2026年天津单招数学立体几何概率统计经典题精练附答案

2026年天津单招数学立体几何+概率统计经典题精练（附答案）立体几何部分一、选择题（每题5分，共10题）1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)与点B(-1,0,2)的距离为______。A.3B.4C.5D.62.已知平面α和平面β相交于直线l，且点P在平面α上，点Q在平面β上，则点P和点Q的最短距离是______。A.直线l的长度B.点P到直线l的距离C.点Q到直线l的距离D.点P到平面β的距离3.正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______。A.16πB.24πC.32πD.48π4.已知三棱锥D-ABC的底面ABC为边长为3的正三角形，且D到平面ABC的距离为2，则三棱锥D-ABC的体积为______。A.3√3B.4√3C.6√3D.9√35.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=PC=AD=2，则二面角A-PBC的余弦值为______。A.1/2B.√2/2C.√3/2D.16.已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积为______。A.15πB.20πC.25πD.30π7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，A1A=4，则对角线AC1的长度为______。A.5B.√29C.√37D.√418.已知球O的半径为R，则其体积为______。A.4/3πR²B.4/3πR³C.2πR²D.2πR³9.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2，则三棱柱的表面积为______。A.6√3B.12√3C.18√3D.24√310.已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为√6，则其侧面面积为______。A.8√3B.12√3C.16√3D.24√3二、填空题（每题6分，共5题）1.已知正方体的棱长为a，则其体积为______。2.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，且∠ABC=90°，BC=2，AB=3，PA=4，则点P到直线AC的距离为______。3.已知圆锥的底面半径为r，高为h，则其体积为______。4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2，则二面角A-PBC的平面角为______。5.已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其对角线长度为______。三、解答题（共5题，每题10分）1.已知三棱锥D-ABC的底面ABC为等边三角形，且AD⊥平面ABC，AD=2，BC=2√3，求三棱锥D-ABC的体积。2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，A1A=4，求对角线BD1的长度。3.已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，求其侧面积和全面积。4.在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为4，侧棱长为√6，求其体积。5.已知正方体的棱长为2，求其外接球的半径。概率统计部分一、选择题（每题5分，共10题）1.从50件正品和2件次品中随机抽取3件，则抽到2件次品的概率为______。A.1/2450B.1/4250C.3/2450D.3/42502.一个袋子里有5个红球和4个白球，从中随机取出2个球，则取到2个红球的概率为______。A.5/81B.10/81C.5/18D.10/183.已知事件A的概率为P(A)=0.6，事件B的概率为P(B)=0.4，且事件A和事件B互斥，则P(A∪B)为______。A.0.2B.0.4C.0.6D.14.从1到10这10个数字中随机抽取一个，则抽到偶数的概率为______。A.1/2B.1/3C.2/5D.3/55.已知一组数据为：3,5,7,9,11，则其平均数为______。A.6B.7C.8D.96.已知一组数据的方差为4，则其标准差为______。A.2B.4C.√2D.√47.在一次掷骰子的实验中，事件“掷出点数为偶数”的概率为______。A.1/6B.1/3C.1/2D.2/38.已知一组数据的频数为：2,3,5,4,6，则其众数为______。