2025-2026学年广东省中山市某校高三（上）第四次模拟数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省中山市某校高三（上）第四次模拟数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足i−1=zi(i为虚数单位)，则z+z−=A.−2 B.−1 C.1 D.22.已知全集U=R，集合A={x|x2−5x−6≤0}，B={x|−3<x<3}，则如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为(

)A.(−3,−1] B.(−1,3] C.(1,3] D.[3,6]3.若l，m为直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是(

)A.若l//α，m⊂α，则l//m B.若l⊥α，l⊥β，则α⊥β

C.若l//α，l⊥β，则α⊥β D.若l⊂α，α⊥β，则l⊥β4.已知a,b,c均为单位向量，且满足a+A.π6 B.π3 C.π25.已知数列{an}中，其前n项和为Sn，且n，an，Sn成等差数列A.1 B.4 C.7 D.156.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，点(0,−32)，(π3,0)，(7π3,0)在图象上，若xA.3 B.32 C.0 D.7.设函数f(x)=x+ex，g(x)=x+lnx，若存在x1，x2，使得f(x1A.1e B.1 C.2 D.8.已知椭圆C：x22+y2b2=1(b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，若|AFA.13 B.33 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若平面向量a=(n,2)，b=(1,m−1)，其中n，m∈R，则下列说法正确的是(

)A.若2a+b=(2,6)，则a//b

B.若a=−2b，则与b同向的单位向量为(22,−22)

C.若n=110.斗笠是遮阳挡雨的帽子，有很宽的边沿，用竹篾、箭竹叶为原料编织而成，以竹青细篾加藤片扎顶滚边，竹叶夹一层油纸或者荷叶，笠面再涂上桐油.某旅游景点的老手艺人手工编制竹篾尖顶斗笠(斗笠近似看作圆锥)，并在笠面涂上桐油(只涂外表面).已知1m2的笠面需涂桐油约为π40kg，且斗笠所在圆锥的底面周长为160cm，斗笠所在圆锥的高为60πA.斗笠所在圆锥的底面面积为6400πB.斗笠所在圆锥的体积为128000π2cm3D.1kg的桐油，大约可涂刷50个斗笠11.已知函数f(x)=x−2cos(πx)，则(

)A.函数f(x)有最大值 B.f(x)至少有3个零点

C.点(12,12)是曲线y=f(x)的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2−2x=013.在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E满足A1E=1214.已知函数f(x)=ex−e1−x−ax有两个极值点x1与x2，若f(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a5=4a4，S3=42．

(1)求数列{an}的通项公式；16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD上⊥平面ABCD，AD⊥CD，且BD平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=l，BC=PC，DB=22

(Ⅰ)证明PA//平面BDE；

(Ⅱ)证明AC⊥平面PBD：

(Ⅲ)求四棱锥P−ABCD的体积．17.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosAtanB=1+sinA．

(1)若A=B，求C；

(2)求asinB+bsinA18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ae2x+x+1(a<0)．

(1)当a=−1时，求函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)若不等式f(x)+(a+2)ex19.(本小题17分)

已知抛物线C：y2=x，A，B，P是抛物线C上的三点，且满足PA⊥PB，过P作PD⊥AB于点D．

(1)若P(1,1)，求证直线AB过定点；

(2)设P(t2,t)(t>0)，记点D轨迹围成的图形的面积为S1，记△OAB的面积为S2，当直线参考答案1.D

2.D

3.C

4.C

5.D

6.D

7.B

8.B

9.BCD

10.BCD

11.BC

12.−18或8

13.3414.(215.16.(Ⅰ)证明：设AC∩BD=H，连接EH，

在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，

所以H为AC的中点，

又E为PC的中点，从而EH//PA，

因为HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，

所以PA//平面BDE；

(Ⅱ)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC，

由(I)知BD⊥AC，PD∩BD=D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，

从而AC⊥平面PBD：

(Ⅲ)解：在△BCD中，DC=1，DB=22，∠BDC=45°

得BC2=12+(22)2−2×1×22cos45°=5，

∴BC=5．17.解：(1)由A=B，cosAtanB=1+sinA，

可得cosAtanA=1+sinA，则cos2A=(1+sinA)sinA，

整理得2sin2A+sinA−1=0，解之得sinA=12或sinA=−1，

又0<A<π2，则A=π6，则B=π6，则C=2π3；

(2)A，B为△ABC的内角，则1+sinA>0，

则由cosAtanB=1+sinA，可得cosAtanB>0，

则A、B均为锐角tanB=cosA1+sinA=cos2A2−sin2A2(sinA2+cosA2)2=1−tanA218.19.解：(1)证明：不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

此时kAB=y2−y1x2−x1=y2−y1y22−y12=1y1+y2，

所以直线AB的方程为y−y1=1y1+y2(x−x1)，

整理得x−(y1+y2)y+y1y2=0，①

因为PA⊥PB，

所以kPA⋅kPB=−1