2025 九年级数学上册位似图形作图的具体步骤课件

一、知识铺垫：从相似图形到位似图形的逻辑延伸演讲人CONTENTS知识铺垫：从相似图形到位似图形的逻辑延伸位似图形作图的核心逻辑：“三定”原则位似图形作图的具体步骤：分类型操作指南常见易错点与纠正策略课堂练习与能力提升总结与升华：位似作图的核心思想目录2025九年级数学上册位似图形作图的具体步骤课件各位同学、老师们：大家好！今天我们要共同探讨九年级数学中一个重要的几何作图内容——位似图形的作图步骤。作为相似图形的特殊形式，位似图形不仅是中考的高频考点，更是培养我们几何直观、空间想象能力的核心载体。在多年的教学实践中，我发现许多同学在初次接触位似作图时，容易混淆“相似”与“位似”的区别，或是在操作步骤中遗漏关键细节。因此，今天的课件将从基础概念出发，逐步拆解作图逻辑，结合具体案例，帮助大家建立清晰的操作框架。01知识铺垫：从相似图形到位似图形的逻辑延伸1相似图形的核心特征回顾在学习位似图形之前，我们需要先明确“相似图形”的定义：形状相同但大小不一定相同的图形。其本质是对应角相等、对应边成比例。例如，不同尺寸的五星红旗、放大或缩小的照片，都是相似图形的典型例子。但相似图形的位置关系是任意的——它们可以平移、旋转、翻转后重合。而位似图形则是相似图形的“特殊升级版”，它额外规定了一组关键条件：所有对应点的连线相交于同一点（即位似中心），且对应点到位似中心的距离之比等于相似比。这意味着，位似图形不仅形状相同、大小成比例，其位置还被严格约束在“从同一点出发的射线”上。2位似图形的定义与性质再梳理根据人教版九年级数学上册的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，相似比又叫做位似比。其核心性质可总结为三点：共点性：所有对应顶点的连线必过位似中心；比例性：任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（记为k，k>0）；平行性：对应边互相平行（或共线），这是位似图形区别于普通相似图形的关键标志（普通相似图形的对应边可能相交）。例如，用投影仪将幻灯片投影到屏幕上时，幻灯片与屏幕上的图像就是典型的位似图形——光源（投影仪镜头）是位似中心，图像的放大倍数是位似比，对应边（如文字的边缘）必然平行。02位似图形作图的核心逻辑：“三定”原则位似图形作图的核心逻辑：“三定”原则要完成位似图形的作图，本质上是解决三个关键问题：定中心、定比例、定方向。这三个步骤环环相扣，缺一不可。1第一步：确定位似中心（定中心）位似中心是整个作图的“锚点”，所有对应点的连线都需经过它。根据题目要求，位似中心可能有以下三种位置：在原图形外部：最常见的情况，例如以图形外某一点O为中心作图；在原图形边上：例如以三角形的一个顶点为位似中心；在原图形内部：例如以四边形的对角线交点为位似中心。需要注意的是，位似中心的位置会直接影响位似图形的位置——若中心在外部，位似图形可能与原图形分居中心两侧（异侧位似）或同侧（同侧位似）；若中心在内部，位似图形可能部分覆盖原图形。教学提示：在实际作图中，题目通常会明确给出位似中心的位置（如“以点O为位似中心”），若未明确，需根据题意合理选择（例如选择图形的一个顶点或外部明显点）。2第二步：确定位似比（定比例）位似比k是原图形与位似图形对应线段的长度之比（k>0）。当k>1时，位似图形是原图形的放大版；当0<k<1时，是缩小版；k=1时，两图形全等（即位似图形与原图形重合）。需要特别注意的是，位似比的方向：若题目中说“将原图形放大为原来的2倍”，则k=2；若说“位似图形与原图形的相似比为1:3”，则k=1/3（原图形与位似图形的比为3:1）。易错提醒：部分同学会混淆“位似比”与“对应边的比”。例如，原图形边长为a，位似图形边长为ka，则位似比是k（原图形：位似图形=1:k）；若题目说“位似图形与原图形的比为k”，则对应边的比是k:1，位似比为k。