2024年中考数学（全国）第一次模拟考试（含答案）

2024年中考第一次模拟考试（全国通用卷）数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目1．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是米．将数字用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．2．有理数a，b在数轴上对应点如图所示，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．3．下列计算正确的是（）A． B．C． D．4．下列运算结果最大的是（

）A． B． C． D．5．如图所示的几何体的俯视图是（

）A． B． C． D．6．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，这个八边形的内角和是(

)A． B． C． D．7．如图，小西家的梯子由等距离的六条平行横梁（踏板）组成，下宽上窄，其中点，，，均在横梁的端点处，若，则的长为（

）A． B． C． D．8．用配方法解方程，下列配方正确的是（

）A． B．C． D．9．据天气网预报，三月下旬天气回暖，其中最低气温的天数情况统计如下气温（）1113141516天数（天）11342根据表中的信息，判断下列结论中错误的是（）A．三月下旬共有11天B．三月下旬中，最低气温的众数是C．三月下旬中，最低气温的中位数是D．三月下旬中，最低气温的平均数是10．某乡镇决定对一段长的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加了施工人员，每天修建的公路比原计划增加了，结果提前4天完成任务．设原计划每天修建，那么下面所列方程中正确的是（

）A． B．C． D．11．如图，等腰内接于，，连结，过点作的垂线交于点，交于点，交于点，连结，若，则为（

）A． B． C． D．12．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。13．比较大小：．14．已知，，则=．15．用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为．16．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为．17．如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为．18．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：，，，…按此规律，若分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是．三、解答题：本题共7小题，共66分.其中：19题6分，20-21每题8分，22-23每题10分，24-25每题12分.19．（1）计算：．（2）先化简，再求值：，其中x是满足条件的合适的非负整数．20．中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应用，基础设施的功能日益增加，承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活条件改善了，如5G基础进设、新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．根据巾商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的数量及市场份额的统计图如图所示：请根据图中信息，解答下列问题：(1)①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整；②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是万台．(2)小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率．21．桑梯一登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，a的调整范围是．（参考数据：，精确到0.1米）(1)当时，若人站在的中点E处，求此人离地面（）的高度．(2)在安全使用范围下，求桑梯顶端D到地面的距离范围．22．“健康湖南，云动潇湘”，为迎接2023年全民健身线上运动会，某中学计划购进一批篮球和排球．若购买3个篮球和1个排球共需元；若购买5个篮球和3个排球共需元．(1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元？(2)该学校计划购进篮球和排球共个，且购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用．23．如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于．(1)求证：与相切；(2)若，．①求的半径；②求的长度．24．在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．(1)【观察发现】与是什么位置关系？(2)【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由；(3)如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由；(4)【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；(3)把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求其中一个N点坐标的过程写出来．2024年中考第一次模拟考试（全国通用卷）数学·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目1．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是米．将数字用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了科学记数法：“把一个大于的数表示成的形式，其中，是正整数，的值为小数点向左移动的位数”．