（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练专题11 立体几何的综合问题（解析版）

专题11立体几何的综合问题【典型例题】例1．如图，在矩形中，，E为的中点，将沿翻折到的位置，其中平面，M为的中点，则在翻折过程中，有如下下列结论：①恒有平面；②B与M两点间距离恒为定值；③三棱锥体积最大值为；④存在某个位置，使得平面平面.其中正确的结论个数是（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①：如图，取的中点，连接.则且.又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.故①正确;对于②：因为，根据余弦定理，得，解得.因为，所以.故②正确;对于③：连接.因为为的中点，所以三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍.设为到底面的距离，则三棱锥的体积，.当平面⊥平面时，h达到最大值，所以取到最大值.此时，，所以所以三棱锥的体积的最大值为.故③正确；对于④：假设平面⊥平面，又平面∩平面=，，所以⊥平面，所以，则在△中，∠=90°，，所以.又所以故三点共线，所以，所以平面，与题干条件平面矛盾，故④不正确.故选：C.例2．在九章算术商功中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭在方亭中，，方亭的体积为，则侧面的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设方亭的高为，因为，方亭的体积为，所以，解得，如图，过作，垂足为，连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形，且，，则，，因为侧面为等腰梯形，所以，所以侧面的面积为．故选:A．例3．（多选）如图，在长方体中，，，E为棱的中点，则（

）A．面 B．C．平面截该长方体所得截面面积为 D．三棱锥的体积为【答案】ABD【解析】对于选项A：连接，为长方体，，，∴四边形是平行四边形，，平面，平面，面，故选项A正确；对于选项B：，，平面，在平面上的投影为，，故选项B正确；对于选项C：根据长方体对称性易知平面截该长方体所得截面面积为，，，，，，，由，可得，则，故C错误；对于选项D：三棱锥的底面积，高为，则三棱锥的体积为，故D正确；故选：ABD.例4．（多选）在底面边长为2、高为4的正四棱柱中，为棱上一点，且分别为线段上的动点，为底面的中心，为线段的中点，则下列命题正确的是（