3第三步：确定位似方向（定方向）位似方向指的是位似图形相对于原图形的位置关系，分为两种：同侧位似：位似图形与原图形位于位似中心的同一侧，此时对应点与位似中心的连线方向相同；异侧位似：位似图形与原图形位于位似中心的两侧，此时对应点与位似中心的连线方向相反（即延长线方向）。例如，若原图形的顶点A到中心O的距离为OA，同侧位似时，对应点A’满足OA’:OA=k，且A’在OA的延长线上（远离O的一侧）；异侧位似时，A’在AO的延长线上（O的另一侧），同样满足OA’:OA=k。教学经验：方向的选择通常由题目隐含条件决定（如“作出与原图形位于中心同侧的位似图形”），若未说明，需同时考虑两种情况，但考试中一般会明确要求。03位似图形作图的具体步骤：分类型操作指南位似图形作图的具体步骤：分类型操作指南根据位似中心的位置和方向的不同，位似作图可分为以下四类情况。我们以最常见的多边形（如三角形、四边形）为例，详细演示每一步操作。3.1情况一：位似中心在原图形外部，同侧位似（放大）例题：如图1，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（位似比k=2），作出同侧位似图形△A’B’C’。作图步骤：连接中心与各顶点：用直尺连接O与A、O与B、O与C，得到射线OA、OB、OC；确定对应点位置：在射线OA上，从O出发，截取OA’=2×OA（即A’在OA的延长线上，且OA’:OA=2:1）；同理，在射线OB上截取OB’=2×OB，在射线OC上截取OC’=2×OC；位似图形作图的具体步骤：分类型操作指南连接对应顶点：用直尺连接A’、B’、C’，得到△A’B’C’；验证平行性：检查对应边是否平行（如AB∥A’B’，BC∥B’C’），确保符合位似图形的性质。操作细节：截取长度时，可使用圆规：以O为圆心，OA为半径画弧交OA延长线于点D（OD=OA），则A’即为OD的延长线再取一个OA长度（OA’=OA+OD=2OA）；若原图形顶点到O的距离为d，则对应点到O的距离为k×d，需用刻度直尺或圆规准确测量。位似图形作图的具体步骤：分类型操作指南3.2情况二：位似中心在原图形外部，异侧位似（缩小）例题：如图2，以点O为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的1/2（位似比k=1/2），作出异侧位似图形A’B’C’D’。作图步骤：连接中心与各顶点：连接O与A、O与B、O与C、O与D，得到线段OA、OB、OC、OD；反向延长确定对应点：在OA的反向延长线上（即O的另一侧），截取OA’=(1/2)×OA（即OA’:OA=1:2）；同理，在OB、OC、OD的反向延长线上分别截取OB’=(1/2)×OB，OC’=(1/2)×OC，OD’=(1/2)×OD；位似图形作图的具体步骤：分类型操作指南连接对应顶点：依次连接A’、B’、C’、D’，得到四边形A’B’C’D’；验证共点与比例：检查A’A、B’B、C’C、D’D是否交于O，且OA’:OA=OB’:OB=…=1:2。关键技巧：反向延长线的操作可通过直尺直接延长线段AO（注意方向是从A向O再延长），然后用圆规截取OA’=(1/2)OA（例如，若OA长4cm，则OA’长2cm，从O出发向相反方向量取2cm）。3情况三：位似中心在原图形边上（以三角形顶点为例）例题：如图3，以△ABC的顶点A为位似中心，将△ABC放大为原来的3倍（k=3），作出同侧位似图形△AB’C’。作图步骤：确定中心与顶点连线：由于中心A是原图形的顶点，只需连接A与另外两个顶点B、C（此时AA即为点A自身，对应点A’=A）；在射线AB、AC上截取对应点：在射线AB上，从A出发截取AB’=3×AB（即B’在AB的延长线上，AB’:AB=3:1）；在射线AC上截取AC’=3×AC；连接对应顶点：连接B’、C’，得到△AB’C’；验证性质：检查B’C’是否平行于BC（根据位似性质，对应边应平行）。