2025年北京五中高二（上）期末数学(直升班)试题和答案

高中2025北京五中高二（上）期末数学（直升班）班级______姓名______学号______成绩______一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若直线的斜率为，则的倾斜角为（）A. B. C. D.2.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A. B. C.6 D.123.为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则（）A.18 B.4 C.2或18 D.4或94.已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（）A.、、 B.、、C.、、 D.、、5.设数据1，2，3，4，5的第m百分位为，，则集合M中元素的个数为（）A.5 B.6 C.9 D.1006.对于非零向量，“”是“与方向相反”的（）条件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要7.若双曲线的离心率是2，则实数的值是（）A. B. C.3 D.8.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数＝中位数＞众数 B.图（2）的众数＜中位数＜平均数C.图（2）的平均数＜众数＜中位数 D.图（3）的中位数＜平均数＜众数9.均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为.同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为.若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（）A. B.C. D.10.是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知复数满足（是虚数单位），则的值为______．12.已知双曲线的一个焦点为，且与直线没有公共点，则双曲线的方程可以为__________.13.已知单位向量，满足，则的最小值为______.14.如图，正方体的棱长为4，点是棱的中点，点是平面内的动点，且到平面的距离等于线段的长度，则点的轨迹为______，线段长度的最小值为______．15.“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点，的距离之积为定值．请写出下列所有正确结论的序号______（参考数据：）①若，则的方程为②若上的点到两定点的距离之积为16，则点在上③若，点在上，则④当时，上第一象限内的点满足的面积为，则三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.在中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．17.2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2021年首次发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降雨.下表是中央气象台7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域.北京密云山东乐陵河北迁西山东庆云北京怀柔河北海兴河北唐山天津渤海A平台河北丰南山东长清180毫米175毫米144毫米144毫米143毫米140毫米130毫米127毫米126毫米126毫米（1）从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率；（2）从这10个区域中随机选出3个区域，求恰有一个北京区域的概率；（3）在7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140毫米的区域降雨量的方差为，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为，全部十个区域降雨量的方差为.试判断的大小关系.（结论不要求证明）18.如图，三棱锥中，，平面平面，点是棱的中点，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.条件①：；条件②：直线与平面所成角为.19.已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线轴，轴于点，求的值.20.已知函数.（1）当时，求的零点个数；（2）设，函数.（i）判断的单调性；（ii）若，求的最小值.21.设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质.（1）若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；（2）若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；（3）对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？

参考答案一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.【答案】C【分析】由倾斜角与斜率关系可得答案.【详解】设的倾斜角为，则，由，故.故选：C.2.【答案】A【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.【详解】依题意，在方向上的投影向量为，则，而，所以.故选：A3.【答案】C【分析】由抛物线方程y2=2pxp>0，可得准线方程，再由点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，可得【详解】由抛物线方程y2=2pxp>0因为点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，所以点，代入抛物线方程得，解得或.故选：C4.【答案】D【分析】根据空间向量基底的概念逐项判断即可.【详解】对于A选项，因为，则、、共面，所以，、、不能构成空间的一组基底；对于B选项，因为，则、、共面，所以，、、不能作为空间的一组基底；对于C选项，因为，则、、共面，所以，、、不能作为空间的一组基底；对于D选项，假设、、共面，则存在、使得，由于为空间的一组基底，则，该方程组无解，故假设不成立，即、、不共面，所以，、、可以作为空间的一组基底.故选：D.5.【答案】C【分析】根据百分位数的定义，利用的不同取值范围分类讨论求解.【详解】设％，其中，所以％，当时，，则的比邻整数为1，所以；当时，，所以；当时，，则的比邻整数为2，所以；当时，，所以；当时，，则的比邻整数为3，所以；当时，，所以；当时，，则的比邻整数为4，所以；当时，，所以；当时，，则的比邻整数为5，所以；当时，；综上，，故选:C.6.【答案】A【分析】由两边同时平方判断充分性即可，反之与方向相反则不一定得到，然后由充分必要条件的概念判断即可.【详解】，所以，所以，即，所以，即，所以与方向相反，且.反之，若与方向相反，则或，故选：A7.【答案】A【分析】设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为，由双曲线方程求a,b,c，结合离心率定义列方程求.