《实际问题与二次函数（第2课时）》课件

第二十二章

二次函数

22.3实际问题与二次函数（第2课时）2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.

1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西。【思考】如果你去买商品，你会选哪一家店呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是

元，销售利润

元.180006000利润问题中的数量关系知识点（1）销售额=售价×销售量;（2）利润=销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价.【数量关系】

例1

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？如何定价利润最大素养考点1涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售2030020+x300-10xy=(20+x)(300-10x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.6000②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x

≥0，且x

≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤30.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，当

时,y=-10×52+100×5+6000=6250.60+5=65，即定价65元时，最大利润是6250元.降价销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售2030020-x300+20xy=(20-x)(300+20x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，即y=-20x2+100x+6000.6000

②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x

≥0，且x

≥0,因此自变量的取值范围是0≤x

≤20.综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.③涨价多少元时，利润最大，是多少？当

时,即：y=-20x2+100x+6000，∴在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5

元时，利润最大，最大利润是6

125元．由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?例2

某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每月利润（元）正常销售涨价销售1018010+x180-10xy=(10+x)(180-10x)1800建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),即：y=-10x2+80x+1800.营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x

≥0，因此自变量的取值范围是x≤18.

②自变量x的取值范围如何确定？③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+80x+1800

=-10(x-4)2+1960.

当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.

答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.

求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：

可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.例3

某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.

限定取值范围中如何确定最大利润素养考点2（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？解：由题意得：当40≤x≤50时，

Q=60(x－30)=60x－1800.∵y=60>0，Q随x的增大而增大，∴当x最大=50时，Q最大=1200.

答：此时每月的总利润最多是1200元.

（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：当50≤x≤70时，

设y与x函数关系式为y=kx+b,

∵线段过(50，60)和(70，20).50k+b=60,70k+b=20,∴∴y

=－2x+160（50≤x≤70）.

解得k

=－2,b=160.∴Q=(x－30)y

=(x－30)(－2x+160)=－2x2+220x－4800

=－2(x－55)2+1250(50≤x≤70).∵a=－2＜0，图象开口向下，∴当x=55时，Q最大=1250.∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.

（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？解：∵当40≤x≤50时，Q最大=1200＜1218.当50≤x≤70时，Q最大=1250＞1218.∴售价x应在50~70元之间.因此令－2(x－55)2+1250=1218,解得：x1=51，x2=59.当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160=58(件),当x2=59时，y2=－2x+160=－2×59+160=42(件).∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.

变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：Q与x的函数关系式为：60x－1800,（40≤x≤50

）－2(x－55)2+1250.（50≤x≤70）Q=由例3可知：若40≤x≤50，则当x=50时，Q最大=1200,若50≤x≤70，则当x=55时，Q最大=1250.∵1200＜1250∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；解：①当40≤x≤50时，∵Q最大=1200＜1218，∴此情况不存在.

60x－1800,（40≤x≤50）－2(x－55)2+1250.（50≤x≤70）Q=②当50≤x≤70时，

Q最大=1250>1218，令Q=1218，得－2(x－55)2+1250=1218.解得x1=51，x2=59.由Q=－2(x－55)2+1250的图象和性质可知:当51≤x≤59时，Q≥1218.因此若该商品所获利润不低于1218元，则售价x的取值范围为51≤x≤59.

xQ055121859511250（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？解：由题意得51≤x≤59,30(－2x+160)≥1620.解得：51≤x≤53.∵Q=－2(x－55)2+1250的顶点不在51≤x≤53范围内，又∵a=－2＜0，∴当51≤x≤53时，Q随x的增大而增大.∴当x最大

=53时，Q最大=1242.∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.xQo5512425351某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个.

(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元，这种篮球每月的销售量是

个(用x的代数式表示).（x+10）（500

10x）(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润?如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,此时篮球的售价应定为多少元?8000元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，此时篮球的售价为70元.1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为

元.25基础巩固题2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为

.每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为

.(以上关系式只列式不化简）.

y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？能力提升题w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]

=(10+2x)(84－4x)

=－8x2+128x+840

=－8(x－8)2+1352.解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352元.xy516O7某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax²+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？拓广探索题xy516O7解：由图可以看出：二次函数y=ax+bx-75过点（5,0），（7,16）,将两点坐标代入解析式即可求得：(1)y=-x2+20x-75，即y=-（x-10）2+25.∵-1<0,对称轴x=10,∴当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元.（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

(2)显然，当y=16时，x=7和13.因为函数y=-x+20x-75图象的对称轴为x=10，因此，点（7,16）关于对称轴的对称点为（13,16）,故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元.解：某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为______件；180解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件），（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．解：

（2）由题意得：

y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]=﹣10x2+1100x﹣28000=﹣10（x﹣55）2+2250.∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本确定自变量取值范围涨价:要保证销售量≥0；降件:要保证单件利润≥0确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出1.二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.通常以抛物线的顶点为

,以抛物线的对称轴为

建立平面直角坐标系.

2.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分,则水喷出的最大高度是(

)A.4m B.3m C.2m D.1m原点

y轴

A构建函数模型解决实际问题【例】

行驶中的汽车在刹车后由于惯性,还要继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不能超过140km/h),对这种汽车进行测试,测得数据如下表:

(1)请建立合适的平面直角坐标系,并在该坐标系内描出这些数据所表示的点,并用平滑曲线连接这些点,得到函数的大致图象;(2)观察图象,估计函数的类型,并确定一个满足这些数据的函数解析式;(3)该型号汽车发生了一起交通事故,现场测得刹车距离为46.5m,请推测刹车时的速度是多少?在事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶?分析:(1)将表中每一组数据作为点的坐标,在平面直角坐标系内描出这些点,画出图象,注意隐含条件x≥0;(2)根据所画出的图象,判断出y是x的什么函数,然后用待定系数法求函数解析式;(3)令y=46.5,求出相应的x的值,再与140

km/h比较.解:(1)建立平面直角坐标系,描点、画图,如图.(2)依据图象,设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,将表中前三组经检验,表中其他各组数据也符合此解析式.所以所求函数解析式为y=0.002x2+0.01x(0≤x≤140).(3)当y=46.5时,0.002x2+0.01x=46.5,解得x1=150,x2=-155(舍去).所以推测刹车时的速度是150

km/h.因为150>140,所以事故发生时汽车是超速行驶.点拨:本题与生活实际紧密相连,体现了数学来源于生活,又服务于生活.题中并没有说明y关于x是哪一种函数,通过提供的数据画出图象后,方可发现符合二次函数的特征.选取三点求出二次函数的解析式后,将其他点代入验证必不可少,只有验证无误后方可认定为二次函数.12341.向上发射一枚炮弹,经xs后的高度为ym,且时间与高度的关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7s与第14s时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的?你的结论是(

)A.第8s B.第10sC.第12s D.第15s答案解析解析关闭答案解析关闭12342.某学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA.O恰好在水面中心,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任意平面上的抛物线如图①,建立平面直角坐标系(如图②),水流喷出的高度y(单位:m)与