（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练专题09 立体几何中的平行与垂直问题（解析版）

专题09立体几何中的平行与垂直问题【考点预测】1、证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面．（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2、证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）；⑦平行线垂直直线的传递性（∥）．（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）；③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（∥）；⑤面面垂直的性质（）．（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）．【典型例题】例1．已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（

）①，；②，；③，；④，；

⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【解析】由题意，①，，故，故正确；②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；③，则或，故错误；④，；则与可能平行或相交，故错误；⑤，，，由线面平行的判定定理可得，故正确.故选：A.例2．已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（

）A．若则B．若则C．若则D．若则【答案】D【解析】对于A，则错误，原因是β不一定是经过直线m的平面；故A错误；对于B，若则错误，如图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否α与β一定垂直，故B错误；对于C，若则，错误，例如教室的墙角，不妨设α为东墙面，γ为北墙面，β为地面，满足但α与γ相交，故C错误；对于D，因为由面面垂直的判定定理得：，故D正确．故选：D．例3．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（

）A． B．//平面C． D．//平面【答案】B【解析】不妨设棱柱的高为，.B选项，根据棱柱性质，//，而平面，若//平面，无论怎样平移直线，都不会和平面只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误；A选项，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），A选项正确；C选项，连接，根据平行四边形性质，过，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），结合A选项，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的侧棱//，故，C选项正确；D选项，取中点，连接，结合为的中点可知，为中位线，故//，且，即//，且，故四边形为平行四边形，故//，由平面，平面，故//平面，D选项正确.故选：B例4．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（

）A．EF与GH平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上【答案】D【解析】如图所示：连接EH，FG.因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，所以GF//BD，且GF＝BD.因为点E，H分别是边AB，AD的中点，所以EH//BD，且EH＝BD，所以EH//GF，且EH≠GF，所以EF与GH相交，设其交点为M，则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M在直线AC上．故选：D.例5．（多选）如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱中点，则A、B、C、D四点共面的图形（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A：取GD的中点F，连结BF、EF，因为B、F均为相应边的中点，则BF∥HG，且BF＝HG，又HG∥AE，HG＝AE，则BF∥AE，BF＝AE，即ABCD为平行四边形，所以AB∥EF，同理CD∥EF，则AB∥CD，即A、B、C、D四点共面，故A正确；对于B：显然AB与CD异面，故B不正确；对于C：连结AC、BD、EF，因为BE∥DF，即BDFE为平行四边形，所以BD∥EF，又A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF，所以BD∥AC，即A、B、C、D四点共面，故C正确；对于D：连结AC、BD、EF、GH，因为GE∥HF，即GEFH为平行四边形，则GH∥EF，又A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF，同理BD∥GH，所以BD∥AC，即A、B、C、D四点共面，故D正确．故选：ACD．例6．如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，.(1)求证：平面；(2)求证：；【解析】（1）证明：设，连接，，因为，分别为，的中点，则，，因为为的中点，所以，且，所以，，则四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，故平面；（2）证明：因为，，，所以；所以，即，因为平面平面，且平面底面，平面所以平面，又平面，故.例7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)若平面，求四棱锥的体积.【解析】（1）证明：如图，取的中点为，连接.因为分别是的中点，四边形是矩形，所以，且，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）证明：因为，的中点为，所以，因为平面，平面，所以，因为底面是矩形，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面，因为由（1）知，所以平面.（3）因为平面平面ABCD，所以，又，所以，因为平面平面，所以，又E是PB的中点，所以，所以直角梯形的面积.因为点到平面的距离，所以.例8．正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点．(1)求证：E、F、B、D共面；(2)求证：平面平面．【解析】（1）连接，由题意可得：分别为的中点，则，∵，，则为平行四边形，∴，则，故E、F、B、D共面.（2）由题意可得：分别为的中点，则，∵，则，且平面，平面，∴平面，连接，由题意可得：分别为的中点，则，，∵，，则，，即为平行四边形，∴，平面，平面，∴平面，，平面，故平面平面.例9．在正三棱柱中，，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.【解析】（1）连接，如图所示因为是的中点，所以为的中点，又因为为的中点，所以.因为平面平面，所以平面.（2）在矩形，所以.所以.所以.所以.在正三棱柱中，底面平面.因为为的中点，，所以.因为平面平面，所以平面.因为平面，所以.又因为平面平面，所以平面.例10．如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，，点E为PC的中点．(1)求证：平面BDE；(2)求证：平面平面PAC．【解析】（1）连接AC交BD于O点，连接EO，∵底面ABCD是菱形，O为AC的中点，∵点E为PC的中点，，

