2026届江苏省南通市第一中学数学高二上期末统考试题含解析

2026届江苏省南通市第一中学数学高二上期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线为四叶玫瑰线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状.下列结论正确的个数是()①曲线C关于点(0，0)对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③曲线C的面积超过4π.A.0 B.1C.2 D.32．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是A. B.C. D.3．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID—19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f（p），当p=p0时，f（p）最大，则p0=（）A. B.C. D.4．在等差数列中，，，则（）A. B.C. D.5．命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.6．某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（）A.0.0689 B.0.049C.0.0248 D.0.027．已知等差数列满足，则等于（）A. B.C. D.8．已知椭圆方程为：，则其离心率为（）A. B.C. D.9．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（）A.7 B.23C.5或25 D.7或2310．双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.11．若两条直线与互相垂直，则的值为（）A.4 B.-4C.1 D.-112．直线的倾斜角为（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若球的大圆的面积为，则该球的表面积为___________.14．若数列的前n项和，则其通项公式________15．已知等差数列满足，请写出一个符合条件的通项公式______16．已知点和，M是椭圆上一动点，则的最大值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆M经过点F（2，0），且与直线x=-2相切.（1）求圆心M的轨迹C的方程；（2）过点（-1，0）的直线l与曲线C交于A，B两点，若，求直线l的斜率k的取值范围.18．（12分）已知四边形是空间直角坐标系中的一个平行四边形，且，，（1）求点的坐标；（2）求平行四边形的面积19．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，经过点的直线与椭圆交于、两点，若原点到直线的距离为，且，求直线的方程.20．（12分）已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）若,,求21．（12分）如图，直四棱柱中，底面是边长为的正方形，点在棱上.（1）求证：；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作已知，使得平面，并给出证明.条件①：为的中点；条件②：平面；条件③：.（3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值.22．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA+（2c+a）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为，求a+c的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据图像或解析式即可判断对称性①②；估算第一象限内图像面积即可判断③.【详解】①将点(－x，－y)代入后依然为，故曲线C关于原点对称；②将点(y，x)代入后依然为，故曲线C关于y＝x对称；③曲线C在四个象限的图像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲线C上离原点最远的点的距离为显然第一象限内曲线C的面积小于以为直径的圆的面积，又∵，∴第一象限内曲线C的面积小于，则曲线C的总面积小于4π.故③错误.故选：C.2、C【解析】直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B，l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），∴，∵，∴，b=2a，∴，∴，∴考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质3、A【解析】解设事件A为：检测了5人确定为“感染高危户”，设事件B为：检测了6人确定为“感染高危户”，则，再利用基本不等式法求解.【详解】解：设事件A为：检测了5人确定为“感染高危户”，设事件B为：检测了6人确定为“感染高危户”，则，，所以，令，则，，当且仅当，即时，等号成立，即，故选：A4、B【解析】利用等差中项的性质可求得的值，进而可求得的值.【详解】由等差中项的性质可得，则.故选：B.5、B【解析】“存在，使得”为真命题，可得，利用二次函数的单调性即可得出．再利用充要条件的判定方法即可得出.【详解】解：因为“存在，使得”为真命题，所以，因此上述命题得个充分不必要条件是.故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6、C【解析】根据全概率公式即可求出【详解】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为0.0248故选：C7、A【解析】利用等差中项求出的值，进而可求得的值.【详解】因为得，因此，.故选：A.8、B【解析】根据椭圆的标准方程，确定，计算离心率即可.【详解】由知，，，，即，故选：B9、D【解析】根据双曲线的定义知，，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，根据双曲线的定义知，，而，所以或故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.10、A【解析】直接求出，，进而求出渐近线方程.