高二物理（人教版）学案 选择性必修二 第一章 综合融通（三）　带电粒子在有界匀强磁场中的运动

6/6综合·融通(三)带电粒子在有界匀强磁场中的运动(融会课—主题串知综合应用)通过本节课的学习会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动；掌握带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的思路和方法；会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题，知道产生多解的原因。主题(一)带电粒子在有界匀强磁场中的运动[知能融会通]1．直线边界从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示。2．平行边界3．圆形边界(1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。(2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。4．三角形边界等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。[典例]如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v1、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为()A.eq\f(1,2)v1 B.eq\f(2,3)v1C.eq\f(\r(3),2)v1 D.eq\f(3,2)v1听课记录：[题点全练清]1.如图所示，平行线PQ、MN之间有方向垂直纸面向里的无限长匀强磁场，电子从P点沿平行于PQ且垂直于磁场方向射入磁场，当电子速率为v1时与MN成60°角斜向右下方射出磁场；当电子速率为v2时与MN成30°角斜向右下方射出磁场(出射点都没画出)，v1∶v2等于()A．1∶(2－eq\r(3)) B．(2－eq\r(3))∶1C．2∶1 D.eq\r(3)∶12.(多选)如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则()A．从P射出的粒子速度大B．从Q射出的粒子速度大C．从P射出的粒子在磁场中运动的时间长D．两粒子在磁场中运动的时间一样长主题(二)带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题[知能融会通]解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。(1)刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。(2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。(3)比荷相同的带电粒子以不同的速率v进入磁场时，圆心角越大的，运动时间越长。[典例](2024·海南海口期末)如图所示，在矩形GHIJ区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P点是GH边的中点，四个完全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P点射入匀强磁场，它们的轨迹在同一平面(纸面)内，下列说法正确的是()A．④粒子的速率最大B．③粒子的向心加速度最大C．②粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长D．①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ磁场区域的运动周期不相同听课记录：[题点全练清]1．(2024·山东青岛期末)如图，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场下边界OM和荧光屏ON之间的夹角为30°。OM上的P点处有一粒子源，沿与OM垂直的方向以不同的速率持续向磁场发射质量为m、电荷量为＋q的粒子。已知P点到O点的距离为d，荧光屏上被打亮区域的长度为()A.eq\f(\r(3)d,3) B.eq\f(2\r(3)d,3)C．d D．2d2．(2024年1月·河南高考适应性演练)2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为R1和R2的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，R2＝2R1。假设氘核12H沿内环切线向左进入磁场，氚核13H沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则12H和13H的速度之比为()A．1∶2 B．2∶1C．1∶3 D．3∶1主题(三)带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题[知能融会通]1.带电粒子电性不确定形成多解。如图甲中做匀速圆周运动的粒子可能带正电，也可能带负电，由于带电性质不确定带来多解。2．磁场方向不确定带来多解。如描述的磁场垂直于纸面，需分垂直纸面向外、垂直纸面向里两种情况进行讨论。3．临界状态不唯一形成多解。如图乙中带负电粒子不打在下极板上，粒子的速度有两种情况：v≤v1或v≥v2。4．运动的周期性带来多解。如带负电粒子在图丙所示电磁组合场中会做周期性运动，从而带来多解。[典例]在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，直线OM和ON之间的夹角为30°，一质量为m、带电量为q的粒子，沿纸面以大小为v0的速度从OM上的O′点向左上方垂直磁场方向射入NOM之间，速度与OM成30°角，如图所示。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，不计重力，则OO′的距离为多少？尝试解答：[题点全练清]1.(多选)如图所示，在x轴上方且x＞0的区域有电场强度大小为E、垂直x轴向上的匀强电场，在x轴下方且x＞0的区域有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，M点在x轴上，OM的长度为L。现把电子(质量为m、电荷量为e)在某位置(x＞0)无初速释放，要求能通过M点，则电子释放时的坐标x、y应满足的关系为()A．x＝L，y＜0B．x＝L，y＞0C．