（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练专题01 平面向量的基本运算与线性表示（解析版）

专题01平面向量的基本运算与线性表示【考点预测】知识点一、向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模）平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量）与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为知识点二、向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则（1）交换律：（2）结合律：减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差三角形法则数乘求实数与向量的积的运算（1）；（2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，．结合律：；分配律：，知识点三、平面向量基本定理1、平面向量基本定理如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．知识点四、平面向量的坐标运算1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算运算坐标语言加法与减法记，，实数与向量的乘积记，则知识点五、平面向量共线（1）线性表示向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得（2）坐标表示设，其中，则知识点六、两个向量的夹角1、定义已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角．2、范围向量夹角的范围是，与同向时，夹角；与反向时，夹角．3、向量垂直如果向量与的夹角是，则与垂直，记作．知识点七、平面向量的数量积1、已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角．规定．当时，，这时2、的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．知识点八、数量积的运算律（1）交换律：．（2）分配律：．（3）对．知识点九、向量数量积的性质1、如果是单位向量，则．2、．3、，4、．（为与的夹角）5、．知识点十、数量积的坐标运算设，则：1、．2、．3、．4、（为与的夹角）【典型例题】例1．如图，在中，，，直线交于点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据图示可知，三点共线，由共线定理可知，存在实数使得,又，所以，又三点共线，所以，解得，即可得，所以，所以，即，可得，又，即可得.故选：A例2．已知向量，，且，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，，又，所以，解得，所以，则.故选：A例3．已知平面向量，是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（

）A．​ B．1 C．​ D．2【答案】A【解析】平面向量是非零向量，，，则.设与夹角为，则，在方向上投影为.故选：A例4．已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由知为中点，又为外接圆圆心，，，，，，，∴在向量上的投影为：，向量在向量上的投影向量为：．故选：D．例5．已知，，则（

）A．1 B． C．2 D．或2【答案】C【解析】因为，所以，.故选：C.例6．（多选）设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（

）A．若，则存在实数，使得.B．若，则.C．若，则，反向.D．若，则，一定同向【答案】ACD【解析】对于选项A：当，由向量加法的意义知，方向相反且，则存在实数，使得，故选项A错误；对于选项B：当，则以，为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，则，故选项B正确；对于选项C：当，由向量加法的意义知，方向相同，故选项C错误；对于选项D：当时，则，同向或反向，故选项D错误；综上所述：选项ACD错误，故选：ACD.例7．如图,在平行四边形中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一个三等分点,且,若,则______.【答案】【解析】解:由题知点F为线段BD上的一个三等分点,所以,所以,因为不共线,所以,故.故答案为:例8．设非零向量，满足，，则与的夹角为________.【答案】【解析】，，又，代入上式得：，解得：，又，.故答案为：.例9．在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.(1)若，试用，和实数表示；(2)试用，表示；(3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线.【解析】（1）由题意，所以，①（2）设，由，，②由①、②得，，所以，解得，所以；（3）由，得，所以，所以，因为与有公共点，所以，，三点共线.例10．已知非零向量，不共线．(1)如果，，，求证：，，三点共线；(2)欲使和共线，试确定实数的值．【解析】（1）证明：，，，，，且有公共点，故，，三点共线；（2）和共线，存在实数，使得，且，可得．例11．已知向量，，．(1)求；(2)若，求实数的值．【解析】（1）因为，，．所以，.（2）由已知可得，，因为，则，解得.例12．已知：、是同一平面内的两个向量，其中．(1)若且与垂直，求与的夹角；(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．【解析】（1）由得，即，所以，得，又，所以；（2）因为，，所以所以，则，由得，由与与的夹角为锐角，所以【过关测试】一、单选题1．已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则，所以；若，则，解得，得不出.所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A.2．设向量，，则“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】或或，故选：B．3．如图，在等腰梯形ABCD中，，AD=2，AB=BC=CD=1，E为AD的中点．则下列式子不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，并且四边形ABCE和四边形BCDE都是平行四边形，即，对于A，，正确；对于B，，正确；对于C，，错误；对于D，，正确；故选：C.4．在正三角形△ABC中，，M，N分别为AB，AC的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题知，，，向量，的夹角为150°，所以.故选：A．5．在中，D为AB边的中点，记，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为D为AB边的中点，所以，即，所以．故选：D6．已知向量，，，若与共线，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】由题意向量，，，则，由于与共线，则，故选：D7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意,即，所以故选：A.8．已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（

