相似三角形的应用课件-湘教版（2012）九年级数学上册

2025-2026学年湘教版数学九年级上册第3章

图形的相似3.5相似三角形的应用C利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题.3.5相似三角形的应用

教学过程一、教学基本信息1.课题：3.5相似三角形的应用2.课时：1课时（45分钟）3.学情分析：学生已掌握相似三角形的定义、判定定理（AA、SAS、SSS）及性质（对应边成比例、对应角相等），具备一定的几何推理和逻辑思维能力，但将几何知识与实际问题结合的意识和能力较弱，需要通过具体情境引导其建立数学模型。4.教学目标：

知识与技能：能运用相似三角形的判定和性质解决实际中的测量、计算问题，掌握“建模——推理——求解”的基本思路。5.过程与方法：通过观察、操作、讨论等活动，经历将实际问题转化为几何问题的过程，提升数学建模能力和逻辑推理能力。6.情感态度与价值观：感受数学与生活的紧密联系，体会数学的实用价值，激发学习几何的兴趣。7.教学重难点：

重点：运用相似三角形的判定和性质解决实际问题。8.难点：准确识别实际问题中的相似三角形模型，将实际问题转化为几何推理。9.教学准备：多媒体课件（包含实际情境图片、例题）、测高工具示意图（标杆、皮尺）、三角板、练习单。二、教学过程设计（一）情境导入，激发兴趣（5分钟）1.问题呈现：展示两张图片——①古代工匠测量金字塔高度的场景；②现代工人测量大树高度的场景。提问：“金字塔巍峨高大，大树挺拔耸立，在没有大型测量工具的情况下，如何准确测量它们的高度？”“大家有没有在生活中遇到过类似的测量难题？”2.引出课题：引导学生思考：“这些问题都可以通过我们学过的相似三角形知识来解决。今天我们就一起来探索相似三角形的实际应用。”（板书课题：3.5相似三角形的应用）3.设计意图：通过生活中“无法直接测量高度”的典型问题，引发学生的认知冲突和探究欲望，自然衔接旧知与新知，明确本节课的学习目标。（二）探究新知，建立模型（15分钟）1.典例1：利用“标杆”测量物体高度1.情境描述：小明想测量校园里一棵大树的高度，他找来一根1.5m长的标杆，竖直立在地面上，测得标杆的影长是1.2m，同时测得大树的影长是8m，你能帮小明算出大树的高度吗？2.师生互动：

提问1：“在这个问题中，有哪些几何图形？它们之间存在什么关系？”（引导学生发现：标杆、大树均垂直于地面，太阳光线可看作平行光线，因此标杆与大树、标杆影长与大树影长构成的两个三角形是相似的。）3.提问2：“如何证明这两个三角形相似？”（学生回答：∵标杆⊥地面，大树⊥地面，∴∠A=∠A'=90°；∵太阳光线平行，∴∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'（AA判定）。）4.提问3：“根据相似三角形的性质，我们可以列出怎样的比例式？”（引导学生明确对应边：标杆高度/大树高度=标杆影长/大树影长，设大树高度为h，列出比例式1.5/h=1.2/8。）5.求解过程：师生共同计算：1.2h=1.5×8→1.2h=12→h=10（m）。得出结论：大树的高度为10m。6.模型总结：板书“平行光线模型”——当两个物体均垂直于同一平面，且光线平行时，物体高度与影长成正比，构成的两个直角三角形相似。2.典例2：利用“镜面反射”测量距离1.情境描述：小红想测量池塘两端A、B之间的距离，她在池塘边的平地上选了一点C，在C点放了一面镜子，然后她从C点出发，向远离池塘的方向走了10m到达D点，在D点刚好能从镜子中看到A点；已知小红的身高DE=1.6m，她站立的位置D到镜子C的距离CD=10m，镜子C到池塘A点的距离CA=25m，求池塘两端A、B的距离（假设B、C、D在同一直线上，AB⊥BD，DE⊥BD）。2.师生互动：

提问1：“镜面反射有什么特点？”（学生回忆：反射角等于入射角，因此∠ACB=∠ECD。）3.提问2：“图中哪些三角形是相似的？请说明理由。”（引导学生分析：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠B=∠D=90°；又∵∠ACB=∠ECD，∴△ABC∽△EDC（AA判定）。）4.提问3：“对应边的比例关系是什么？”（AB/DE=CA/CD，设AB=x，列出比例式x/1.6=25/10。）5.求解过程：学生独立计算，教师巡视指导：10x=1.6×25→10x=40→x=4（m）。得出结论：池塘两端A、B的距离为4m。6.模型总结：板书“镜面反射模型”——利用反射角等于入射角，结合直角条件，构造相似三角形，通过对应边成比例求解未知量。3.方法提炼引导学生归纳相似三角形应用的核心步骤：①建模：将实际问题中的几何元素抽象出来，画出几何图形；②判相似：根据已知条件，选择合适的判定定理证明三角形相似；③用性质：利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式；④求解：解比例式，得出实际问题的答案。（板书：建模→判相似→用性质→求解）（三）巩固练习，深化应用（15分钟）1.基础题：强化模型应用某同学身高1.7m，站在离平面镜3m处，他在镜中的像高为______m；若他向平面镜靠近1m，此时像到他的距离为______m（结合镜面反射与相似性质，引导学生发现“像与物全等”本质是相似比为1的相似三角形）。（学生独立完成，集体订正，巩固“相似比为1”的特殊情况。）2.提升题：灵活构建模型如图，为了测量某建筑物CD的高度，在地面上取A、B两点，使A、B、D三点在同一直线上，在点A处测得建筑物顶部C的仰角为30°，在点B处测得建筑物顶部C的仰角为45°，已知AB=20m，求建筑物CD的高度（结果保留根号）。（提示：设CD=x，利用Rt△ACD和Rt△BCD均为直角三角形，且∠CAD=30°，∠CBD=45°，结合AB=AD-BD=20m，列出含x的方程求解。学生分组讨论，代表展示解题过程，教师点评引导。）3.拓展题：结合生活实际某小区要修建一个三角形花台，已知花台的一个角为60°，夹这个角的两边之比为3:4，且与花台相似的一个模型（按比例缩小）中，夹60°角的两边长分别为6cm和8cm，求花台的实际边长（假设模型与花台的相似比为1:100）。（学生独立完成，教师强调“两边及其夹角对应成比例+夹角相等”的SAS相似判定，强化相似比的应用。）（四）课堂小结，梳理知识（5分钟）1.学生回顾：请2-3名学生分享本节课的收获，包括学到的相似三角形应用模型、解题步骤及遇到的困难。2.教师梳理：