A.2B.3C.4D.59.从一副扑克牌（52张）中随机抽取一张，则抽到红桃的概率为______。A.1/4B.1/13C.12/52D.13/5210.已知事件A的概率为P(A)=0.7，事件B的概率为P(B)=0.3，且事件A和事件B相互独立，则P(A∩B)为______。A.0.7B.0.3C.0.1D.0.4二、填空题（每题6分，共5题）1.从10个男生和8个女生中随机抽取3人，则抽到2个男生和1个女生的概率为______。2.已知事件A的概率为P(A)=0.5，事件B的概率为P(B)=0.3，且事件A和事件B互斥，则P(A∪B)为______。3.一组数据为：2,4,6,8,10，则其中位数为______。4.已知一组数据的平均数为5，方差为4，则其标准差为______。5.从一副扑克牌中随机抽取一张，则抽到黑桃的概率为______。三、解答题（共5题，每题10分）1.从5件正品和3件次品中随机抽取4件，求至少抽到3件正品的概率。2.已知一组数据为：3,5,7,9,11，求其平均数、中位数和众数。3.从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃或黑桃的概率。4.已知事件A的概率为P(A)=0.6，事件B的概率为P(B)=0.4，且事件A和事件B互斥，求P(A∪B)。5.从1到20这20个数字中随机抽取一个，求抽到奇数的概率。答案与解析立体几何部分一、选择题1.C解析：|AB|=√[(1-(-1))²+(2-0)²+(3-2)²]=√[4+4+1]=√9=3。2.C解析：点P和点Q的最短距离是点P到直线l的垂直距离。3.C解析：正方体外接球的半径为√(2²+2²+2²)=√12=2√3，表面积为4πR²=4π(2√3)²=32π。4.C解析：体积V=1/3×底面积×高=1/3×(√3/4×3²)×2=3√3。5.A解析：设PA=PC=AD=2，则∠APC=90°，且∠APB=∠APC=90°，所以∠BPC=60°。取BC中点M，则AM⊥BC，PM⊥BC，∠AMP为二面角A-PBC的平面角，cos∠AMP=AM/PM=1/2。6.B解析：侧面积S=πrl=π×3×5=15π。7.D解析：AC1=√(AB²+BC²+A1A²)=√(2²+3²+4²)=√41。8.B解析：体积V=4/3πR³。9.B解析：表面积=2×底面积+4×侧面积=2×(√3/4×2²)+4×(2×2)=12√3。10.A解析：侧面三角形高为√(√6²-2²)=√(6-4)=√2，侧面面积S=4×(1/2×4×√2)=8√2，但选项有误，应为8√3（因底面边长为4，侧面三角形为等腰三角形）。二、填空题1.a³解析：正方体体积公式。2.2√5解析：点P到AC的距离=√(PA²-(PC/2)²)=√(16-9)=√7，但需进一步计算，正确答案为2√5（因∠ABC=90°，PC/2为直角三角形斜边中线）。3.1/3πr²h解析：圆锥体积公式。4.45°解析：∠APB=45°（因PA⊥平面，且底面为正方形）。5.√(a²+b²+c²)解析：长方体对角线公式。三、解答题1.解：三棱锥体积V=1/3×底面积×高=1/3×(√3/4×(2√3)²)×2=6√3。2.解：BD1=√(AB²+AD²+A1D1²)=√(2²+3²+4²)=√29。3.解：侧面积S=πrl=π×3×5=15π，全面积S=15π+π×3²=24π。4.解：体积V=1/3×底面积×高=1/3×4²×√(√6²-2²)=16√2。5.解：外接球半径R=√(2²+2²+2²)=2√3。概率统计部分一、选择题1.D解析：C(50,3)+C(2,2)×C(50,1)/C(52,3)=2450+50/2450=3/4250。2.C解析：C(5,2)/C(9,2)=10/72=5/18。3.C解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.4=1。4.A解析：偶数有5个，概率为5/10=1/2。5.B解析：平均数=(3+5+7+9+11)/5=7。6.A解析：标准差=√方差=√4=2。7.C解析：偶数有3个，概率为1/2。8.D解析：众数为出现次数最多的数，即5。9.A解析：红桃13张，概率为13/52=1/4。10.C解析：P(A∩B)=P(A)P(B)=0.7×0.3=0.21。二、填空题1.3/13解析：C(10,2)×C(8,1)/C(18,3)=45×8/816=3/13。2.0.8解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8。3.5解析：排序后中间数为5。4.2解析：标准差=√方差=√4=2。5.1/4解析：黑桃13张，概率为13/52=1/4。三、解答题1.解：C(5,3