根据科学记数法的定义，计算求值即可．【详解】解：，故选：D．2．有理数a，b在数轴上对应点如图所示，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据数轴可得，据此可得推出，，，进一步可得，，据此可得答案．【详解】解：由题意得，，∴，，，∴，，∴四个选项中只有D选项中结论正确，符合题意，故选D．3．下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据同底数幂的除法、单项式乘法、幂的乘方、完全平方公式进行计算，即可得到答案，此题考查了同底数幂的除法、单项式乘法、幂的乘方、完全平方公式，熟练掌握法则和公式是解题的关键．【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；B．，故选项错误，不符合题意；C．，故选项正确，符合题意；D．，故选项错误，不符合题意．故选：C．4．下列运算结果最大的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题重点考查了幂的运算，掌握零指数幂，负指数幂的运算法则是解题的关键．将各数化简即可求出答案．【详解】解：，，，，∵，∴最大，故选：A．5．如图所示的几何体的俯视图是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图就是从上面看该几何体所得到的图形逐项判断即可，理解俯视图的意义是解此题的关键．【详解】解：俯视图就是从上面看该几何体所得到的图形，比较符合题意；故选：C．6．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，这个八边形的内角和是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了多边形内角定理的运用．利用多边形内角和定理，即可求出八边形的内角和．【详解】解：根据题意得，八边形的内角和是．故选：C．7．如图，小西家的梯子由等距离的六条平行横梁（踏板）组成，下宽上窄，其中点，，，均在横梁的端点处，若，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．如图，作于，作于，由题意知，，，证明，则，计算求解即可．【详解】解：如图，作于，作于，由题意知，，，∴，∴，即，解得，，故选：C．8．用配方法解方程，下列配方正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方即可得出结果．【详解】解：，移项，得：，配方，得：，即，故选：C．9．据天气网预报，三月下旬天气回暖，其中最低气温的天数情况统计如下气温（）1113141516天数（天）11342根据表中的信息，判断下列结论中错误的是（）A．三月下旬共有11天B．三月下旬中，最低气温的众数是C．三月下旬中，最低气温的中位数是D．三月下旬中，最低气温的平均数是【答案】D【分析】此题考查求众数，求中位数，求平均数，根据题意分别计算并判断各选项，熟练掌握众数，中位数，平均数的求法是解题的关键．【详解】解：天数有：（天），最低气温是的天数最多，众数为，第6天的最低气温为中位数，中位数为，平均数为：．故错误的为D．故选：D．10．某乡镇决定对一段长的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加了施工人员，每天修建的公路比原计划增加了，结果提前4天完成任务．设原计划每天修建，那么下面所列方程中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了分式方程的应用；根据工作时间工作总量工作效率，以及提前4天完成任务列分式方程即可．【详解】解：设原计划每天修建，则实际施工时每天修建，由题意得：，故选：C．11．如图，等腰内接于，，连结，过点作的垂线交于点，交于点，交于点，连结，若，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等、全等三角形的判定与性质等知识点，连接，证可得，求出，再结合即可求解．【详解】解：连接，如图所示：∵，，∴∴∵，，∴∴∵∴故选：A12．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数与轴的交点问题、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，由二次函数的图象得出、、，即可判断①；由二次函数与轴有两个交点得出，结合，即可判断②；求出，代入抛物线解析式得出，即可判断③；解一元二次方程即可判断④，从而得到答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：抛物线开口向下，，抛物线的对称轴在轴的右侧，，，抛物线交轴于正半轴，，，故①正确，符合题意；抛物线与轴有两个交点，，，，故②错误，不符合题意；在中，当时，，，，，把代入得：，，故③正确，符合题意；，，，，，，方程有两个不相等的实数根，故④正确，符合题意；综上所述，正确的有①③④，共个，故选：B．第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。13．比较大小：．【答案】【分析】本题考查了实数大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键．比较两数的平方，即可求解．【详解】解：∵，故答案为：．14．已知，，则=．【答案】【分析】此题主要考查代数式的值，先把因式分解为，再整体代入求值即可.【详解】解：故答案为：.15．用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为．【答案】/10厘米【分析】本题考查了求圆锥的底面半径，弧长公式．设圆锥的底面圆半径为​，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列方程求解，即可得到答案．熟练掌握相关公式是解题关键．【详解】解：设圆锥的底面圆半径为​，依题意，得​，解得：​，故答案为：​．16．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为．【答案】3【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．【详解】解：延长交轴于点，

