（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练专题10 立体几何中的角度、距离、体积问题（解析版）

专题10立体几何中的角度、距离、体积问题【考点预测】考点一：求点线、点面、线面距离的方法（1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）．（2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．（3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．考点二：异面直线所成角的常用方法求异面直线所成角的一般步骤：（1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．（3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求．考点三：直线与平面所成角的常用方法求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤（1）确定斜线与平面的交点（斜足）；（2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；（3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．考点四：作二面角的三种常用方法（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．（2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．考点五：求体积的常用方法选择合适的底面，再利用体积公式求解．【典型例题】例1．在正四面体中，D为的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中点为E，连接，，则，所以为与所成的角（或其补角）.设正四面体的棱长为，则，，，所以在中，.故选：C例2．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳌臑.”其中，阳马是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，在阳马中底面是边长为1的正方形，，侧棱垂直于底面，则（

）A．直线与所成的角为60°B．直线与所成的角为60°C．直线与平面所成的角为30°D．直线与平面所成的角为30°【答案】AD【解析】连接，由底面，所以，由，是边长为1的正方形，所以，，对A，由底面，所以，又，所以平面，由∥，所以直线与所成的角为直线与所成的角，，所以，故A正确；对B，由是边长为1的正方形，所以，由底面，所以，又，所以平面，所以，故B错误；对C，由底面，所以直线与平面所成的角为，由，所以，故C错误；对D，由底面，所以，又，，所以，直线与平面所成的角为，由，所以，所以，故D正确.故选：AD例3．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（

）A．底面边长为6米 B．侧棱与底面所成角的余弦值为C．侧面积为平方米 D．体积为立方米【答案】AD【解析】对A，如图所示，在正四棱锥中，为正方形的中心，且，设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，所以，则，在直角中，可得，即，解得，所以正四棱锥的底面边长为，所以A正确；对B，因为平面，所以为侧棱与底面所成的角，在直角中，可得，所以B错误；对C，正四棱锥的侧面积为平方米，所以C错误；对D，正四棱锥的体积为立方米，所以D正确.故选：AD.例4．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【解析】由题意，B1B⊥平面ABCD，所以∠B1AB是AB1与底面ABCD所成的角，则∠B1AB＝60°，因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面边长为1，所以B1B＝AB×tan60°＝，即正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱长为.又因为A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，所以A1C1到底面ABCD的距离为A1A＝.故选：D.例5．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，是线段上的动点．(1)若是线段中点时，证明：平面；(2)若直线与底面所成角的正弦值为，且三棱锥的体积为，请确定点的位置，并说明理由．【解析】（1）连接交于，连接，∵底面是菱形，∴是中点，又∵是的中点，∴，且平面，平面，∴平面．（2）∵PA⊥底面ABCD，∴∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角，∴，∴，∴．又∵，∴，∵菱形中，，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥底面ABCD，且它们的交线是AB，在底面ABCD内，过点C作CF⊥AB，垂足为点F，则：CF⊥平面PAB，故点C到平面PAB的距离，令点E到平面PAB的距离,．