（人教A版）必修第二册高一数学下学期第七章 复数（能力提升卷）（解析版）

专题7.4复数（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分一、单选题1．若复数z满足2z−i=zi1+A．−15−35i B．−15+3【答案】B【分析】直接利用复数的运算化简求解.【详解】解：由题得2z−i=z故选：B2．已知i是虚数单位，复数z满足z3−i=i，则z=A．−1+3i B．−1−3i C．1+3i D．1−3i【答案】D【分析】先化简复数z，再求其共轭复数即可.【详解】因为z3−i=i所以z=i3−i3．复数z=54+iA．−3i B．−6i C．−3 【答案】D【分析】依据复数的运算律化简复数，写出代数形式，得虚部.【详解】z=5(4+i24．若复数z满足z=i20211−i（i是虚数单位），则zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据复数i的运算性质，化简复数为z=−12+【详解】由题意，复数z=i20211−i所以z在复平面内对应的点为−15．复数z=i2019(−1−2i)A．2−i B．2+i C．−2−i D．−2+i【答案】C【分析】直接计算即可.【详解】z=i2019(−1−2i)=−i(−1−2i)=−2+i6．若i为虚数单位，a,b∈R，且a+2ii=b+i，则复数a−bi的模等于（A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】首先根据复数相等得到a=−1，b=2，再求a−bi的模即可.【详解】因为a+2i=b+ii=−1+bi，所以a=−1，所以a−bi=7．已知a为实数，若1+2ia+i>32（i为虚数单位），则A．1 B．−2 C．13 D．【答案】D【解析】把1+2ia+i分子分母同时乘以a−i【详解】解：∵1+2ia+i=8．下列命题：①若a,b∈R，且a=b，则a+b+(a−b)i为纯虚数；②z12+z22=0，则z1=0且z2=0；③zA．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】举出反例a=b=1可判断①；举出反例z1=i，z2=1可判断②；直接根据乘法性质以及0的特征可判断③；举出反例【详解】①当a=b=1时，a+b+(a−b)i=2，故①错误；②当z1=i，z2③由于z1z2=0，由乘法性质可得④当z1=1+i，z2=−1+i时，即正确的命题有1个，故选：B.二、多选题9．已知复数z=1+i1−A．z2B．z+C． z D．复数z+z⋅【答案】ABC【详解】由题意知，z=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=i，所以z2 021=i10．设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是（A．若|z1−z2|=0，则C．若z1⋅z1=z2【答案】ABC【分析】由复数的模及复数的基本概念判断A,B；针对C选项，设z1=a1+b【详解】对于A，若z1−z2=0，则z对于B，若z1=z2，则z1对于C，设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，而z12=1，z11．已知复数z1=2i，zA．z1z2=z1C．z1z2∈R【答案】AB【分析】对于A：分别求出z1z2,z1z2来判断；对于B：设z=a+bi【详解】对于A：∵复数z1=2i，z2=1+i，又z1z2对于B：设z=a+bi,a∈R,b∈R，则z−z1即z的最大值为3，B正确；对于C：z1对于D：z1z2三、填空题12．已知复数z满足z+2i∈R，4−zz是纯虚数，则z【答案】2+2【分析】根据题意，设z=a+bi，a，b∈R【详解】解：设z=a+bi，a，b∈R，由z+2i∈R，得b=−2所以4a−a2−4=0，解得a=2，所以z=2−213．已知复数z满足2z+z=1−i，则【答案】10【分析】设z=a+bi，(a，b∈R)，由复数相等建立方程解之可求得答案．【详解】解：设z=a+bi，(a，b∈R)，因为2z+z=1−i，所以2a+2bi+a−bi=1−i，故3a+bi=1−i，所以a=1则z=1+114．在复数范围内2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程ax2【答案】−3【分析】得到2−i为方程的另外一个根，利用根与系数的关系求出a,b【详解】∵2+i是关于x的实系数一元二次方程a∴2−i为方程的另外一个根，∴1a=∴a=15，b=−45四、解答题15．已知复数z=m2−m−2+m在①z>0；②z为纯虚数；③z的实部与虚部相等．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．(1)若______，求实数m的值；(2)若复数z−m2(1+【答案】(1)选①,m=−2;选②,m=−1;选③,m=2;(2)m=2或m=−4.·【分析】（1）选①根据题意知复数为正实数，由实部大于0，虚部等于0列出式子求解，选②根据纯虚数知实部为0，虚部不为0求解，选③由实部虚部相等列方程求解；（2）化简复数，根据复数的模列出方程求解.【详解】（1）若选①，因为z>0，则m2−m−2>0m若选②，因为z为纯虚数，则m2−m−2=0m若选③，因为z的实部与虚部相等，则m2−m−2=m（2）因为z−m所以(−m−1)2+(−4)2=516．已知复数z1=a+2+(a2−3)i，（1）若复数z1−z（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2−6x+m=0【答案】（1）(4,+∞)；（2）13.【分析】（1）由复数的减法求z1−z2，根据其所在的象限可得（2）由z1是实系数一元二次方程x2−6x+m=0的根，则z1也是它的根，进而可知【详解】（1）z1∵z1∴{a>0a2−3a−4>0，解得：a>4．∴实数（2）∵虚数z1=a+2+(a2−3)∴z1=a+2−(a∴{Δ=36−4m<0z1∴m的值为13.17．已知复数z=m＋2i是方程x2+6x+13=0的根（i是虚数单位，m∈(1)求|z|：(2)设复数z1=a−i2023z，（z是【答案】(1)z=13【分析】（1）将复数根代入方程中，根据复数相等即可求解，（2）根据i的周期性以及复数的除法运算法则化简得z1【详解】（1）由题知(m+2i)即4m+12=0m2+6m+9=0⇒m=−3（2）z1=a+18．i是虚数单位，且a+bi=(1−(1)求a,b的值；(2)设复数z=−1+yi(y∈R)，且满足复数【答案】(1)a=3,b=−1，；(2)5【分析】（1）由复数的四则运算可化简复数，再由复数相等可知实部与虚部对应相等，可求得a,b，（2）由复数的乘法运算可化简复数式为标准式，再由复数在第一、三象限的角平分线上可知复数实部等于虚部，求得参数y,再由复数模公式求得复数模．（1）因为a+bi又因为a,b∈R

所以（2）由（1）可知a+bi所以a+bi因为复数(a+bi)⋅z所以−3+y=3y+1，解得y=−2，所以z=−1−2所以z=19．已设z1是方程x2−2x+2=0（1）求z1（2）设z2=a+i（其中为虚数单位，a∈R），若z2的共轭复数z2【答案】（1）z1=1+i；（2）【分析】（1）先由题意，设z1=a+bi（2）根据复数的运算以及共轭复