江苏省沭阳县07-08学年高一下学期期中考试数学试题

2017～2018学年度第二学期期中调研测试高一数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号写在答题纸上并填涂准考证号．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1._____．【答案】.【解析】由正弦的背胶公式可得.2.______．【答案】1.【解析】由两角和的正弦函数的公式，可得.3.如果成等比数列，则实数______．【答案】9.【解析】由成等比数列，所以满足，解得.4.在中,角所对边的长分别是，，则的面积为______．【答案】.【解析】由三角形的面积公式，可得三角形的面积为.5.不等式的解集为________．【答案】.【解析】由不等式，即，所以不等式的解集为.6.已知数列是等差数列，，则___．【答案】8.【解析】由等差数列，且，则，即，又由.7.在中,角所对边的长分别是，已知，则角=_____．【答案】.【解析】在中，所以由余弦定理得，又，所以.【答案】.【解析】分析：现根据和求出，进而根据正弦定理求得.详解：由题意，根据正弦定理得，所以.点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形实际问题中的应用，属于基础题，着重考查了学生的推理与运算能力.9.若则______．【答案】.【解析】由.10.在中,角所对边的长分别是，已知，则的形状为________．【答案】等腰三角形.【解析】由题意中，满足，根据正弦定理得，又由，所以，所以，即，所以，所以为等腰三角形.11.在等比数列中，，，则=______．【答案】4.【解析】因为数列为等比数列，由，可得，即，又，则，所以.12.已知数列的通项公式为，其前项和为8，则__．【答案】80.【解析】由数列的通项公式，则前项的和为，令，解得.13.若关于的不等式的解集是，则实数__．【答案】2.【解析】分析：根据一元二次不等式与对应一元二次方程的根的关系，结合根与系数的关系，即可求出的值.详解：因为关于的不等式的解集为，所以方程的两个实数根和，且，由根与系数的关系是，解得或，所以.点睛：本题考查了一元二次不等式与对应一元二次方程的根之间的关系，即“三个二次式”之间的关系，试题比较基础，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.14.已知，，且，则的最小值为___．【答案】.【解析】设，则且，所以，又因为，则且，所以，当且仅当时等号是成立的，所以的最小值为.点睛：本题主要考查了利用基本不等式求解最小值问题，其中解答中利用换元法把所求式子转化为，在利用基本不等式求解是解答的关键.对于利用基本不等式求解最值问题，要注意灵活运用两个公式，（1），当且仅当时取等号；（2），当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15.（本题满分14分）已知等差数列的通项公式.（1）求数列的前项和；（2）数列是等比数列，公比为，且，求数列的前项和.【答案】(1).(2)【解析】试题分析：（1）由等差数列的前项和公式，即可求解数列的前项和；（2）由（1），求得，进而得到等比数列的公比，再利用等比数列的求和公式，即可得到数列的前项和.试题解析：（1）（2）由题知又数列是等比数列，16.（本题满分14分）已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求的最大值和最小值.【答案】(1).(2)当时，；当时，.【解析】分析：（1）根据三角恒等变换的公式，求出，由此能求出函数的最小正周期；（2）由，得到，由此求出函数的最大值和最小值.详解：（1），的最小正周期是（2）所以当时，；当时，点睛：本题考查了三角函数的最小正周期的求法，三角函数的最大值与最小值的求法，试题比较基础，属于基础题，解题是要认真审题，注意三角函数图象与性质的综合运用，着重考查了推理与运算能力.17.（本题满分14分）在中,角所对边的长分别是，已知，．（1）若，求的值；（2）若的面积，求，的值．【答案】(1).(2),.【解析】分析：（1）由，根据三角函数的基本关系式求得，再由正弦定理，即可求得的值；（2）由三角形的面积公式，求得，再由余弦定理，即可求得的值.详解：(1)∵cosB=>0，且0<B<π，∴sinB=由正弦定理得，(2)∵S△ABC=acsinB=3，由余弦定理得点睛：本题主要考查了正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，试题比较基础，属于基础题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.18.（本题满分16分）某种汽车购买时费用为万元，每年应交付保险费、汽油费共万元，汽车的维修保养费为：第一年万元，第二年万元，第三年万元，……依等差数列逐年递增．（1）求该车使用了3年的总费用（包括购车费用）为多少万元？（2）设该车使用年的总费用（包括购车费用）为，试写出的表达式；（3）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．【答案】(1)万元.(2)(3).【解析】试题分析：(1)由题意，即可得到年总费用为万元；（2）根据题意保养维修为成首项为，公差为的等差数列，利用等差数列的前项和公式，即可求得的表达式；（3）设年平均费用为，利用基本不等式即可求解年平均费用最少值.试题解析：(1)3年总费用为万元（2）因为每年保养维修为成首项为，公差为的等差数列，所以第年保养维修费为，使用了年的总费用（3）设年平均费用为，则所以因为（当且仅当时，取等号）所以答：使用13年，年平均费用最少，最小值为万元19.（本题满分16分）已知函数，其中，记函数的定义域为.（1）求函数的定义域；（2）若函数的最大值为，求的值；（3）若对于内的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1).(2).(3).【解析】分析：（1）根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于自变量的不等式组，即可求解函数的定义域；（2）利用对数函数的运算性质，化简函数的解析式，并根据二次函数的图象与性质，可分析出函数的最小值为时，即可求解实数的值.（3）若不等式恒成立，即在上恒成立，设出新函数，利用基本不等式求解最大值，即可求解实数的取值范围.详解：（1）要使函数有意义：则有，解得－2＜x＜1∴函数的定义域为（2）因为所以因为，所以，即，由，得，（3）由在恒成立，得因为，所以所以在恒成立设，令则即，因为，所以（当且仅当时，取等号所以所以20.（本题满分16分）已知等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求；（3）是否存在正整数，使得仍为数列中的项，若存在，求出所有满足的正整数的值；若不存在，说明理由.【答案】(1).(2).(3)存在，满足条件的正整数【解析】分析：（1）由题意，数列为等差数列，求得公差，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）知，得到，进而可求解；（3）由题意得，令，则，因为故为8的约数，的可能取值为，分类讨论即可求解的值.详解：（1）因为数列为等差数列，所以即公差=，所以（2）由（1）知，当时，；当时，，设数列的前项和为，当时，（3）令（其中且是奇数），则故为8的约数，又是奇数，的可能取值为当时，是数列中的第5项；当时，不是数列中的项.所以存在，满足条件的正整数点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个