∵平面BDE，且平面BDE，∴平面BDE；（2）∵底面ABCD是菱形，∴，

∵，，平面PAC，平面PAC，

∴平面PAC，

又平面PBD，∴平面平面PAC．【过关测试】一、单选题1．已知在正方体中，交于点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．【答案】C【解析】作出图形如图所示，连接，因为，所以平面平面，故平面，其他三个选项易知是错误的.故选：C.2．已知三个互不重合的平面，，，且，，，给出下列命题：①若，，则；②若，则；③若，，则；④若，则．其中正确命题个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】对于①，当三条交线交于一点时，若，，则b，c夹角不确定，故①不正确，对于②，若，则，，即，，所以，所以，故②正确，对于④，若又，，所以，又，且，所以，故④正确，对于③，由④可同理得若，则，与矛盾，故不平行，故，，与相交，则，又，得到，故③正确，综上可知三个命题正确，故选：C．3．直线与平面斜交，那么在内与垂直的直线（

）A．没有 B．有一条C．有无数条 D．有条（为大于1的整数）【答案】C【解析】如图，过点B作，垂足为C，连接AC，则直线a在平面内的射影为AC，在平面内过点A作AC的垂线b，则平面，而平面，所以，又因为平面内有无数条直线与直线b平行，所以在平面内与a垂直的直线有无数条.故选：C.4．如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中错误的是（

）A． B．是等边三角形C．平面平面 D．二面角的正切值为【答案】C【解析】设等腰直角三角形的腰为，则斜边，为的中点，，又平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，故A正确；由A知，平面，平面，，又，由勾股定理得：，又，是等边三角形，故B正确；为等腰直角三角形，取斜边的中点，则，又为等边三角形，连接，则,为平面与平面的二面角的平面角，由平面可知，为直角，因此不是直角，故平面与平面不垂直，故C错误；由题意知，平面，过点作于点，连接，则，为二面角的平面角，设为，则，故D正确;故选：C.5．如图一，矩形中，，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（）A． B．平面

C．平面 D．平面平面【答案】D【解析】翻折前，，，翻折后，，，平面，则平面，平面，平面平面，故D正确；由上述可知二面角的平面角为，在翻折的过程中，会发生变化，故与不一定垂直，与平面不一定垂直，故B错误；设，在图一中，，，解得，，，，，，在图二中，过点在平面内作，交于点，连接，则，故，则，，不为的中点，，，则，若，，平面，则平面，平面，则，，平面，且，，为的中点，则为的中点，与已知矛盾，故A错误；由选项A知，，平面，平面，平面；若平面，则，平面，则平面平面，平面平面，平面平面，则，为的中点，则为的中点，与已知条件矛盾，故C错误．故选：D．6．在正方体中，P是平面内的一动点，M为线段的中点，则下列说法错误的是（

）A．平面内任意一条直线都不与平行B．平面和平面的交线不与平面平行C．平面内存在无数条直线与平面平行D．平面和平面的交线不与平面平行【答案】B【解析】对A，因为与在平面内且不平行，故与相交，故与平面相交，若平面内任意一条直线与平行，则平面，矛盾，故A正确；对B，由平行，平面，平面，故平面.设平面和平面的交线为，由线面平行的性质可得，又平面，平面，故平面，故B错误；对CD，延长，交于，连接如图.由题意，平面和平面的交线即直线，故当平面内的直线与平行时，与平面也平行，故C正确；交线与平面交于，故D正确；故选：B二、多选题7．如图所示，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是（

）A． B．C．平面 D．平面【答案】ACD【解析】连接MP，因为，别为棱，中点，所以MP//AD且因为为平行六面，所以且，所以且，故为平行四边形，，故A正确；因为平面，平面，所以平面；同理平面，故C、D正确因为与平面相交，且平面//平面，所以与平面相交，又因为平面相交，所以与互不平行.故B错误故选：ACD8．如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列判断正确的是（

）.A．直线与是异面直线 B．平面C．平面 D．【答案】AB【解析】由与平面相交于点，且不在直线上，平面，故与是异面直线，故A正确；根据题意知为长方体，故平面，故B正确；取的中点为Q，连接，且，故四边形为平行四边形，故，又与平面相交于点A，故与平面不平行，即与平面不平行，故C错误；因为，且与不垂直，所以与也不垂直，故D错误．故选：AB．9．如图，用正方体ABCD一A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是（