y＝eq\f(eB2L－x2,8n2mE)(n＝1,2,3，…)D．0＜x＜L，y＝eq\f(eB2L－x2,8n2mE)(n＝1,2,3，…)2.(多选)如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，离子重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s，负离子的比荷为eq\f(q,m)、速率为v，OP与OQ间夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足()A．垂直纸面向里，B>eq\f(mv,3qs)B．垂直纸面向里，B>eq\f(mv,qs)C．垂直纸面向外，B>eq\f(3mv,qs)D．垂直纸面向外，B>eq\f(mv,qs)综合·融通(三)带电粒子在有界匀强磁场中的运动主题(一)[典例]选C画出两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所示，由题意可知，同一粒子在磁场中偏转时间均为t，则两种情况下带电粒子的偏转角均为60°。设磁场圆的半径为R，由几何关系可以确定带电粒子在两种情况下做匀速圆周运动的半径分别为r1＝2R，r2＝Rtan60°＝eq\r(3)R，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq\f(v2,r)，则速度大小为v＝eq\f(qBr,m)，则eq\f(v1,v2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(2,\r(3))，所以当粒子沿ab方向射入时，v2＝eq\f(\r(3),2)v1，A、B、D错误，C正确。[题点全练清]1．选B设电子射出磁场时速度方向与MN之间的夹角为θ，电子做匀速圆周运动的半径为r，两平行线之间的距离为d，由几何关系可知cosθ＝eq\f(r－d,r)，解得r＝eq\f(d,1－cosθ)，电子做匀速圆周运动，qvB＝eq\f(mv2,r)，解得v＝eq\f(rqB,m)∝r，联立可得v1∶v2＝(2－eq\r(3))∶1，故B正确。2．选BD作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示，根据圆周运动特点可知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方向与AC边的夹角相同，故可判定轨迹半径RP＜PQ，又两个带电粒子的比荷相同，故由R＝eq\f(mv,Bq)可知，从Q点射出的粒子速度大，A错误，B正确；由T＝eq\f(2πR,v)＝eq\f(2πm,qB)可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，根据图示可知，两轨迹对应的圆心角相等，由t＝eq\f(θ,2π)T可知，两粒子在磁场中的运动时间相等，C错误，D正确。主题(二)[典例]选A对于完全相同的粒子，其比荷相同，在同一匀强磁场中，则周期相同，由题图知，③粒子在磁场中转过的圆心角最大，所以③粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长，故C、D错误；根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq\f(v2,r)，可得r＝eq\f(mv,qB)，由于④粒子的轨迹半径最大，则④粒子的速率最大，故A正确；粒子的向心加速度为a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(qBv,m)，可知④粒子的向心加速度最大，故B错误。[题点全练清]1．选A根据题意，若粒子的速率足够大，粒子无限接近沿直线打到荧光屏的A点，如图1所示，由几何关系可得AO＝eq\f(d,cos30°)＝eq\f(2\r(3),3)d；若粒子的速率较小，打到荧光屏上B点为临界点，如图2所示，设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系可得eq\f(r,d－r)＝sin30°，OB＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－r))cos30°，解得OB＝eq\f(\r(3),3)d，则荧光屏上被打亮区域的长度为L＝OA－OB＝eq\f(\r(3),3)d，故选A。2.选A由题意可知,根据左手定则,作轨迹图如图所示,由几何关系可知,氘核12H的轨迹半径为r1,有2r1=R2-R1=R1,则r1=R12,由几何关系可知,氚核13H的轨迹半径为r2,有2r2=R2+R1=3R1,则r2=3R12,即r1r2=13,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=mv2r,可得v=qBrm,由题意可知,氘核12H和氚核13H的比荷之比为q1m1q2m2=q1q2·m主题(三)[典例]解析：若粒子带负电，其在磁场中运动的轨迹如图1所示，由图1可得ab＝2R，O′a＝R，Oa＝4R根据洛伦兹力提供向心力，有Bqv0＝eq\f(mv02,R)可得OO′＝Oa－O′a＝eq\f(3mv0,Bq)；若粒子带正电，其在磁场中运动的轨迹如图2所示，则可得OO′＝R，所以OO′＝eq\f(mv0,Bq)。答案：若粒子带负电，OO′的距离为eq\f(3mv0,Bq)；若粒子带正电，OO′的距离为eq\f(mv0,Bq)[题点全练清]1.选BD画出满足题中条件的可能情况如图所示，Q、C之间还有整数个半圆未画出。电子最初坐标为(x，y)，若电子最初位置在AM右侧，即x＞L，不能经过M点；若电子最初位置在AM上，只需y＞0即可经过M点；若电子最初位置在AM左侧，即0＜x＜L，根据题意有L－x＝2nR(n＝1,2,3，…)，即R＝eq\f(L－x,2n)(n＝1,2,3，…)，电子由静止释放至运动到x轴，根据动能定理，有eEy＝eq\f(1,2)mv02，电子在磁场中做匀速圆周运动的半径R＝eq\f(mv0,eB)，解得y＝eq\f(eB2L－x2,8n2mE)(n＝1,2,3，…)。B、D正确，A、C错误。2．选BC当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知，负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识可知r2＝OBsin30°＝eq\f(1,2)OB，而OB