《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（第3课时）》课件

第二十二章

二次函数22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（第3课时）3.能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、

顶点.1.能画出y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.2.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)

之间的联系.y=ax2y=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2k>0k<0上移下移左加右减说出平移方式，并指出其顶点与对称轴.顶点在x轴上（h，0）顶点

在y轴上(0,k)对称轴

y轴

对称轴x=h【思考】

顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？画出函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质知识点1

解：-4-2y-6O-22x4-4开口方向：对称轴：顶点：向下.x=-1.(-1,-1).画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.开口方向向上；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2)-22xyO-2468-424a>0a<0图象h>0h<0开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小.当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大.向上向下直线x=h直线x=h（h,k）x=h时，y最小值=kx=h时，y最大值=k（h,k）二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质例

已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(

)A利用二次函数y=a(x-h)2+k的性质识别图象素养考点B.D.A.C.解析

根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．在同一坐标系内，一次函数y=ax+2与二次函数y=x²+a的图象可能是（

）CA.B.D.C.-4-2y-6O-22x4-4向左平移一个单位向下平移一个单位向左平移一个单位，再向下平移一个单位二次函数y=a(x-h)2+k的图象与平移知识点2怎样移动抛物线就可以得到抛物线？

向左平移1个单位12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10平移方法：向下平移1个单位

一般地,抛物线y=a(x－h)²＋k与y=ax²形状相同,位置不同.把抛物线y=ax²向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)²＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.向左(右)平移|h|个单位向上(下)平移|k|个单位y=ax2y=a(x－h)2y=a(x－h)2+ky=ax2y=a(x－h)2+k

向上(下)平移|k|个单位y=ax²+k向左(右)平移|h|个单位可以看作互相平移得到的，平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.y=ax2y=ax2+k

y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律简记为：上下平移括号外上加下减；左右平移括号内左加右减.二次项系数a不变.二次函数y=ax2与y=a（x-h)2+k的关系例

要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?二次函数的应用素养考点C(3,0)B(1，3)

AxOy123123解:如图建立直角坐标系,

点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.

因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(3,0)，∴0=a(3－1)2＋3.解得:因此抛物线的解析式为:y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3).当x=0时,y=2.25.答:水管长应为2.25m.34a=－.y=(x－1)2＋3(0≤x≤3).34－如图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度AB=18m，一个同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的值.解:如图,建立平面直角坐标系,设抛物线解析式为y=ax2+k.由题意得B（9,0），C（8,1.7）.把B、C两点的坐标代入y=ax2+k，得解得∴y=-0.1x2+8.1,∴h=k=8.1,即大门高8.1m.点拔:此题还可以以AB所在直线为x轴,A点或B点为原点,建立平面直角坐标系,求得抛物线的解析式，进而得出顶点坐标,顶点的纵坐标即为h的值.1.抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（

）A.（1，1）

B.（﹣1，1） C.（﹣1，﹣1）

D.（1，﹣1）A2.将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y=﹣5（x+1）2﹣1

B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3A二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上(1,－2)向下向下(3,7)(2,－6)向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3,5)y=－3(x－1)2－2y=4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下表:基础巩固题2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________.

4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到y=-3x2.3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为

_____________.答：先向左平移一个单位，再向下平移两个单位.5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.设该二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k，由题意得y=5(x+1)2+3.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．能力提升题解：由函数顶点坐标是（1，-2），设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2.因为图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2，解得a=2.所以这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是(

)A.3.5m

B.4m

C.4.5m

D.4.6mB拓广探索题3.5mAB

向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+k向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位yOx

y=ax2y=a(x-h)2+khk1.(1)抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的形状大小、开口方向都完全

,但

和

不同.

(2)抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标为

,对称轴是

.

(3)抛物线y=ax2向左平移h个单位长度,即为抛物线

,抛物线y=ax2向右平移h个单位长度,即为抛物线

.

2.抛物线y=-4x2与y=-(x-1)2共有的性质是(

)A.开口向上

B.对称轴都是y轴C.都有最高点

D.顶点坐标为原点相同

顶点

对称轴

(h,0)x=hy=a(x+h)2y=a(x-h)2C3.一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)、向左(右)

,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据

的值来决定.

4.抛物线y=(x+2)2-4的开口向

,对称轴为

,顶点坐标为

,它可以看作是由抛物线y=x2先向

平移2个单位长度,再向

平移4个单位长度得到.

平移

h,k上

直线x=-2(-2,-4)左

下

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质【例】

画出二次函数y=(x-1)2-4的图象.(1)指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴;(2)当x取哪些值时,y随x的增大而减小?当x取哪些值时,y随x的增大而增大?(3)写出该函数图象上的最高点或最低点的坐标及函数的最大值或最小值.(4)将抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,求所得抛物线的解析式.分析:首先根据函数关系式确定函数图象的对称轴,然后在对称轴左右两侧适当地选取x值(一般是在对称轴左右对称取值),从而列表、描点、连线,画出函数图象.通过观察函数图象,我们可以得出它的性质,进而解决相关问题.解：列表、描点、连线,画出函数图象如图.(1)函数y=(x-1)2-4的图象开口向上,顶点坐标为(1,-4),对称轴是直线x=1.(2)当x<1时,y随x的增大而减小;当x>1时,y随x的增大而增大.(3)函数y=(x-1)2-4图象上的最低点(即顶点)坐标是(1,-4),此时函数有最小值,当x=1时,y最小值=-4.(4)抛物线y=(x-1)2-4向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得抛物线的解析式为y=(x+1)2-5,即y=x2+2x-4.点拨:二次函数y=a(x-h)2+k图象的顶点坐标是(h,k),对称轴是过顶点(h,k)且与y轴平行的直线,在其顶点处取得函数的最大(小)值,同时其顶点也是函数值增减变化的“分界点”.抛物线平移的结果与平移的先后顺序无关,主要看顶点的平移,也可根据规律口诀“左加右减,上加下减”进行平移.抛物线的平移特征如下:67123451.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是(

)答案答案关闭D67123452.由二次函数y=2(x-3)2+1可知(

)A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线x=-3C.其最小值为1D.当x<3时,y随x的增大而增大答案答案关闭C67123453.抛物线y=3(x-1)2+8的顶点坐标为

.

答案答案关闭(1,8)67123454.将抛物线y=3(x-4)2+2向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,平移后抛物线的解