湖南省名校联盟联考2026届高三上学期11月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省名校联盟联考2026届高三上学期11月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由集合，因为，可得，则满足，解得，即实数的取值范围.故选：B.2.，若，则复数为（）A.2 B. C.2或 D.4【答案】A【解析】，，，，，．故选：A．3.若，则的最小值是（）A.6 B.4 C.10 D.【答案】C【解析】，，对进行变形可得，根据基本不等式，得，当且仅当时即等号成立，当时，取得最小值为.故选：C.4.若，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据对数函数的单调性可知：，，，根据指数函数的单调性可知：，所以有，故选：D.5.某校对全校1000名学生的物理成绩进行统计，分成，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，若学校对成绩排名前15%的学生进行表彰，则被表彰的学生的物理成绩最低分数为（）A.86分 B.87.5分 C.88分 D.88.5分【答案】B【解析】因为的频率为，的频率为，设被表彰的学生的物理成绩最低分数为，由题意可得，解得.故选：B.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得.故选：B7.函数（，），若在上恒成立，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】令，则，则当时，，当，，则在上单调递减，在上单调递增，又，当时，，当时，，故有两个零点、；由在上恒成立，则时，需，时，需，又在上单调递减，在上单调递增，则当、为与的公共零点时，有在上恒成立，则有，且有，则.故选：C.8.已知数列的前项和为，且.若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以当时，；当时，，所以数列是以为公比，为首项的等比数列，所以，若对任意的正整数恒成立，则对任意的恒成立，所以，令，则，所以当时，，所以，所以对任意正整数，，又，所以.所以实数的最小值为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.若，则D.存在，使得【答案】ABC【解析】对于A，，故A正确；对于B，，，若，则，即，因为，，所以，解得，故B正确；对于C，若，则，故C正确；对于D，，当且仅当时，有最大值为，故D错误.故选：ABC.10.已知函数，则（）A.函数为偶函数B.函数的增区间为，减区间为C.函数的值域为D.若，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A选项，函数的定义域为，由，有，可得函数为偶函数，故A选项正确；对于B选项，当时，，由函数在上单调递增，在上单调递增，可得函数在上单调递增（复合函数的单调性），又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为，故B选项正确；对于C选项，当时，由，得，有，可得，又由函数为偶函数，可得函数的值域为，故C选项错误；对于D选项，由及函数是偶函数，且函数的增区间为，减区间为，，可得，故D选项正确．故选：ABD.11.已知函数的定义域为，其导数满足，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】构造辅助函数，求导得，因为，所以，所以在上单调递增.所以，所以，即，所以A正确；根据单调性有，所以，即，所以B错误；因为，所以，则有，即，所以C正确；根据单调性有，，即，所以D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知非零向量，的夹角为，其中，且满足，则______.【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，因为为非零向量，所以，所以，所以，故答案为：.13.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______.【答案】【解析】由等差数列性质，可得，，则，，从而.又，则.故答案为：.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与双曲线C的左支相交于P，Q两点，，且，则双曲线C的离心率为____________．【答案】【解析】设，则有，又由，有，在中，由余弦定理有，可得，在中，由余弦定理有，可得．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差．（1）求的解析式，并求的单调递减区间；（2）求在区间上的值域．解：（1）函数的图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，，解得，，，，的单调递减区间为：，，解得，的单调递减区间为：．（2），，令，则，在上，由正弦函数的性质可知：当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，取得最小值，最小值为；当时，取得最大值，最大值为．在区间上的值域为．16.已知所对的边分别为，，，且.（1）求；（2）若的面积为，，求.解：（1）根据正弦定理，由可得，，，，故上式化为，又，，，故化为，即，提公因式，得，又，，，，.（2）的面积为，，由（1）可知，，再根据余弦定理可得，，又，，即，解得.17.数列满足，.（1）证明：数列是等比数列；（2），求数列的前项和.（1）证明：由可得：，因为，所以数列是等比数列，首项和公比均为；（2）解：由（1）得，因为，所以，设，则，两式相减得：，所以，则.18.如图，在四棱台中，底面，底面是边长为2的正方形，，点为线段上的动点，棱台的体积为.（1）求的长；（2）若平面，请确定点的位置；（3）求平面与平面的夹角的余弦值的最大值.解：（1）底面是边长为2的正方形，，故底面是边长为1的正方形，所以底面的面积为，底面的面积为，底面，故为棱台的高，故棱台的体积为，解得；（2）因为底面，平面，所以，，又，故两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，由（1）知，则，设，，则，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，因为平面，所以，解得，此时，点的位置为靠近的4等分点；（3），设平面的法向量为，则，令，则，故，由（2）知，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，令，则，因为，故当，即时，取得最大值，最大值为.19.已知函数.（1）若单调递增，求的取值范围；（2）已知，且.（i）若，证明：；（ii）证