）A．与共面B．三棱锥的体积为C．的最小值为D．当时，过三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为【答案】ACD【解析】对于A，如图1，在中，因为为的中点，所以，所以与共面，所以A正确；对于B，由，因为到平面的距离为定值2，且的面积为1，所以三棱锥的体积为，所以B错误；对于C，如图2，展开平面，使点共面，过作，交与点，交与点，则此时最小，易求的最小值为，则C正确；对于D，如图3，取，连接，则，又，所以，所以共面，即过三点的正四棱柱的截面为，由，则是等腰梯形，且，所以平面截正四棱柱所得截面的周长为，所以D正确.故选:ACD.例5．已知正三棱柱的所有棱长为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为__________．【答案】【解析】设的中点为，易知，又因为面面，且面面，所以面，所以题中所求交线即为以为圆心，为半径的一段圆弧．设该圆弧与的交点分别为，球与侧面的交线如图所示，则，易知，所以该圆弧所对的圆心角为，故所求弧长为，故答案为：.例6．一名学生参加学校社团活动，利用3D技术打印一个几何模型该模型由一个几何体及其外接球组成，几何体由一个内角都是120°的六边形绕边旋转一周得到且满足，，则球与几何体的体积之比为______.【答案】【解析】方法一：设，，连接，因为，且每一个内角都为，所以，所以，即，所以四边形是长方形，，∴，∴，，，；方法二：设，，∴，旋转形成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，，，∴，∵几何体存在外接球，设中点为，∴为球心，由，∴，，∴，，∴.例7．已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点、在底面的同侧，棱锥的高，、分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F．(1)求的长；(2)求这两个棱锥的公共部分的体积．【解析】（1）连接，如图所示：因为平面，平面，所以，又，所以四边形是矩形，所以，且，又分别为的中点，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，又对角线，所以为的中点，由题意可知：在中，，所以.（2）连接，交于点，过点作于，由题意知，故，又，，平面，所以平面，因为平面，故，又，平面，所以平面，即是四棱锥的高，由（1）同理可得点为线段的中点，所以，且，在中，，则，所以，因为，所以.例8．如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点.(1)求证：平面平面ABC；(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.【解析】（1）证明：在菱形中，，∴和均为等边三角形，又∵E为AC的中点，∴，，，平面，∴平面，又∵平面ABC，∴平面平面ABC.（2）过作于点，∵平面平面ABC，平面，∴平面ABC.∴.过M作于点，连接，∵平面ABC，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.∴即为二面角的平面角，，∴，，∴，∴.故二面角的余弦值为.例9．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是，的中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值；(3)在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以，又为边长为2的正三角形，为中点，所以，所以平面，平面，所以①,又，所以，所以，所以，所以(为与的交点)，所以②，又因为③,由①②③可得平面，又因为平面，所以平面平面；（2）设,过作于，连接,因为平面，平面，所以，又因为，，则平面,平面,所以，所以为平面和平面夹角，在中，,在中，，所以，所以中，,所以；（3）当点与点重合时，点到平面的距离为，取中点，连接,则∥，所以四点共面，又平面，平面，所以，又，,所以平面，设点到平面的距离为，又,即,即,所以，解得.故在线段存在点（端点处），使点到平面的距离为.例10．如图，在三棱锥中，平面平面，，，、分别为棱、的中点.(1)求证：直线平面；(2)若直线与平面所成的角为45°，直线与平面所成角为30°，求二面角的大小.【解析】（1）证明：因为、分别为棱、的中点.所以，在中，，因为平面，平面，所以，直线平面（2）因为平面平面，平面平面，平面,所以平面，所以，是直线与平面所成的角，因为直线与平面所成的角为45°，所以，，所以因为平面，平面，所以，，因为，，平面，所以平面，所以，是直线与平面所成角，因为直线与平面所成角为30°，所以，所以，不妨设，则，所以，为等腰直角三角形，因为，，所以是二面角的平面角，所以二面角的大小为例11．如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是边长为2的正方形，分别为的中点.(1)证明：面(2)请再从下列三个条件中选择一个补充在题干中，完成题目所给的问题.①直线与平面所成角的大小为；②三棱锥的体积为；③.若选择条件___________.求（i）求二面角的余弦值；（ii）求直线与平面的距离.【解析】（1）证明：取中点G，连接FG、CG，∵分别为的中点，∴在三棱柱中，，且，∴四边形FECG为平行四边形，∴.∵面，面，∴面；（2）平面平面，平面平面=，又侧面是边长为2的正方形，则，∴面，面，∵面，∴.取中点I，作于J，连接FI，IE，FJ，则平面，，∵平面，∴，∵平面FIJ，∴平面FIJ，∵平面FIJ，∴，∴为二面角的平面角的补角.∵面，∴直线与平面的距离即为E到平面的距离，作于，由平面平面，平面平面=，则EK即为E到平面的距离，即直线与平面的距离.选①，∵面，∴为直线与平面所成角，即，∴.（i）在正中，易得，故在中，，故二面角的余弦值为；（ii）在正中，，故直线与平面的距离为；选②，，为的中点，∴，∵面，∴，即，又，∴，∴，解得，∴，.（i）在中，，故在中，，故二面角的余弦值为；（ii）在中，，故直线与平面的距离为1；选③，取AB中点H，，连接OH，则O为中点，则且，由，∴，则，又，∴，∴，.此时条件③与条件②一致，故（i）二面角的余弦值为；（ii）直线与平面的距离为1.【过关测试】一、单选题1．一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为（）A． B．3 C．3 D．【答案】B【解析】设轴与交点为D，因O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，则，又B′C′∥y′轴，则四边形为平行四边形，故.又，结合A′B′⊥x′轴，则，故.则四边形面积为，因四边形面积是四边形OABC的面积的倍，则四边形OABC的面积为.故选：B2．在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接，过点做交于点，连接，即可得到截面，因为为中点，，所以，因为，则，且，，所以截面的周长为故选:D3．如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】假设圆锥半径，母线为，则.设圆台上底面为，母线为，则.由已知可得，，所以.如图，作出圆锥、圆台的轴截面则有，所以.所以圆台的侧面积为.故选：C.4．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中，则在图1中（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等时，三棱锥为正三棱锥，设正方体的棱长为3，则，所以，则题图1中，则，所以.故选：B5．已知A，B，C，D在球O的表面上，为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，是中点，连接，如图所示：，，则，四边形为矩形，，，故，.故选：C6．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：A.7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”日：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，故选：.8．等于90°的二面角内有一点，过有于点，于，如果，则到的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，，，则，，且，面，故面，面，连接，面，故，所以到的距离为线段的长度，二面角为90°，故，且，故.故选：C二、多选题9．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（

）A．该圆台轴截面面积为B．该圆台的体积为C．该圆台的侧面积为D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为【答案】ACD【解析】对于，由，且，可得，高，则圆台轴截面的面积为，故A正确；对于B，圆台的体积为，故B错误；对于C，圆台的体积为，故C正确；对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角．设的中点为，连接，可得，则．所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确．故选：ACD．10．长方体中，，，，则（

）A．到平面的距离为B．到平面的距离为C．沿长方体的表面从到的最短距离为D．沿长方体的表面从到的最短距离为【答案】AC【解析】如图，连接，因为，，，所以，，，在中，由余弦定理可得：，所以，则，又，设点到平面的距离为，由体积相等可得：，即，所以，解得：，故选项正确；选项错误；长方体的表面可能有三种不同的方法展开，如图所示：，，，表面展开后，依第一个图形展开，则；依第二个图形展开，则；依第三个图形展开，则；三者比较得：点沿长方形表面到的最短距离为，故选项正确，选项错误，故选：.11．已知正方体，过对角线作平面交棱于点，交棱于点，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直；④四边形的面积有最大值.其中所有正确结论的序号为（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【解析】如图：①由正方体的对称性可知，平面分正方体所得两部分的体积相等，①正确；②因为平面平面，平面平面，平面，所以,因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以四边形是平行四边形，②正确；③在正方体中，有，，又，平面，所以平面，当分别为棱的中点时，有，则平面，又平面，所以平面平面，③错误；④设，正方体棱长为，，则，，，在中，由余弦定理可得，所以，由②得四边形一定是平行四边形，所以，所以当或时，取得最大值，④正确；综上①②④正确，故选：ABD12．如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，则下列结论正确的是（

