浙江省温州市苍南县金乡卫城中学2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

浙江省温州市苍南县金乡卫城中学2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数满足对于恒成立，设则下列不等关系正确是（）A. B.C. D.2．已知函数在区间有且仅有2个极值点，则m的取值范围是（）A. B.C. D.3．抛物线准线方程为()A. B.C. D.4．定义运算：．已知，都是锐角，且，，则（）A. B.C. D.5．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）A. B.C. D.6．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）A B.C. D.67．已知，则条件“”是条件“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.8．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为()A. B.C. D.9．已知抛物线内一点，过点的直线交抛物线于，两点，且点为弦的中点，则直线的方程为（）A. B.C D.10．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）A. B.3C.6 D.11．已知函数.设命题的定义域为，命题的值域为.若为真，为假，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.12．已知命题p：∀x＞2，x2＞2x，命题q：∃x0∈R，ln（x02+1）＜0，则下列命题是真命题的是（）A.p∧ B.p∨C.p∧q D.p∨q二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．围棋是一种策略性两人棋类游戏．已知某围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从盒子中取出2粒棋子，2粒都是黑子的概率为，2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，则2粒恰好都是白子的概率是______14．盒子中放有大小和质地相同的2个白球、1个黑球，从中随机摸取2个球，恰好都是白球的概率为___________.15．已知O为坐标原点，椭圆T：，过椭圆上一点P的两条直线PA，PB分别与椭圆交于A，B，设PA，PB的中点分别为D，E，直线PA，PB的斜率分别是，，若直线OD，OE的斜率之和为2，则的最大值为_______16．如果椭圆上一点P到焦点的距离等于6，则点P到另一个焦点的距离为____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4.（1）求C方程；（2）若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值.18．（12分）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点（1）求直线与直线所成角余弦值；（2）求点到平面的距离19．（12分）已知是等差数列，，.（1）求的通项公式；（2）设的前项和，求的值.20．（12分）已知函数（…是自然对数的底数）.（1）求的单调区间；（2）求函数的零点的个数.21．（12分）已知等差数列满足（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和22．（10分）已知椭圆的长轴长是6，离心率是.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设O为坐标原点，过点的直线l与椭圆E交于A，B两点，判断是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由条件可得函数为上的增函数，构造函数，利用函数单调性比较的大小，再根据函数的单调性确定各选项的对错.【详解】设，则，∵，∴，∴函数在上为增函数，∵，∴，故，所以，C错，令()，则，当时，，当时，∴函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，∴，∴，即，∴，故，所以，D错，，故，所以，A对，，故，所以，B错，故选：A.2、A【解析】根据导数的性质，结合余弦型函数的性质、极值的定义进行求解即可.【详解】由，，因为在区间有且仅有2个极值点，所以令，解得，因此有，故选：A3、D【解析】由抛物线的准线方程即可求解【详解】由抛物线方程得：．所以，抛物线的准线方程为故选D【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程，属于基础题4、B【解析】，只需求出与的正、余弦值即可，用平方关系时注意角的范围.【详解】解：因为，都是锐角，所以，，因为，所以，即，，所以，，因为，所有，故选：B.【点睛】信息给予题，已知三角函数值求三角函数值，考查根据三角函数的恒等变换求值，基础题.5、C【解析】设出点C坐标，求出的重心并代入欧拉线方程，验证并排除部分选项，余下选项再由外心、垂心验证判断作答.【详解】设顶点的坐标为，则的重心坐标为，依题意，，整理得：，对于A，当时，，不满足题意，排除A；对于D，当时，，不满足题意，排除D；对于B，当时，，对于C，当时，，直线AB的斜率，线段AB中点，线段AB中垂线方程：，即，由解得：，于是得的外心，若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，该点与点M确定直线斜率为，显然，即点M不在线段BC的中垂线上，不满足题意，排除B；若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，线段BC中垂线方程为：，即，由解得，即点为的外心，并且在直线上，边AB上的高所在直线：，即，边BC上的高所在直线：，即，由解得：，则的垂心，此时有，即的垂心在直线上，选项C满足题意.故选：C【点睛】结论点睛：的三顶点，则的重心为.6、C【解析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.故选：C.7、A【解析】若命题，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件【详解】因为，所以，所以.故选：A8、A【解析】由题得c=1,再根据△MF2N的周长＝4a＝8得a＝2，进而求出b的值得解.【详解】∵F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为.