注意事项：当位似中心是原图形的顶点时，该顶点的对应点即为自身（A’=A），这是此类作图的特殊点，需特别标记。4情况四：位似中心在原图形内部（以平行四边形中心为例）例题：如图4，平行四边形ABCD的对角线交于点O（即中心），以O为位似中心，将平行四边形缩小为原来的1/2（k=1/2），作出异侧位似图形A’B’C’D’。作图步骤：连接中心与各顶点：连接O与A、O与B、O与C、O与D，得到四条线段OA、OB、OC、OD；在反向延长线上截取对应点：在OA的反向延长线上截取OA’=(1/2)×OA（即A’在O的另一侧，与A相对）；同理，OB’=(1/2)×OB（反向延长OB），OC’=(1/2)×OC（反向延长OC），OD’=(1/2)×OD（反向延长OD）；连接对应顶点：按顺序连接A’、B’、C’、D’，得到缩小后的平行四边形；4情况四：位似中心在原图形内部（以平行四边形中心为例）验证对称性：由于原图形是中心对称图形，位似图形也应关于O中心对称，可通过测量A’B’是否平行且等于1/2AB来确认。教学提醒：当位似中心在图形内部时，对应点可能分布在中心周围，需注意延长线的方向是否正确（异侧位似时需反向延长）。04常见易错点与纠正策略常见易错点与纠正策略在实际作图中，学生容易出现以下错误，需重点关注：1错误一：位似中心与对应点连线未共点表现：作出的位似图形顶点连线未交于指定的位似中心。原因：作图时未严格沿射线方向截取对应点，或直尺画线时偏移。纠正：使用直尺时，确保射线OA、OB等是严格的直线（可通过多次检查延长线是否过O）；截取对应点时，用圆规固定半径，避免测量误差。2错误二：位似比方向混淆（同侧与异侧）030201表现：题目要求异侧位似，但对应点画在同侧，或反之。原因：对“反向延长线”的理解不清晰，未明确“异侧”需向中心的另一侧延伸。纠正：用箭头标记射线方向（如OA的方向是从O到A，反向延长线则是从A到O再继续延长），并在作图前用文字标注“同侧”或“异侧”。3错误三：对应边未平行（或共线）01表现：作出的位似图形对应边相交，不符合位似性质。02原因：截取对应点时比例错误（如OA’:OA≠OB’:OB），导致对应边不平行。03纠正：作图后用三角板或量角器验证对应边的平行性（如测量同位角是否相等），若不平行，需重新检查各对应点的比例是否一致。4错误四：忽略特殊点（如中心在顶点时的处理）表现：当位似中心是原图形顶点时，错误地为该顶点寻找对应点（如将A’画在OA延长线上）。原因：未理解“位似中心的对应点是自身”的性质。纠正：强调“位似中心O的对应点O’=O”，若O是原图形的顶点（如△ABC的顶点A），则A’=A，无需额外作图。05课堂练习与能力提升课堂练习与能力提升为巩固知识，我们设计以下练习（可根据实际教学进度选择）：1基础练习：三角形的位似作图题目：如图5，以点O为位似中心，将△DEF缩小为原来的1/3（k=1/3），作出异侧位似图形△D’E’F’。（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）2综合练习：四边形的位似变换题目：如图6，四边形GHIJ的位似中心为点P，位似比为2，且位似图形G’H’I’J’与原图形位于P的同侧。请作出G’H’I’J’，并验证GH与G’H’是否平行。3拓展练习：位似中心在内部的多边形题目：如图7，正五边形KLMNO的中心为点Q（对角线交点），以Q为位似中心，作出位似比为1:2的异侧位似图形K’L’M’N’O’。（提示：正五边形的中心到各顶点距离相等）06总结与升华：位似作图的核心思想总结与升华：位似作图的核心思想通过今天的学习，我们明确了位似图形作图的本质是“三定”——定中心、定比例、定方向，其核心逻辑是利用位似的共点性、比例性和平行性，通过射线截取法确定对应点，最终连接成图。需要强调的是，位似作图不仅是操