∵轴，∴轴，∵点A在函数的图象上，∴，∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，∴，∴四边形的面积等于，故答案为：3．17．如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为．【答案】2【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握上述基本知识、灵活应用方程思想是解题的关键．根据旋转的性质可得，，，然后根据正方形的性质和等量代换可得，进而可根据证明，可得，设，则与可用含x的代数式表示，然后在中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即得答案．【详解】∵将绕点顺时针旋转得到，，，在正方形中，，，点G、B、E在同一直线上,又，在和中，，∴，∴，又四边形是正方形，，设，，，在中，由勾股定理，得：，即解得：的长为2故答案为：2．18．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：，，，…按此规律，若分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是．【答案】45【分析】本题主要考查探索数的规律的问题，主要从特殊出发得出一般规律，观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出所在的奇数的范围，即可得解．【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，且分裂后的第一个数可以表示为；底数为3的分裂成3个奇数，且分裂后的第一个数可以表示为；底数为4的分裂成4个奇数，且分裂后的第一个数可以表示为，∴分裂成m个奇数，分裂后的第一个数是，∵，，∴2015是的立方分裂的一个奇数，即．故答案为：45．三、解答题：本题共7小题，共66分.其中：19题6分，20-21每题8分，22-23每题10分，24-25每题12分.19．（1）计算：．（2）先化简，再求值：，其中x是满足条件的合适的非负整数．【答案】（1）4；（2）；【分析】（1）分别进行化简绝对值、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、零指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可；（2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据分式分母不为零，确定在范围内合适的非负整数，最后再代入化简后的式子即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：x是满足条件的非负整数，且原式【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的意义，二次根式的化简以及零指数幂的运算，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则，注意分式分母不为零．20．中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应用，基础设施的功能日益增加，承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活条件改善了，如5G基础进设、新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．根据巾商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的数量及市场份额的统计图如图所示：请根据图中信息，解答下列问题：(1)①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整；②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是万台．(2)小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率．【答案】(1)①见解析；②2(2)【分析】本题考查的是从统计图中获取信息，求解中位数，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键；（1）①由星星充电10万台充电桩占比求解总的充电桩的数量，再求解国家电网的充电桩的数量与占比即可；②根据11家企业的充电桩是数量按照从大到小顺序排列后，排在第6的数据是中位数，从而可得答案；（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，结合概率公式可得答案．【详解】（1）解：①公共充电桩的总数为（万台），∴“国家电网”的公共充电桩数量为（万台），“国家电网”的公共充电桩的市场份额为；如图，②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是2万台．（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的结果数为2，所以抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率．21．桑梯一登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，a的调整范围是．（参考数据：，精确到0.1米）(1)当时，若人站在的中点E处，求此人离地面（）的高度．(2)在安全使用范围下，求桑梯顶端D到地面的距离范围．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查解直角三角形应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．（1）过E作于点H，由题意易得，然后问题可求解；（2）过点D作于点D，，然后分当时和当时，进而分类求解即可．【详解】（1）解：过E作于点H，

∵，，∴，∵点E为的中点，米，∴，∴，在中，，∴；（2）解：过点D作于点D，当时，∵，∴，∴，即；当时，；∴，即；∴D与地面的距离范围为．22．“健康湖南，云动潇湘”，为迎接2023年全民健身线上运动会，某中学计划购进一批篮球和排球．若购买3个篮球和1个排球共需元；若购买5个篮球和3个排球共需元．(1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元？(2)该学校计划购进篮球和排球共个，且购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用．【答案】(1)篮球元/个，排球元/个(2)当学校购买进篮球个，购进排球个，总费用最少，最少费用是元【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．根据题意正确的列等式和不等式是解题的关键．（1）设篮球x元/个，排球y元/个，依题意，得：，计算求解即可；（2）设购进篮球m个，则购进排球个，设总费用为w元，则，解得．依题意，得：，根据一次函数的性质进行判断作答即可．【详解】（1）解：设篮球x元/个，排球y元/个，依题意，得：，解得，答：设篮球元/个，排球元/个．（2）解：设购进篮球m个，则购进排球个，设总费用为w元，∵购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，∴，解得．依题意，得：，∵，∴w随m值的增大而增大，∴当学校购买进篮球个，购进排球个，总费用最少，最少费用是元．23．如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于．(1)求证：与相切；(2)若，．①求的半径；②求的长度．【答案】(1)见解析(2)①的半径4，②【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理．（1）连接，根据圆周角定理得出，再根据平行线的性质得出，即可求证与相切；（2）①设的半径为r，则，，根据勾股定理可得，列出方程求解即可；②过点O作于点F，用等面积法求出，进而得出，最后根据垂径定理可得．【详解】（1）证明：连接，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴与相切；（2）解：①设的半径为r，则，∵，∴，∵，∴，即，解得：或（舍去），∴的半径4；②过点O作于点F，∵，，∴，则，解得：，根据勾股定理可得：，∵，∴．24．在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．(1)【观察发现】与是什么位置关系？(2)【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由；(3)如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由；(4)【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)结论：．理由见解析部分；(3)结论：．理由见解析部分；(4)结论：．理由见解析部分．【分析】（1）利用翻折变换的性质判断即可；（2）结论：．证明即可；（3）证明，推出，即可解决问题．（4）结论：．如图（3）中，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点．想办法证明，可得结论．【详解