）A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行【答案】ABC【解析】由于是的中点，所以三点共线，则是的中点，由于是的中点，所以，C选项正确.根据正方体的性质可知平面，由于平面，所以，所以，A选项正确.由于，所以，B选项正确.由于，与相交，所以与不平行，D选项错误.故选：ABC10．已知空间中两个不同的平面，两条不同的直线满足，则以下结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若相交，则相交 D．若，则【答案】CD【解析】A选项，如图所示：，，与有可能只是相交，故A错误；B选项，如图所示：若，，与有可能异面；C选项，若，相交，则一定相交，故C正确；D选项，由面面垂直的判定定理即可得若，，则，故D正确.故选：CD.三、填空题11．设a，b为不重合的两条直线α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a⊂α，b⊄α，a，b是异面直线，那么bα；②若a⊂α，bα，a，b共面，那么ab；③若αβ，a⊂α，则aβ．上面命题中，所有真命题的序号是_____．【答案】②③【解析】a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，对于①，若a⊂α，b⊄α，a，b是异面直线，那么b与α相交或平行或异面，故①错误；对于②，若a⊂α，bα，a，b共面，那么由线面平行的性质得ab，故②正确；对于③，若αβ，a⊂α，则由面面平行的性质得aβ，故③正确．故答案为：②③．12．在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是______.（从相交，平行，异面中选填）【答案】相交【解析】如图所示：连接与交于点，由题意，易得四边形是平行四边形，在平行四边形中，分别是线段的中点，∴，又且共面，则直线与直线相交.故答案为：相交.13．下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是______．（写出所有符合条件的序号）【答案】①②【解析】对于①，如图1.因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.又，所以.因为平面，平面，所以平面.同理可得平面.因为平面，平面，，所以平面平面.又平面，所以平面，故①正确；对于②，如图2，连结.因为点M、P分别为其所在棱的中点，所以.又，且，所以，四边形是平行四边形，所以，所以.因为平面，平面，所以平面，故②正确；对于③，如图3，连结、、.因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.因为平面，平面，所以平面.同理可得平面.因为平面，平面，，所以平面平面.显然平面，平面，所以平面，且与平面不平行，所以与平面不平行，故③错误；对于④：如图4，连接，因为为所在棱的中点，则，故平面即为平面，由正方体可得，而平面平面，若平面，由平面可得，故，显然不正确，故④错误.故答案为：①②.14．下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是______．【答案】①②③【解析】图①：，，故，即四点共面，满足；图②：，若为中点，则，故，即共面，而，，故，即共面，且三点不共线，故共面，满足；图③：由题设，，故，则共面，满足；图④：若为中点，则，故，即共面，而面，面，则面，又，且三点不共线，故面即为面，故面，即不共面，不满足；故答案为：①②③四、解答题15．如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.【解析】∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC＝60°，AB∥CD，CB＝CD＝1．点E为棱PC的中点，点F为棱AB上的一点，且AB＝4AF，平面PBC⊥平面ABCD．(1)证明：AC⊥PB；(2)证明：EF∥平面PAD．【解析】（1）由条件易得：AD＝DC＝1，∠ADC＝120°，则，AC＝，∠ABC＝120°，由余弦定理可知：AB＝2，则∠ACB＝90°，所以AC⊥BC．又平面PBC⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，且AC⊂平面ABCD，则AC⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，所以AC⊥PB；（2）由（1）可知AB＝2．取棱PD中点为G，连接EF、EG、AG，因为E为PC的中点，所以EG∥DC，且EG＝DC，又，所以AF∥DC，且AF＝DC，所以EG∥AF，且EG＝AF，所以四边形AFEG为平行四边形，所以EF∥AG．又EF⊄平面PAD，且AG⊄平面PAD，则EF∥平面PAD．17．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.【解析】证明如图，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面．(1)求证：；(2)设平面与平面的交线为l，的中点分别为，证明：平面．【解析】（1）证明：，∵设，∴，，,∴，∴，∴，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴．（2）延长交于点M，连接,∵，∴D为的中点，∵的中点为E，∴，不在平面内,∵平面，∴平面，又平面，平面，∴平面平面，即直线l为直线，∴平面．19．如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，，CD=2AB．(1)求证：平面PAB⊥平面PA