又同一底面积下，高的比等于斜边的比，故是线段上靠近点的三等分点．例6．在三棱锥中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O，且PB与底面ABC所成角为，点M为线段PO上一动点.(1)证明：；(2)若，求点M到平面PAB的距离.【解析】（1）分别连接，，为中点，为等边三角形，点在底面上的投影为点，平面，平面，，又平面平面，面，面，.（2）设点到平面的距离为,点到面的距离为，，为在底面上的投影,为与面所成角，，垂直平分，，为正三角形，，Rt中，易得，，，到的距离为，，又，由，，，，点到平面的距离为例7．如图，三棱锥中，侧面PAB垂直于底面ABC，，底面ABC是斜边为AB的直角三角形，且，记O为AB的中点，E为OC的中点.(1)求证：；(2)若，直线PC与底面ABC所成角的大小为60°，求四面体PAOC的体积.【解析】（1）连接，因为，所以，侧面垂直于底面，平面，平面平面，所以底面，底面，所以，是斜边为的直角三角形，且，所以，又因为O为AB的中点，所以,所以为等边三角形，又E为OC的中点，所以，因为，，，，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）知底面ABC，所以直线PC与底面ABC所成角为，因为直线PC与底面ABC所成角的大小为，，因为，所以，在中，，，所以.例8．如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点.(1)证明：平面平面；(2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.【解析】（1）因为平面平面，且，即，且平面，平面平面，所以平面又因为平面，所以因为为菱形，所以，且，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面（2）设.平面平面，平面平面平面.连接，则就是直线与平面所成的角.由题意得，为等边三角形.过作于，则为的中点，平面，又平面.过作于，连接，则就是二面角的平面角.易得.，解得，，，即直线与平面所成的角为.例9．如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为4，，且平面.(1)求点到平面的距离；(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值.【解析】（1）设点到平面的距离为，因为，三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为，又由，得，解得.（2）由已知设，，则，，取的中点，连接，如图所示：则，由平面平面，知面，故，又，从而平面.故，，取中点，则，四边形是平行四边形，，从而为正三角形，故，，又，得.在平面内作于，则，在平面内，作于，连接，因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，则二面角的平面角为.在直角中，，故，，即所求二面角的余弦值为.【过关测试】一、单选题1．在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如下图所示,连接,则异面直线与所成角为,即为等边三角形.故选:C.2．如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点，连接、、，设正三棱柱的棱长为，如下图所示：因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，且，又因为、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，则且，又因为且，所以，且，所以，四边形为平行四边形，所以，，所以与所成的角即为与所成的角，或其补角即为所求．在中，，，．因为，所以为直角三角形，且，所以．故选：B．3．在正方体中，若点是面的中心，则与平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取中点，连接为侧面的中心，平面，与平面所成角即为，设正方体棱长为，则，，，，即与平面所成角的余弦值为.故选：C.4．已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据长方体性质知：面，故为与面所成的角，，所以.故选：A5．如图，在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接BD交于，四边形ABCD为正方形，则为中点，∵G为△ABC的重心，则G在BD上，且，∴，∵PD⊥底面ABCD，∴为PG与底面ABCD所成的角，面ABCD，则，∴，∴.故选：C6．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于是的中点，所以到平面的距离等于到平面的距离，设这个距离为，由题可知，所以，由于，所以，所以.故选：A7．如图，二面角的平面角为锐角，是内的一点（它不在棱上），点是在平面内的射影，点是上满足为锐角的任意一点，那么（