）A． B． C．－ D．－【答案】C【解析】由题意得，,，当时，有最小值，即，则在上的投影向量为，故选：C二、多选题9．已知是直线l上的一个单位向量，与都是直线l上的向量，且，，则（

）A．的坐标为 B．C．的坐标为5 D．【答案】ABD【解析】对选项A，因为，所以的坐标为，故A正确；对选项B，，故B正确.对选项C，因为，，所以的坐标为，故C错误；对选项D，因为，，的夹角为，所以，所以，故D正确.故选：ABD10．设，是互相垂直的单位向量，，，下列选项正确的是（

）A．若点C在线段AB上，则B．若，则C．当时，与共线的单位向量是D．当时，在上的投影向量为【答案】ABD【解析】由题意可得：，对A：若点C在线段AB上，则，则，可得，解得或（舍去），故A正确；对B：由，可得，解得，故B正确；对C：当时，则，与共线的单位向量是，故C错误；对D：当时，可得，则在上的投影向量为，故D正确.故选：ABD．11．已知中，，，若与交于点，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】因为，，所以，，所以，故A正确，B错误；因为、、三点共线，故设，又、、三点共线，设，所以，解得，所以，即是上靠近的一个四等分点，即，所以，故C错误；即，同理可得，所以，即，故D正确；故选：AD12．已知A，B，C，是三个不同的点，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．A，B，C三点共线【答案】ABD【解析】由题可得，，,，故A正确；，故B正确；，故C错误；由可得，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确.故选：ABD.13．在中，是中线，则下列等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】延长至，使，如下图所示，则是平行四边形，所以，故A正确；因为，故B正确，D错误；分别故作边的垂线，垂足分别为，如下图所示：则，又，所以，所以与高之比为，又，的底均为，所以，故C正确.故选:ABC.三、填空题14．在平行四边形ABCD中，点E满足，且O是边AB中点，若AE交DO于点M．且，则______．【答案】【解析】在平行四边形ABCD中，点E满足，且O边AB中点，所以E是边DC离近C的三等分点，可得，，所以又，所以，故答案为：.15．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则实数k=___.【答案】【解析】因为向量与的方向相反，则存在负实数，使得，即，而，不共线，因此，解得，所以.故答案为：16．已知向量，，且，则__________.【答案】5【解析】由可得，，即，解得，，所以，所以.故答案为：5.17．已知向量，，若，则向量与夹角的余弦值为_________.【答案】【解析】因为向量，，所以，，由向量的夹角公式可得：，又因为，则，所以，故答案为：.18．已知向量，则下列说法正确的是___________.（1）（2）（3）向量在向量上投影向量的模长是（4）与向量方向相同的单位向量是【答案】（1）（4）【解析】由题意，向量，由，则，所以，故（1）正确；由，可得，故（2）错误；由向量在向量方向上的投影向量为，故其模长为，故（3）错误；由，所以与向量方向相同的单位向量是，故（4）正确；故答案为：（1）（4）.四、解答题19．已知的夹角为，，当实数为何值时，(1)(2)【解析】（1）若，得，即，即解得，．（2）若，则，即，得，，解得．20．设两个非零向量与不共线．(1)若，，求证三点共线．(2)试确定实数，使和共线．【解析】（1）因为，，，所以所以，共线，又因为它们有公共点，所以三点共线；（2）因为和共线，所以存在实数，使，所以，即.又，是两个不共线的非零向量，所以所以，所以或.21．已知向量满足，且.(1)求；(2)记向量与向量的夹角为，求.【解析】（1）因为，所以.因为向量满足，所以，所以.所以.（2）因为，所以.22．已知两个不共线的向量、的夹角为，且，，为正实数．(1)若与垂直，求；(2)若，求的最小值及对应的的值.【解析】（1）因为与垂直，所以，所以，，所以，；（2），所以时，取得最小值．23．如图，在△ABC中，，，，，．(1)设，求x，y的值，并求；(2)求的值．【解析】（1），，，，.（2）.24．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.(1)试用向量表示；(2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值.【解析】（1）因为三