项C和选项D中的方程表示焦点在轴的椭圆，所以不合题意，若，则方程表示焦点为的双曲线，此时选项C和选项D中的方程表示的曲线不存在，又表示焦点为的椭圆，符合题意，表示焦点为的椭圆，不合题意，故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知双曲线M：过点，则下列结论正确的是（）A.M的焦距为4B.M的渐近线方程为C.M的离心率为D.直线与M有两个公共点【答案】AB详析】由双曲线过点，可得，则双曲线的标准方程为：；所以，因为双曲线的焦距为，所以选项A正确；因为双曲线的渐近线方程为，所以选项B正确；因为双曲线的离心率为，所以选项C不正确；将直线与双曲线联立消可得：，化简可得，此时，所以直线与双曲线只有一个公共点，所以选项D不正确；故选：AB.10.已知点在圆上，点、，则（）A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C当最小时，D.当最大时，【答案】ACD【解析】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.11.已知抛物线（），过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，，过A，B两点作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.B，O，M三点共线【答案】ACD【解析】设过抛物线的焦点的直线为，代入抛物线方程得，且，，则，所以，A正确；所以，B错误；由，则，又，，所以，则，由，故，所以，C正确；由，则，而，且，所以，即B，O，M三点共线，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知△ABC的三个顶点分别是A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0),则△ABC的面积为________.【答案】5【解析】由题知AB＝＝2，边AB所在直线的方程为＝，即x＋y－4＝0，所以点C（－1，0）到直线AB的距离d＝＝，因此S△ABC＝×2×＝5.13.已知点和，直线与线段AB有公共点，则实数a的取值范围__________.【答案】【解析】由过定点，则，，如下图，由图，要使直线与线段AB有公共点，则.故答案为：.14.过双曲线（，）的一个焦点F作一条渐近线的垂线l，垂足为点A，垂线l与另一条渐近线相交于点B.若A是线段FB的中点，则双曲线的离心率为__________.【答案】2【解析】设，另一个焦点为，设l与垂直，垂足为点A，与交于点B，因为A是线段FB的中点，l与垂直，所以，因此三角形是等腰三角形，因此，由双曲线和渐近线的对称性可知：，所以有，因此，故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知点和圆.（1）判断点P与圆O的位置关系；（2）过点P作圆的切线l，求切线l的方程.解：（1）因为，所以点P在圆外.（2）当切线斜率不存在时，则切线为，显然不与圆相切；当切线斜率存在时，设切线l的斜率为k，则切线l的方程为，因为直线l与圆相切，联立，消元，得①，因为方程①只有一个解，所以，解得或，所以，所求切线l的方程为或.16.某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米.（1）如图，取拱顶为原点，拱桥的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求在该坐标系下拱桥的抛物线方程；（2）当水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船不能通行？解：（1）设所求抛物线方程为（），由已知，该抛物线过点，则，解得，所以，所求抛物线方程为.（2）因为当木船与抛物线拱接触时，木船开始不能通行，因为木船宽4米，设，如下图，则，解得，因此米，所以，当水面上涨到与抛物线拱顶相距2米及以下时，木船不能通行.17.如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦．（1）当时，求AB的长；（2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点，所以直线AB的方程为：，圆心到直线AB的距离为，则，所以.（2）当弦被点平分时，AB与垂直，因为，所以，直线AB的点斜式方程为即.18.已知双曲线C：（）.（1）若双曲线的离心率，求实数m的值；（2）若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围；（3）直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围.解：（1）由已知，可得，解得.（2）由已知，可得，解得.（3），消去y，得双曲线C与直线相交于互异两点，等价于不等式组，解得或，依题意：.当时，；当时，；所以k的取值范围是.19.设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A、，.过点，且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求的值；（3）是否存在实数，使直线平行于直线？请证明你结论.（1）解：由题可得，所以椭圆的