代数、数论+专练 高三数学强基专题

强基数学代数、数论

一、初等数论:整除

例1、求出所有的实数x,使得；；+,X一］与二都是整除.

lx—ox—51+x

例2、已知X,)，,Z是互不把等且都大于1的正整数，且型|(Ay-l)(yz-l)(zx例)，求z.

例3、已知正整数〃在十进制下的各位数码和的13等于其本身，求〃的值.

例4、已知［C,J=(4+2J3)"的整数部分，证明：2W+,|(［CJ+1)

例5、已知正整数），不超过2022且满足100整除2'+y,求），的个数.

二、初等数论：高斯函数

例1、已知[加表示不超过x的最大整数，己知上不，则[〃2]=

YYY

例2、方程U]+U]+U]=x有多少组解？

35

例3、求知=［道］+［啦：+…+［技亓］的值

2021y

例4、已知丫则丫的各位数字是.

1=07

〃〃+2k

例5、已知〃为正整数，求/s)=Z［中1］

D2

4、尸"缈数列性质1：设ace5为尸"缈数列中的相邻三项，则；c•二；ci+c（内插）

bdfclb+f

5、Rzrey数列性质2：设凹,£为Farey数列中的相邻两项，则b+d>n,ad-bc=\

bd

三、初等数论：不定方程

例1、求方程18x+4y+9z=2021的正整数解（x,y,z）.

例2、求方程），3+/4=/的正整数解（y,/,d）

例3、已知2〃+1,3〃+1均为完全平方数且〃不超过2022,则正整数〃的个数为.

113

例4、设为正整数，则方程一+—=上-的解的个数为

x），100

例5、求方程2'—5,，7z=|的所有非负整数解（x,），,z）

四、不等式

例1、已知x,y,z为正实数，求.+l°K+z-的最小值

xy+yz+zx

例2、已知尤y,z不全为0,求的取值范围.

x'+y+z

例3、若实数a,b,c,d满足。b+bc+cd+da=l,贝I/+？/+3c?+4"?的最大值为

例4、已知实数a,b,c,d,e满足"+62+。2+/+1=[,求

\a-b\-^\b-c\+\c-d\+\d-e\-^-\e-a\的最大值.

例5、已知。力,。为正实数且。+人+c=l,求证：J4o+1+J4A+1+J4c+1的取值范围

例6、设正实数x,y,z满足x+y+z=Ayz,求

x7(yz-1)+y\zx-1)4-z7(xy-1)的最小值.

例7、已知实数a,Z?,c,d满足a+b+c+d=3,/+26+3c2+6d2=5,求〃的取值范围.

例8、在AABC中，证明：—cosA+cosB+V3cosC<2

2

例9、已知正实数。满足〃+〃+c=l,则/+c?+2a/?c取值范围是

例10、已知非负实数a,Z?,c满足。+人+。=1,求c/S-c)+〃2(c-a)+c2(cL。)的最大值.

例11、设a,Z?,c,d20且〃+Z?+c+d=4,求

bcd

•/=F74C4+4+^4+4+«4+4

的最小值.

例12、给定正整数〃之2,设玉,马,…,X”是正实数，证明：

+甘+...+苟；>1

例13、已知a,/?,c>0且a+〃+c=l,求证：

abc、9

h+c2c+a2a+h24

例14、对于二个一正整数〃力,「，若，瓦启拓为二个连续的正整数•则

a2+Z?2+c2的最小值为.