第7讲　一元二次方程的解法及应用

第7讲一元二次方程的解法及应用(5年5考)知识梳理夯基础知识点一一元二次方程的概念及其解法1.一元二次方程:只含有

未知数,并且未知数的最高次数是

的整式方程.

2.一般形式为

(a≠0,a,b,c为常数).

3.一元二次方程的解:使一元二次方程左右两边

的未知数的值,若x=m是ax2+bx+c=0(a≠0)的解,则am2+bm+c=0.

知识梳理一个2ax2+bx+c=0相等4.一元二次方程的解法配方法把原方程化为ax2+bx+c=0的形式;将常数项移到方程的右边,二次项的系数化为1;方程两边同时加上

;

把方程配方成(x+p)2=q(q≥0)的形式,再开方求解得

一次项系数一半的平方规律总结解一元二次方程选择方法的一般顺序:直接开平方法→因式分解法→配方法→公式法.1.概念辨析下列一元二次方程:①2xm-1+2x+3=0;②x2-5x=6;③x2+2x+c=0.(1)方程①中,m的值是

;

(2)方程②中,一次项系数是

,常数项是

;

(3)下列各数是方程②的解的是

;

A.1 B.-1 C.0 D.2(4)若方程③的一个根是1,则c的值是

.

针对训练3-5-6B-32.在下列各题的横线上填写适当的解法.(1)解方程3x2-2x=0,用

法较适宜;

(2)解方程4x2-7x+2=0,用

法较适宜;

(3)解方程(x-3)2=2(x-3),用

法较适宜;

(4)解方程x2-8x=13,用

法较适宜.

因式分解公式因式分解配方3.解下列方程:(1)[人教九上P14例3变式]x2-3x=x-3;解:(1)方程整理,得x2-4x+3=0.因式分解,得(x-1)(x-3)=0.解得x1=1,x2=3.(2)[人教九上P7例1变式]x2+2x-2=0.知识点二一元二次方程根的判别式及根与系数的关系知识梳理根的判别式方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=

根的判别式与根的关系Δ>0⇔方程有两个

的实数根;

Δ=0⇔方程有两个

的实数根;

Δ<0⇔方程

实数根

b2-4ac不相等相等没有温馨提示代数式求值时的常见变形:4.一材多题[人教九上P16例4变式]已知一元二次方程x2+2x+m=0.(1)若该一元二次方程有两个相等的实数根,则m的值为

;

(2)若该一元二次方程没有实数根,则m的取值范围为

;

(3)若该一元二次方程有实数根,则m的取值范围为

;

(4)若该一元二次方程的一个根为1,则m的值为

,该方程的另一个根为

;

针对训练1m>1m≤1-3-3-28知识点三一元二次方程的应用1.增长率问题:设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为

.

2.利润问题:单件利润=单价-单件成本;总利润=单件利润×销量=总收入-总成本.3.面积问题:对于规则图形,可直接套用面积公式列方程求解;对于不规则图形,可通过割补使其变为规则图形后,再根据面积间的和、差关系求解.知识梳理a(1+x)24.循环球赛问题单循环:x个队的单循环赛场数=

;

双循环:x个队的双循环赛场数=x(x-1).5.原来某商场将进价为每件80元的某商品按每件100元出售,一天可售出100件.后来经调查发现,该商品每件降价1元,销量可增加10件,该商场想获利2250元.设将该商品每件降价x元,根据题意,可列方程为

.

针对训练(100-80-x)(100+10x)=2250

6.[人教九上P25复习题T7变式]某赛季篮球职业联赛,采用单循环制(每两队之间都进行一场比赛),比赛总场数为21场,若设参赛队伍有x支,则可列方程为

.

重难突破提能力考点1一元二次方程的解法(5年2考)典例1解方程:(1)x2-1=3;

解:(1)∵易得x2=4,∴x=±2.∴x1=2,x2=-2.(2)3x(x-1)-6(x-1)=0;解:(2)∵易得3(x-1)(x-2)=0,∴x-1=0或x-2=0.∴x1=1,x2=2.(3)x2-6x+4=0;

(4)x2-3x+2=0.1.(2022广东)若x=1是方程x2-2x+a=0的根,则a=

.

2.(2021广东)若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常数)的两根x1,x2满足-3<x1<-1,1<x2<3,则符合条件的一个方程为

.

即时训练1x2-4=0(答案不唯一)3.(2025广州模拟)解方程:(x-3)2=2(x-3).解:(x-3)2=2(x-3),(x-3)2-2(x-3)=0,(x-3)[(x-3)-2]=0,(x-3)(x-5)=0,x-3=0或x-5=0,解得x1=3,x2=5.考点2一元二次方程根的判别式(5年2考)典例2(2025广东)不解方程,判断一元二次方程2x2+x-1=0的根的情况:

.

有两个不相等的实数根即时训练4.(2025广州)关于x的方程x2-x+k2+2=0根的情况为()A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根C.无实数根

D.只有一个实数根C5.(2024广东)若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,则c=

.

6.(2025东莞模拟)已知关于x的方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是

.

1考点3一元二次方程根与系数的关系典例3[北师大九上P51习题T3]已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.即时训练7.(2025湖北)一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根为x1,x2,下列结论正确的是()A.x1+x2=-4 B.x1+x2=3 C.x1x2=4 D.x1x2=3D9.若一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为α,β,则2α2-3α+3β的值为

.

10考点4一元二次方程的应用(5年1考)典例4(2025广东)广东省统计局的相关数据显示,近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元,预计7月产值将增至9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x,可列出的方程为()A.2500(1+x)2=9100 B.2500(1-x)2=9100C.2500(1-2x)2=9100 D.2500(1+2x)2=9100A即时训练10.某童装专卖店在销售中发现,一款童装每件进价为80元,销售价为120元时,每天可售出20件,该商店决定采取适当的降价措施以扩大销售量,每件童装每降价1元,平均每天可多售出2件.设每件童装降价x元.(1)每天可销售多少件?每件盈利多少元?(用含x的代数式表示)解:(1)设每件童装降价x元时,每天可销售(20+2x)件,每件盈利120-80-x=(40-x)元.(2)每件童装降价多少元时,平均每天盈利1200元?解:(2)根据题意,得(20+2x)(40-x)=1200,解得x1=20,x2=10.∵要扩大销售量,增加利润,∴x=20.答:每件童装降价20元,平均每天盈利1200元.(3)平均每天盈利能否达到2000元?请说明理由.解:(3)不能.理由如下:依题意,可列方程:(40-x)(20+2x)=2000,化简,得x2-30x+600=0.∵Δ=(-30)2-4×1×600=-1500<0,∴方程无实数根.故平均每天销售利润不能达到2000元.全国视野拓思维11.有一块长28cm,宽16cm的矩形纸片.(1)如图(1)所示,如果在矩形纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形(阴影部分)后,将其折成无盖的长方体盒子.若折成的盒子的底面积为220cm2,则裁去的小正方形的边长为

.

3cm(2)若需要制作一个有盖的长方体盒子,为了合理利用材料,小颖设计了如图(2)所示的裁剪方案(阴影部分为裁剪下来的边角料),其中左侧的两个阴影部分为正方形,右侧的两个阴影部分为矩形,能否折出底面积为144cm2的有盖盒子(接缝忽略不计)?如果能,请求出盒子的体积;如果不能,请说明