两个核心模型：平行光线模型（测高）、镜面反射模型（测距）；3.一个核心方法：“建模→判相似→用性质→求解”；4.一个核心思想：将实际问题转化为几何问题，用数学知识解决实际问题。（五）布置作业，延伸学习（5分钟）1.必做题：教材习题3.5第1、2、3题（巩固基础模型，强化解题步骤）。2.选做题：回家后利用标杆测量自家小区内一棵小树的高度，记录测量数据和计算过程，下节课分享（将数学知识应用于生活，培养实践能力）。3.思考题：除了标杆和镜面反射，你还能想到哪些利用相似三角形测量物体高度或距离的方法？（激发创新思维）问题:

如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？利用相似三角形测量宽度AB如图，在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B两点，连接并延长AC，BC，在

AC的延长线上取一点

D，在

BC的延长线上取一点E，使测量出

DE的长度后，就可以由相似三角形的有关知识求出

A，B间的距离了.CDE例1

如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定

PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得

QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ.PRQSbTaPQ×90=(PQ+45)×60.解得PQ=90.因此，河宽大约为90m.解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST.PRQSbTa∴，即

，还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？45m90m60m例2如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．

此时如果测得BD＝120

m，DC＝60

m，EC＝50

m，求两岸间的大致距离AB．EADCB60m50m120m解：∵∠ADB

＝

∠EDC，

∠ABC

＝

∠ECD

＝

90°，

∴△ABD∽△ECD.

∴，即，解得AB=100.因此，两岸间的大致距离为100m.EADCB60m50m120m

测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.归纳：利用相似三角形测量高度

据传说，古希腊数学家、天文学家开勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.例3如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.怎样测出OA的长？解：太阳光是平行的光线，因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.∴.∴=134(m).因此金字塔的高度为134m.表达式：物1高：物2高=影1长：影2长测高方法一：

测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.归纳：例4如图，小明为了测量一棵树

CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆

EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.解析：人、树、标杆相互平行，添加辅助线，过点

A作

AN∥BD交AECDFBNCD于

N，交

EF于

M，则可得

AEM∽△ACN.M解：过点

A作

AN∥BD交

CD

于

N，交

EF于

M，∵人、标杆、树都垂直于地面，∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°.∴AB∥EF∥CD.∴∠EMA=∠CNA.∵∠EAM=∠CAN，

∴△AEM∽△ACN.∴ .∵AB=1.6m，EF=2m，BD=27m，FD=24m，∴ .∴CN=3.6m.∴CD=3.6+1.6=5.2(m).故树的高度为5.2m.AECDFBNM例5在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛(O)、 准星(A)、靶心点(B)在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星

A

偏离到

A'，如图所示.已知

OA

=

0.2

m，OB

=

50

m，AA'

=

0.0005

m，求小明射击到的点

B'

偏离靶心点

B

的长度

BB'（近似地认为

AA'∥BB'）. ∵AA'∥BB′∴△OAA'

∽△OBB′.∵OA=0.2m，OB=50m，AA'=0.0005m，∴BB'=0.125m.答：李明射击到的点

B'偏离靶心点

B的长度

BB'为0.125m.1.如图，要测量旗杆AB

的高度，可在地面上竖一根竹竿DE，测量出DE

的长以及DE

和AB

在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求

AB长的等式是()A．B．

C．D．ABCDEFC练一练ACB2.

如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6米的小阳同学站在C

处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC=2米，AB=10米，则旗杆的高度是______米．8AFEBO┐┐还可以有其他测量方法吗？OBEF=OAAF△ABO∽△AEFOB=OA·EFAF平面镜想一想：测高方法二：

测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.试一试：如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P

处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端C

处，已知AB=2米，且测得BP=3米，DP=12米，那么该古城墙的高度是()A.6米B.8米C.18米D.24米BABPDC例6

如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距离地面1.6m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端

C了?利用相似解决有遮挡物问题分析：如图，设观察者眼睛的位置(视点)为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB，CD于点H，K.视线FA，FG的夹角∠AFH是观察点A的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角，由于树的遮挡，区域

Ⅰ

和Ⅱ

都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了.

由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端C.

解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E

与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.∴.即解得

EH=8.1.小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为