）A．B．C．D．无法确定与的大小关系【答案】A【解析】过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，如图，因为，，所以，因为，，，平面，所以AB面CDF，平面，所以，在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以，在直角三角形中，，在直角三角形DEF中，，由知，故选：A二、多选题8．如图，平面，正方形边长为1，E是CD的中点，F是AD上一点，当时，则（

）A．B．C．若PA=1，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为D．若PA=1，则直线PE与平面所成角为【答案】BC【解析】连接，如图，因为平面，平面，则，而，平面，于是平面，又平面，因此，在正方形中，，，则，，A错误，B正确；取中点，连接，则，为异面直线PE与BC所成的角或其补角，而平面，平面，有，又，平面，则有平面，平面，于是，，因此，C正确；由平面知，是直线PE与平面所成的角，，显然，D错误.故选：BC9．已知三棱柱的棱长均相等，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对A：∵，则AB与CF的夹角为，不一定是直角，A错误；对B：由题意：为菱形，则，B正确；对C：由题意：，则，C正确；对D：由题意：为菱形，则，即大小无法确定，D错误.故选：BC.三、填空题10．已知长方体中，，点为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________.【答案】【解析】如图所示，在长方体中，延长，构造一个与全等的长方体，且点为棱的中点，所以，所以（或其补角）为异面直线所成角，由题意得，所以由余弦定理得，所以.故答案为：.11．如图，在长方体中，，与所成的角为，则与平面所成角的正弦值为________【答案】【解析】因为在长方体中，，∴上下底面为正方形，连接，则，与所成的角为，∴与所形成的角为，即，∴为正方形，为正方体，设，则，因为平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，连接，则为直线与平面所成角，由题可知中，，，∴，即与平面所成角的正弦值为.故答案为：.12．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.求点到平面的距离等于_______【答案】【解析】因为是直三棱柱，所以平面，而平面，所以，因为是棱的中点，所以，由勾股定理可得：，，因为是等边三角形，是棱的中点.，所以，所以，因为，所以，因此，因为平面，平面，所以平面平面，因为平面平面，，平面，所以平面，设点到平面的距离为，由，故答案为：13．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．【答案】【解析】设，连接，平面，平面，，，四边形为正方形，，，平面，平面，又平面，，是二面角的平面角，由，得：.故答案为：.四、解答题14．已知是空间四边形，如图所示（，，，分别是、、、上的点）．(1)若直线与直线相交于点，证明，，三点共线；(2)若，为，的中点，，，，求异面直线与所成的角的余弦值．【解析】（1）因为，，平面，平面，所以平面，因为，，平面，平面，所以平面，由于直线与直线相交于点，即，平面，，平面，又有平面平面，则，所以，，三点共线.（2）连接，作的中点，并连接，，如图所示：在中，点，分别是和的中点，且，所以，且，在中，点，分别是和的中点，且，所以，且，则异面直线与所成的角等于直线与所成角，即或的补角，又，由余弦定理得：，故异面直线与所成的角的余弦值.15．在三棱锥中，底面ABC是边长为6的正三角形，底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为．(1)求三棱锥的体积；(2)若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小．【解析】（1）平面，为与平面所成的角，即，平面，平面,，又，，．（2）取棱的中点，连接，，，分别是棱，的中点，，为异面直线与所成的角或其补角．平面，平面,所以，，又，，，，，，所以，故异面直线与所成的角为．16．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为，是的中点.(1)请在棱与上各找一点和，使平面平面，作出图形并说明理由；(2)求异面直线与所成角的正切值；(3)问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．【解析】（1）分别取AB，BC的中点M，N，连接MN，NE，则平面MNE//平面PAC证明：在中，M，E分别为AB，PB的中点，所以ME//AP，同理，NE//PC，又平面平面所以ME//平面PAC，同理NE//平面PAC又ME，所以平面MNE//平面PAC

（2）连接，，因为分别是的中点，所以，故为异面直线与所成的角或其补角．因为，，平面，所以平面．又平面，所以．设四棱锥的底面边长为，取中点为,连接由于,故为侧面与底面所成的二面角的平面角，故，在中,，所以，所以；（3）存在点F符合题意，且AF=AD，证明：取OB得中点Q，连接，在中，Q，E分别为BP，BO的中点，所以QE//PO，所以QE⊥平面ABCD，因为BC平面ABCD，所以QE⊥BC,又在中，，,所以QF//AB，所以QF⊥BC，又,所以BC⊥平面QEF，所以BC⊥EF在，PF==,BF==所以，故又所以平面PBC,所以存在点F符合题意。所以存在这样的F点，且17．如图，在正四棱锥中，.(1)求侧棱与底面所成角的大小；(2)求二面角的大小的余弦值.【解析】（1）设底面正方形的中心为，连接，由正四棱锥结构特征知：平面，即点在平面上的投影为，为侧棱与底面所成角，在中，，，为等边三角形，设其边长为，平面，平面，，在中，，，，，即侧棱与底面所成角的大小为.（2）取的中点为，连接，在正方形中，；在等边中，，为二面角的平面角，平面，平面，；在中，，，，二面角的大小的余弦值为.18．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.【解析】（1）∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在中，∴A1B与平面AA1D1D所成的角是.（2）连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1O，又∵A1O⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.又∴sin∠A1BO＝＝，又∴A1B与平面BB1D1D所成的角是.19．如图,在三棱柱中,平面.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的大小.【解析】（1）证明:平面,平面,,,平行四边形为正方形,,平面,平面,,,平面,平面,平面,平面,,平面,平面,平面得证;（2）记与交点为,由(1)知平面,所以平面,故直线与平面所成角为,由(1)知平行四边形为正方形,,故直线与平面所成角为.20．如图，在三棱锥中，为的中点.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.【解析】（1）证明：因为为的中点，所以.连接，因为，所以.又，所以，所以.因为平面平面，所以平面.（2）因为，所以，.，.设点到的距离为，则，则.设点到平面的距离为，则.因为，所以