河北省石家庄市新乐市七校联合体2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省石家庄市新乐市七校联合体2025-2026学高二上学期11月期中质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线在轴上的截距为（）A.-3 B. C. D.3【答案】C【解析】令，得，即在轴上的截距为.故选：C.2.已知空间向量，，若，则（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】因为，所以存在实数，使得，即.即，，，所以，，所以.故选：A.3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，则（）A.的长轴长为5 B.的离心率等于C. D.的周长为14【答案】C【解析】如图，作出符合题意的图形，由题意知，，，对于A，结合题意可得的长轴长为10，故A错误，对于B，结合题意可得的离心率为，故B错误，对于C，由题意得，由两点间距离公式得，故C正确，对于D，结合椭圆的定义得的周长为，故D错误.故选：C.4.圆与圆的位置关系为（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】A【解析】由题意知，，两圆的半径分别为，，所以，故两圆外离.故选：A.5.在四面体中，是的重心.记，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】连接并延长交于，则为的中点，所以，，所以，所以，，所以.故选：B.6.已知双曲线的右焦点为，过的直线交于，两点，点在第二象限，且关于轴的对称点为，若，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意知（为坐标原点），，故直线的斜率为，所以的方程为，即.故选：A.7.已知实数，满足，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，可看作是一组与椭圆有公共点的平行直线.由，得.，解得故选：B.8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，，关于原点对称，不妨设点为第一象限内一点，则，，又，，所以，，记，因为为锐角三角形，所以，，，即，，，解得，所以.故选:D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，若正方体的棱长为，为的中点，则（）A.与所成的角为 B.C. D.与平面所成的角为【答案】AB【解析】以点为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，，所以，，所以与所成的角为，，.平面的一个法向量为，设与平面所成的角为，所以，所以A，B正确，C，D错误故选:AB.10.已知曲线，则下列命题错误的是（）A.若，则为椭圆B.若或，则表示双曲线C.若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距D.若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距【答案】ACD【解析】因为，但，即不是椭圆，故A错误；当，即，或时，为双曲线，故B正确；当时，为焦点在轴上的椭圆，其焦距为，当时，为焦点在轴上的椭圆，其焦距为，而的焦距为，故C错误；当时，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为，当时，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为，与双曲线的焦距不相同，故D错误.故选：ACD.11.已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线.点，直线，则（）A.曲线的方程为B.当最小时，C.当最大时，D.若曲线上仅有一点到直线的距离为2，则的值为【答案】ABC【解析】设，由，得，化简得，曲线，故A正确；由曲线的方程，知曲线表示以为圆心，且半径为的圆.当最小或最大时，如图所示，直线分别在的位置，均与曲线相切，，故B，C正确；圆心到直线的距离，由题意得，解得，或，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若双曲线的实轴长为4，虚轴长为，则该双曲线的离心率等于__________.【答案】或【解析】记实轴长为，虚轴长为，焦距为.则，，所以，，.所以该双曲线的离心率.故答案为：.13.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意知，，所以，设，则，由，得，故，所以当时，取得最大值9，当或时，取得最小值5，故的取值范围为．故答案为：.14.已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为__________.【答案】【解析】因为切点分别为，，则，，所以，，，四点在以为直径的圆上，因为，所以在圆心为，半径为的圆上，其方程为，所以与两边分别作差，得，即直线的方程为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.回答下面两个问题（1）求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程；（2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程.解：（1）由题意知，双曲线的焦点在轴上，且半焦距，故设所求双曲线的标准方程为，，，所以，所以，所以，故所求双曲线的标准方程为.（2）设所求双曲线的方程为，将点代入上述方程，得，所以，所以，故所求双曲线的方程为.16.已知点，，.（1）求的面积；（2）求的外接圆的方程.解：（1）直线的方程为，即，点到直线的距离，，所以的面积.（2）设外接圆的方程为，由题意得解得故的外接圆的方程为.17.已知三条直线，，.（1）若，，交于一点，求实数的值；（2）若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围.解：（1）联立与的方程，得解得即与的交点坐标为，由题意知点在上，所以，解得.（2）由（1）知，当时，，所以，当时，，所以，当不与和平行，且不过同一点时，，，三条直线可以围成三角形，所以，且，且，故的取值范围为.18.如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：因为，为中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：因为，，所以为等边三角形，因为为的中点，所以，由（1）得，，故以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设平面的一个法向量，则即，解得，，所以，所以点到平面的距离.（3）解：由（2）得，，设平面的一个法向量，则即令，解得，，所以，由（2）知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则.19.已知右焦点为的椭圆过点.（1）求的方程；（2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值；（3）过点的直线与交于，，与双曲线的右支交于点，，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意得解得所以的方程为.（2）设，由题意知，，，，所以