【详解】中，，，所以渐近线方程为，故.故选：A11、A【解析】根据两直线垂直的充要条件知：，即可求的值.【详解】由两直线垂直，可知：，即.故选：A12、C【解析】设直线倾斜角为，则，再结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】设直线的倾斜角为，则，∵，所以.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设球的半径为，则球的大圆的半径为，根据圆的面积公式列方程求出，再由球的表面积公式即可求解.【详解】设球的半径为，则球的大圆的半径为，所以球的大圆的面积为，可得，所以该球的表面积为.故答案为：.14、【解析】由和计算【详解】由题意，时，，所以故答案为：15、3（答案不唯一）【解析】由已知条件结合等差数列的性质可得，则，从而可写出数列的一个通项公式【详解】因为是等差数列，且，所以，当公差为0时，；公差为1时，；…故答案为：3（答案为唯一）16、【解析】由题设条件可知，.当M在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时有，在第三象限交点时有.显然当M在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值.由此能够求出的最大值.【详解】解：A为椭圆右焦点，设左焦点为，则由椭圆定义，于是.当M不在直线与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是，而当M在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，在第三象限交点时有.显然当M在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的基本性质，解题时要熟练掌握基本公式.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】(1)设圆心，轨迹两点的距离公式列出方程，整理方程即可；(2)设直线l的方程和点A、B的坐标，直线方程联立抛物线方程，消去x得出关于y的一元二次方程，结合根的判别式和韦达定理表示出弦，进而列出不等式，解之即可.【小问1详解】设圆心，由题意知，，整理，得，即圆心M的轨迹C方程为：；【小问2详解】由题意知，过点(-1，0)的直线l与抛物线C相交于点A、B，所以直线l的斜率存在且不为0，设直线，点，则，消去x，得，或，，同理可得，所以，即，由，得，解得，综上，或，所以或，即直线l的斜率的取值范围为.18、（1）；（2）【解析】（1）由题设可得，结合向量的共线坐标表示求的坐标；（2）向量的坐标运算求边长，由余弦定理求，进而求其正弦值，再应用三角形面积公式求面积.【小问1详解】由题设，，令，则，∴，可得，故.【小问2详解】由（1），，，则，又，则，∴平行四边形的面积.19、（1）；（2）.【解析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，由点到直线的距离公式可得出，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，代入韦达定理求出、的值，由此可得出直线的方程.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，解得，因此，椭圆的标准方程为；（2）若直线斜率不存在，则直线过原点，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，设斜率为，设直线方程为，设、，原点到直线的距离为，，即①.联立直线与椭圆方程可得，则，则，由韦达定理可得，.，则为线段的中点，所以，，，得，，所以，，整理可得，解得，即，，因此，直线的方程为或.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.20、（1）；（2）【解析】（1）将已知条件整理变形为等比数列的首项和公比来表示，解方程组得到基本量，可得到通项公式（2）化简通项得，根据特点求和时采用错位相减法求解试题解析：（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入,得=8,2分∴+=20∴解之得或4分又单调递增，∴="2,"=2,∴=2n6分（2）,∴①8分∴②∴①-②得＝12分考点：1．等比数列通项公式；2．错位相减求和21、（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）连结，，由直四棱柱的性质及线面垂直的性质可得，再由正方形的性质及线面垂直的判定、性质即可证结论.（2）选条件①③，设，连结，，由中位线的性质、线面垂直的性质可得、，再由线面垂直的判定证明结论；选条件②③，设，连结，由线面平行的性质及平行推论可得，由线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明结论；（3）构建空间直角坐标系，求平面、平面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】连结，，由直四棱柱知：平面，又平面，所以，又为正方形，即，又，∴平面，又平面，∴.【小问2详解】选条件①③，可使平面.证明如下：设，连结，，又，分别是，的中点，∴.又，所以.由（1）知：平面，平面，则.又，即平面.选条件②③，可使平面.证明如下：设，连结.因为平面，平面，平面平面，所以，又，则.由（1）知：平面，平面，则.又，即平面.【小问3详解】由（2）可知，四边形为正方形，所以.因为，，两两垂直，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，.由（1）知：平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，令，则.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.22、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理化简，通过两角和与差的三角函数求出，即可得到结果（2）利用三角形的面积求出，通过由余弦定理求解即可【详解】解：（1）因为bcosA=（2c