【详解】设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为，因为双曲线方程可化为，所以，，，所以双曲线的离心率，故，所以.故选：A.8.【答案】B【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A错误；图（2）频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小，平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，平均数大于中位数，故B正确，C错误；同理图（3）“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，故D错误.故选：B.9.【答案】C【分析】设单位圆上一点为，经过题设变换后坐标为，则，代入圆的方程即可得曲线方程.【详解】由题设，单位圆上一点坐标为，经过横向均匀压缩至原来的一半，纵向均匀压缩至原来的，得到对应坐标为，∴，则，故中，可得：.故选：C.10.【答案】A【分析】由得弦中点P到圆心的距离，则点在以为圆心，1为半径的圆上，又在圆上存在点，则可转化为两圆有公共点问题求解即可.【详解】圆，圆心，半径，圆，圆心，半径，由是弦的中点，且，则，所以，故点在以为圆心，以为半径的圆上.又在圆上存在点恰为线段的中点，，则两圆有公共点，可得，即，解得或.则实数的取值范围为，故选：A.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】【分析】由复数的运算求解即可.【详解】由于，所以，所以，故答案为：12.【答案】(答案不唯一)【分析】取直线为双曲线的渐近线，则，根据焦点得到，，得到双曲线方程.【详解】取直线为双曲线的渐近线，则，双曲线的一个焦点是，故，由，解得，故双曲线方程为.故答案为：(答案不唯一)13.【答案】【分析】首先利用数量积模的公式，转化为二次函数求最值.【详解】，当时等号成立，所以的最小值为.故答案为：14.【答案】①.抛物线②.【分析】根据抛物线的定义得出点轨迹，建立空间直角坐标系后由空间两点间距离公式计算．【详解】因为平面平面，平面平面，而平面，所以到直线的距离就是到平面的距离，由到平面的距离等于线段的长度，可知点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，建立如图所示的空间直角坐标系（的中点为原点，与正方体的棱平行的直线为坐标轴），，，，点的轨迹方程是，，所以时，，故答案为：抛物线；．15.【答案】①③④【分析】由曲线的定义可知，列出方程化简即可判断①；若，则，易知不在曲线即可判断②；若，点在上，则代入方程求解即可判断③；由三角形的面积公式结合勾股定理得到，然后求解即可判断④.【详解】对于①，若，则，，即距离之积定值为36.则有，即.即，所以，所以，故①正确；对于②，若，即，，则，易知，不在上，故②错误；对于③，若，则，化简得，当时，，设，则，解得(负值舍去).∵，故③正确；对于④，由题可知：，，，则，，所以，所以，所以，，所以，所以，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.【小问1详解】解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.17.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由表格可得雨量在135毫米以上的区域共有6个，进而可得结果；（2）设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，由超几何分布概率公式可得；（3）结合方差的意义可得结果.【小问1详解】设这个区域降雨量在135毫米以上为事件，区域降雨量在135毫米以上的区域共有6个，所以.故这个区域降雨量在135毫米以上的概率为【小问2详解】设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，由题意分析可知服从超几何分布，即表示“恰有一个北京区域”，则，故恰有一个北京区域的概率为.【小问3详解】表中数据的均值为，故，降雨量超过140毫米的区域降雨量的均值为，故，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的均值为：，故，故.18.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由面面垂直性质定理证明线面垂直，进而得线线垂直，选①再由长度关系利用勾股定理证明另一组线线垂直，选②结合线面角的定义证明，由此可得,利用勾股定理证明另一组线线垂直，则由线面垂直判定理证明线面垂直，由此线线垂直得证；（2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用向量方法求解二面角的大小.【小问1详解】选择条件①.取的中点，连接.因为，所以，又平面平面，平面，平面平面，故平面，而平面，故，即，所以，又，故，则，即.因为，平面，所以平面，平面，所以.选择条件②.取的中点，连接.因为，所以，又平面平面，平面，平面平面，故平面，所以在平面内的射影是，所以是直线与平面所成角.所以.由平面，而平面，故，即，所以，又，故，则，即.因为，平面，所以平面，平面，所以.【小问2详解】由（1）知两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，于是，由点是棱的中点，所以，于是，又，设是平面的法向量，则，令，则，所以是平面的一个法向量，，又是平面的一个法向量，设二面角的大小为，由题可知为锐角，所以.19.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据离心率、顶点坐标及求出可得答案；（2）直线的方程与椭圆方程联立，设Ax1,y1,Bx2,y2，利用韦达定理求出点坐标，可得直线的方程，令、可得、点坐标，利用两点间的距离公式求出、【小问1详解】由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】由（1）椭圆的标准方程为，可得，可得直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，易知，设Ax1,y1,B所以，代入直线的方程得，所以，所以直线的方程为，当时，，当时，，所以，，所以，，所以..【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.20.【答案】（1）2个（2）（i）在上单调递增，在和上单调递减；（ii）【分析】（1）求出函数导数，判断函数单调性，结合零点存在定理即可得结论；（2）（i）求导，利用导数的正负即可判断函数单调性；（ii）利用得到是关于的方程的两个不同的实根，从而得到，，即，从而表示出，构造函数求解，即可得答案.【小问1详解】由题可知，则，令，可得，当时，在单调递减，当时，在单调递增，，又，，即在和内各有一个零点，∴fx有2个不同的零点【小问2详解】（i）由题可知，则，令，可得或，当时，，当时，，在上单调递增，在和上单调递减.（ii）由，可得，是关于的方程的两个不同的实根，故，，即.故，设，当时，，为上的增函数，的最小值为，故的最小值为.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是求最小值时，要利用得到，是关于的方程的两个不同的实根，从而得到，，即，从而表示出，