）A．若平面，则三棱锥的体积为定值B．若平面，则动点的轨迹长度为C．若，则动点的轨迹长度为D．存在点，使得平面【答案】AB【解析】对于A，，，平面，平面，平面，平面，又，平面，平面平面，则当平面时，点到平面的距离即为平面与平面之间的距离；由正方体性质知：平面与平面之间距离，，，即三棱锥的体积为定值，A正确；对于B，由A知：平面平面，若平面，则平面，又平面，平面平面，点的轨迹为线段，则其轨迹长为，B正确；对于C，若，则在以为球心，为半径的球面上，则点轨迹是该球面与底面的交线，即点轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，点轨迹长为，C错误；对于D，由正方体性质知：平面，若存在点，使得平面，则，平面，若平面，则，此时不成立；若平面，平面，与为异面直线；综上所述：不成立，即不存在点，使得平面，D错误.故选：AB.三、填空题13．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________.【答案】【解析】∵，且，∴，同理，.因为平面，平面，所以平面，同理可得：平面，又因为，且平面，所以平面平面，∵，，∴，同理，∴且，∴，故答案为：.14．在正四棱柱中，E是BC的中点，F是的中点，P是棱所在直线上的动点．则下列四个命题：①②平面③④不存在过P的直线与正四棱柱的各个面都成等角．其中正确命题的序号是______（写出所有正确命题的序号）．【答案】①②③【解析】在①中：∵正四棱柱中，E是BC的中点，F是的中点，P是棱所在直线上的动点，∴平面ECC1，又PE⊂平面，∴，故①正确；在②中：连接，则由E是BC的中点，F是的中点知，，因为平面，平面，所以平面，故②正确；在③中：＝，＝，所以，故③正确；在④中：由正方体性质知，过一个顶点的体对角线与正方体的各个面所成角都相等，故过点P做一条与以ABCD为底面的正方体的体对角线平行的直线，则该直线与正四棱柱的各个面都成等角．故④不正确；故正确命题的序号为：①②③，故答案为：①②③15．直三棱柱的所有棱长均为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______．【答案】【解析】设的中点为，则，，又因为面面，且面面面，所以面，所以题中所求交线即为以为圆心，为半径的一段圆弧，设该圆弧与的交点分别为，球与侧面的交线如图所示，则，易知，所以该圆弧所对的圆心角为，故所求弧长为.故答案为：.16．从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为______.【答案】【解析】如图所示作出轴截面，圆柱被平行于下底面的平面所截得的截面圆的半径，设圆锥的截面圆的半径为，因为，所以是等腰直角三角形.又，所以，故，所以截面积.故答案为：.四、解答题17．如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱中有一内接长方体，设矩形的面积为S，长方体的体积为V，，(1)将S表示为x的函数；(2)求V的最大值．【解析】（1）连接，因为矩形ABCD内接于⊙O，所以AC为⊙O的直径．因为，，所以，所以，（2）因为长方体的高，所以，因为，所以，故当即时，V取得最大值，此时.18．如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点，底面，点是的中点.(1)求证：；(2)若三棱锥的体积为1，求的长.【解析】（1）为菱形，.平面平面，.，平面,平面平面.平面，.（2）点是的中点，，.，又，.19．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱的母线，，，，C是上的一个动点.(1)求圆柱的表面积；(2)求四棱锥的体积的最大值.【解析】（1）连接BD，在中，，，，由余弦定理，得，所以，设圆柱底面半径为r，由正弦定理，得，所以，故圆柱的表面积.（2）由（1）知，中，，，由余弦定理，得，即，当且仅当时，等号成立，所以，因为，，所以四棱锥的体积，，故四棱锥的体积的最大值为.20．如图，正四棱柱'．(1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）；(2)若Q、R分别为'中点，证明：AQ、CR、三线共点．【解析】（1）作直线分别交的延长线于，连接交于，连接交于点，连接，如图五边形PSQRT即为所求；（2）证明：如图，连接，，，则，，∵Q、R分别为中点，∴QR，又AC，∴QR，而AC＝2QR，可得四边形AQRC为梯形，设，则，∵AQ⊂平面，∴O∈平面A′AB，同理O∈平面C′CB，又平面平面，∴，即AQ、CR、三线共点．21．如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点．(1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线；(2)设过的平面与交于