故答案为A【点睛】本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9、B【解析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程.【详解】设，则，两式相减得，即，则直线方程为，即.故选：B.10、C【解析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，又，，两式相减，可得：，，.，，当且仅当时取等号，的最小值为6，故选：C【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力11、C【解析】根据一元二次不等式恒成立和二次函数值域可求得为真命题时的取值范围，根据和的真假性可知一真一假，分类讨论可得结果.【详解】若命题为真，则在上恒成立，，；若命题为真，则的值域包含，则或，；为真，为假，一真一假，若真假，则；若假真，则；综上所述：实数的取值范围为.故选：C.12、B【解析】取x＝4，得出命题p是假命题，由对数的运算得出命题q是假命题，再判断选项.【详解】命题p：∀x＞2，x2＞2x，是假命题，例如取x＝4，则42＝24；命题q：∃x0∈R，ln（x02+1）＜0，是假命题，∵∀x∈R，ln（x2+1）≥0.则下列命题是真命题的是.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据互斥事件与对立事件概率公式求解即可【详解】设“2粒都是黑子”为事件，“2粒都是白子”为事件，“2粒恰好是同一色”为事件，“2粒不同色”为事件，则事件与事件是对立事件，所以因为2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，所以，所以，又，且事件与互斥，所以，所以故答案为：14、【解析】根据题意得到，计算得到答案.【详解】根据题意：.故答案为：15、【解析】设的坐标，用点差法求和与的关系同，与的关系，然后表示出，求得最大值【详解】设，，，则，两式相减得，∴，，则，同理，，又，∴，，当且仅当，即时等号成立，∴，故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，考查椭圆弦中点问题．椭圆中涉及到弦的中点时，常常用点差法确定关系，即设弦端点为，弦中点为，把两点坐标代入椭圆方程，相减后可得16、14【解析】根据椭圆的定义及椭圆上一点P到焦点的距离等于6，可得的长.【详解】解：根据椭圆的定义，又椭圆上一点P到焦点的距离等于6，，故，故答案：.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单性质，相对简单.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）1【解析】（1）由题意得，化简可得答案，（2）求出渐近线方程，设点，，，，，由可得，代入双曲线方程化简可得，然后表示的坐标，再进行数量积运算，化简后利用基本不等式可得答案【小问1详解】由题意得，即，整理得，因为双曲线的顶点坐标满足上式，所以C的方程为.【小问2详解】由（1）可知，曲线C的渐近线方程为，设点，，，，，由，得，整理得，①，把①代入，整理得②，因为，，所以.由，得，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值是1.18、（1）（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法由求解；（1）建立空间直角坐标系，先取得平面的一个法向量，，，然后由求解【小问1详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，，2，，所以，2，，，2，，则直线与直线所成角的余弦值为；【小问2详解】，2，，，2，，设平面的一个法向量，，，则，取，得，1，，又，点到平面的距离19、（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，利用题中等式建立、的方程组，求出、的值，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式；（2）利用等差数列前项和公式求出，然后由求出的值.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，数列的通项为；（2）数列的前项和，由，化简得，即，.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求解，考查等差数列的前项和公式，常用的方法就是利用首项和公差建立方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.20、（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）时函数没有零点；或时函数有且只有一个零点；时，函数有两个零点.【解析】（1）先对函数求导，然后分和两种情况判断导函数正负，求其单调区间；（2）由，得，构造函数，然后利用导数求出其单调区间和极值，画出此函数的图像，再判断图像与直线的交点情况，从而可得答案【详解】（1）因为，所以，当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令，得；令，得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）显然0不是函数的零点，由，得.令，则.或时，，时，，所以在和上都是减函数，在上是增函数，时取极小值，又当时，.所以时，关于的方程无解，或时关于的方程只有一个解，时，关于的方程有两个不同解.因此，时函数没有零点，或时函数有且只有一个零点，时，函数有两个零点.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数判断函数的零点，解题的关键是由，得，构造函数，然后利用导数求出其单调区间和极值，画出此函数的图像，再判断图像与直线的交点情况，考查数形结合的思想，属于中档题21、（1）（2）【解析】（1）设等差数列的公差为d，由题意得列出方程组，可求得的值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得，利用等比数列的定义，可证数列为等比数列，结合前n项和公式，即可得答案.【小问1详解】设等差数列的公差为d，由题意得，解得，所以通项公式【小问2详解】由（1）可得，，又，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，所以22、（1）；（2）存在，.【解析】(1)根据给定条件求出椭圆长短半轴长即可代入计算作答.(2)当直线l的斜率存在时，