湖南省湘潭市部分学校2025-2026学年高二上学期12月学情检测数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省湘潭市部分学校2025-2026学年高二上学期12月学情检测数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.直线与直线的位置关系是（）A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定2.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦点坐标为（）A. B. C. D.3.已知数列一个通项公式为，且，则等于（）A. B. C.5 D.64.若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（）A.2 B. C. D.5.双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为（）A.2 B.1 C. D.6.法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点和，动点为，若，则动点的轨迹为（）A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线7.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为；②椭圆的长轴长为；③双曲线两渐近线的夹角正切值为；④抛物线的焦点到准线的距离为A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.已知函数是定义在R上不恒为零的函数，对任意的x，均满足：，，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知公差为的等差数列是递减数列，其前项和为，且满足，则下列结论正确的是（）A. B.C.若，则的最大值为7 D.取最大值时，10.已知直线：和圆：，则（）A.直线恒过定点 B.存在使得直线与直线：垂直C.直线与圆相离 D.若，直线被圆截得的弦长为11.如图是唐代纹八棱金杯，其主体纹饰为八位手执乐器的乐工，分布于八个棱面，乐工手执竖箜篌､曲项琵琶､排箫等，金杯无论造型还是装饰风格都有着浓郁的域外特征，是唐代中外文化交流的见证､该杯的主体部分可近似看作是双曲线与直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线与轴交于两点，则（）A.的方程为B.的离心率C.的焦点到渐近线的距离为D.若为上任意一点，则的最大值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为___________．13.已知圆，直线（、不同时为0），当、变化时，圆被直线截得的弦长的最小值为______.14.已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的通项公式为．（1）计算的值；（2）是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．16.如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，，D是棱PC的中点．（1）求证：；（2）若，求直线BC与平面ADB所成角正弦值．17.在平面直角坐标系中，设向量，，．（1）若，求的值；（2）设，且，求的值．18.已知圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程；（3）已知是圆上动点，求的最大值.19.已知为坐标原点，是椭圆左、右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小