2025-2026 学年高二 数学 期中复习卷 试卷及答案

2025-2026学年高二数学期中复习卷试卷及答案第一部分试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知向量a=(2,1)，b=(1,-2)，则a与b的夹角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°2.命题“∀x∈R，x²+1≥1”的否定是（）A.∃x∈R，x²+1＜1B.∃x∈R，x²+1≥1C.∀x∈R，x²+1＜1D.∀x∈R，x²+1≤13.若抛物线y²=2px（p＞0）的焦点坐标为(1,0)，则p的值为（）A.1B.2C.4D.84.已知直线l：y=kx+1与圆C：x²+y²-2x=0相切，则k的值为（）A.±√3/3B.±√3C.0D.±15.设双曲线x²/a²-y²/b²=1（a＞0，b＞0）的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±(√2/2)xD.y=±(√3/3)x6.已知空间向量a=(1,0,-1)，b=(0,1,1)，则a与b的数量积为（）A.-1B.0C.1D.27.若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，则m的取值范围是（）A.m＞2B.m≥2C.m＜2D.m≤28.已知椭圆x²/25+y²/9=1上一点P到左焦点的距离为6，则点P到右焦点的距离为（）A.2B.4C.6D.89.已知直线l₁：x+y-1=0，l₂：2x+2y-3=0，则l₁与l₂之间的距离为（）A.√2/2B.√2/4C.1/2D.210.设命题p：∃x∈R，x²-2x+1≤0，则¬p为（）A.∃x∈R，x²-2x+1＞0B.∀x∈R，x²-2x+1≤0C.∀x∈R，x²-2x+1＞0D.∀x∈R，x²-2x+1≥011.已知空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，B(2,-1,4)，则|AB|=（）A.√6B.√14C.√17D.√1912.若圆C₁：(x-1)²+(y+2)²=4与圆C₂：(x+3)²+(y-1)²=9相交，则两圆公共弦所在直线方程为（）A.4x-3y+5=0B.4x+3y+5=0C.4x-3y-5=0D.4x+3y-5=0二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a=(3,-4)，则|a|=________。14.抛物线x²=4y的准线方程为________。15.已知直线l过点(2,3)，且斜率为-1，则直线l的方程为________。16.已知双曲线x²/4-y²=1的顶点坐标为________。三、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，求：（1）a·b；（2）|a+b|。18.（12分）已知直线l：3x+4y-12=0与圆C：x²+y²-2x-4y+1=0相交于A、B两点，求：（1）圆C的圆心坐标和半径；（2）弦AB的长度。19.（12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的离心率为√3/2，且过点(2,1)，求椭圆C的标准方程。20.（12分）已知命题p：方程x²+mx+1=0有两个不相等的负实数根；命题q：方程4x²+4(m-2)x+1=0无实数根。若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围。21.（12分）已知空间向量a=(1,1,0)，b=(1,0,1)，c=(0,1,1)，求：（1）向量a与b的夹角；（2）向量a在向量c方向上的投影。22.（12分）已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A、B两点，若|AB|=8，求直线l的方程。第二部分答案一、选择题（每小题5分，共60分）1.D2.A3.B4.A5.A6.A7.A8.B9.B10.C11.B12.A二、填空题（每小题5分，共20分）13.514.y=-115.x+y-5=016.(±2,0)三、解答题（共70分）17.解：（1）∵a=(1,2)，b=(2,-1)，∴a·b=1×2+2×(-1)=2-2=0。（5分）（2）a+b=(1+2,2+(-1))=(3,1)，∴|a+b|=√(3²+1²)=√(9+1)=√10。（10分）18.解：（1）将圆C的方程化为标准方程：(x-1)²+(y-2)²=4，∴圆心坐标为(1,2)，半径r=2。（6分）（2）圆心(1,2)到直线l：3x+4y-12=0的距离d=|3×1+4×2-12|/√(3²+4²)=|3+8-12|/5=1/5。由弦长公式|AB|=2√(r²-d²)=2√(4-(1/25))=2√(99/25)=(6√11)/5。（12分）19.解：由离心率e=c/a=√3/2，得c=(√3/2)a。又∵a²=b²+c²，∴a²=b²+(3/4)a²，即b²=(1/4)a²。（4分）∵椭圆过点(2,1)，∴(2²)/a²+(1²)/b²=1，即4/a²+1/b²=1。（8分）将b²=(1/4)a²代入上式，得4/a²+4/a²=1，解得a²=8，则b²=2。（10分）∴椭圆C的标准方程为x²/8+y²/2=1。（12分）20.解：命题p为真时，需满足：Δ₁=m²-4＞0，-m＜0，1＞0，解得m＞2。（3分）命题q为真时，Δ₂=16(m-2)²-16＜0，即(m-2)²-1＜0，解得1＜m＜3。（6分）∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假。（7分）当p真q假时，m＞2且m≤1或m≥3，解得m≥3；（9分）当p假q真时，m≤2且1＜m＜3，解得1＜m≤2。（11分）综上，实数m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞)。（12分）21.解：（1）a·b=1×1+1×0+0×1=1，|a|=√(1²+1²+0²)=√2，|b|=√(1²+0²+1²)=√2。（3分）设a与b的夹角为θ，则cosθ=(a·b)/(|a||b|)=1/(√2×√2)=1/2。（5分）∵θ∈[0,π]，∴θ=π/3。（6分）（2）a·c=1×0+1×1+0×1=1，|c|=√(0²+1²+1²)=√2。（9分）向量a在c方向上的投影为(a·c)/|c|=1/√2=√2/2。（12分）22.解：抛物线y²=4x的焦点F(1,0)，设直线l的方程为x=my+1（当直线斜率存在时），代入抛物线方程得y²=4(my+1)，即y²-4my-4=0。（4分）设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4。（6分）由抛物线的定义，|AB|=x₁+1+x₂+1=x₁+x₂+2。又x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，∴x₁+x₂=m(y₁+y₂)+2=4m²+2。（