《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案教学目标教学目标：1.了解二倍角的正弦、余弦、正切公式，会运用公式进行简单的三角恒等变换；2.经历二倍角公式推导过程，感悟从一般到特殊的研究方法，体会转化和换元的思想；3.发展逻辑推理和数学运算的核心素养，培养数学整体观.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式教学难点：二倍角公式在三角恒等变换中的应用教学过程时间教学环节主要师生活动累计4分钟累计12分钟累计19分钟累计21分钟复习引入探究新知巩固应用课堂小结上节课我们由两角差的余弦公式，得到了两角和与差的正弦、余弦、正切共六个公式，我们一起来回顾一下上一节课具体的探究思路：我们当时已经得到的是两角差的余弦公式：，首先我们将两角差的余弦公式中替换为，得到了两角和的余弦公式：，然后我们为了改变三角函数名，借助诱导公式得到了两角和与差的正弦公式：；，最后利用同角关系将正切转化为正余弦，得到了两角和与差的正切公式：；.以及上一节课我们也说到，正切的公式使用起来有相应角范围的限制，也就是正切值都要存在。例如这个两角和的正切公式，要求均不等于，并且也不等于，如果碰到相应的情况例如已知去求，就不能用两角差的正切公式了，只能通过同角关系转化回正余弦求解了。那回顾完之前的内容，今天我们在这六个和角、差角公式的基础上，来探究倍角公式。（一）探究二倍角的正弦、余弦、正切公式我们先来看二倍角的正弦公式【问题1.1】我们需要求的和已知的公式形式上有什么联系吗？我们发现它们都是角的正弦，只是角的形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度都有内在联系，因此基于差异可以建立联系，进行转化。【问题1.2】你能类比上一节课的探究过程，利用公式推导出的公式吗？我们比较和，注意到，由于两角和的正弦公式对任意的都成立，那么把其中的换为后，也一定成立。则由公式，有刚刚我们的推导过程是借助来完成的，如果用来完成推导方法也基本相同，把公式中的替换为即可。这样我们就得到了二倍角的正弦公式。这个推导过程实质上是一个从一般到特殊的推导过程，后续这样的方法在三角恒等变换中非常有用。【问题1.3】你能仿照刚刚的推导过程，利用得到的公式吗？和刚才一样，我们将，公式中的换为后，得到：【问题1.4】如果要求二倍角的余弦公式中仅含的正弦或者余弦，那么还有其它的表示形式吗？我们可以借助同角关系进行形式上的等价转化：【过渡】以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了的三角函数与的三角函数之间的关系.特别注明：上面说的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，不能省略.【问题1.5】由二倍角的余弦公式我们看到，已知或者可以求出的值，那么已知时，是否能够反向求出和呢？我们可以通过方程的的角度看二倍角的余弦公式，有下面的等价形式：即即与的符号由角的范围确定.刚刚这两个公式的变形我们从左向右看，角之间是倍角关系，从结构上是和或者差转化到积，从次数上是从一次变成了二次。这样无论从右向左，还是从左向右它能实现角的改变，式子结构的改变，我们举两个例子：第一个，我们可以写成，这样实现了升高代数式的次数，同时降低相应角的大小；第二个，大家会求吗？之前大家可以通过两角差的正弦公式把写成去求解；那现在呢，可以直接用倍角公式写成，这样就通过三角变换转化为了我们熟知的三角函数值，很容易就可以得到答案。这也是一个反向使用公式的过程。所以从上面的例子我们看到，倍角公式的正向使用与反向使用需要依据求解内容和所给条件灵活判断。【问题2.1】从和（差）角、倍角公式的推导过程可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联系，你能归纳总结一下它们之间的联系吗？（ppt逐步呈现）我们发现两角差的三个公式通过将替换为，可以得到对应的两角和的三个公式，两角和的正弦公式与两角差的余弦公式，两角差的正弦公式与两角和的余弦公式，可以通过诱导公式进行等价转化，在上述的两个过程中体现了转化和换元的思想；诱导公式可以看作两角和、差公式的特殊形式，两角和差公式可以看作是诱导公式更一般的形式；可以将和角公式中的替换为，或者将差角公式中的替换为，得到对应的倍角公式，这个过程中体现了从一般到特殊的数学思想；所有的正切公式都可以利用相同角的正余弦公式通过同角关系得到；二倍角的余弦公式的三种等价表达形式可以通过同角关系互相推导.（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式的初步应用【例1】已知，，求，，的值.分析：我们观察到是的二倍角，因此可以考虑用倍角公式求解接下来我们设计一下解决问题的路径：根据二倍角的正弦公式，，因此只需通过同角关系由求出即可，的符号通过角的范围确定；，可以直接求出值；既可以通过同角关系计算；也可用求出，再利用二倍角的正切公式求解.解：由，得，又，所以.于是（或，）【问题3.1】通过这道例题，你对倍角公式中的“倍”有更深入的理解吗？我们从这道例题中发现，“倍”是描述两个数量之间关系的，是的二倍，是的二倍，是的二倍，这里蕴含着换元思想.【例2】在△中，，，求的值.分析：这道题要求的值，我们可以拆分为求解和的值，再用正切两角和的公式就可以求出答案。和相比我们已知的和虽然三角函数名不尽相同，但角是二倍的关系，所以我们可以考虑用倍角公式求解，涉及到符号的确定借助三角形内角在的范围即可.解法1：在△中，由，，得，所以，，又，所以于是【问题3.2】刚刚我们从已知的和，求出了和，最后得到了题目中要求的。那请大家思考，这道题目还有其他能够解决问题的方法吗？我们可以把要求的看成，也就是角与角和的二倍角的正切值，那么可以设计出下面的路径：由和统一三角函数名得到和，然后利用两角和的正切公式得到，最后通过二倍角公式得到所需的.具体过程我们一起来看：解法2：在△中，由，，得，所以，又，所以，所以我们看到，解法2相比解法1少了一个运算步骤，但它们都是对倍角、和角关系的联合运用，只是对角，与角之间关系的看法不同，或者说计算顺序不同，本质上没有区别。同时做完这道题后我们也发现，题干中的“在△中”隐含了的条件，这类在三角形中隐含的条件值得同学们进行总结.【小结】这节课我们从之前得到的六个两角和与差的正弦、余弦、正切公式入手，通过转化与换元的方法得到了二倍角的正弦、余弦、正切公式，借助同角关系发现了余弦二倍角公式的三个等价形式，并且探究了这节课与之前共11个三角变换的公式之间的逻辑联系，然后应用倍角公式解决了几个实际的问题。在解决问题的过程中我们发现：倍角公式的“倍”代表了一种数量关系，并不只是与，只要符合这种角关系的问题都可以考虑应用倍角公式；在三角函数名与角之间，我们应当先关注所求角与已知角之间的关系，并以此来设计解决问题的方法，三角函数名可以通过同角关系进行转化；倍角公式相比两角和差的公式形式上更简洁，多样，并且由于“倍”的相对性决定了它既是倍角公式，也是半角公式，是一个桥梁纽带的作用，所以在解决问题过程中两角和与差的公式与二倍角公式不是割裂开的，连同公式正向与反向使用都应当依据所需进行选取，灵活应用解决问题。至于如何分析对比变换目标，如何选择公式，如何根据问题条件进行变形，就留到下一节课再和大家探讨。课后篇巩固提升合格考达标练1.cosπ12-A.-32 B.-12 C.12 答案D解析原式=cos2π12-sin2π12=cosπ6=2.若tanα=3,则sin2αcosA.2 B.3 C.4 D.6答案D解析sin2αcos2α=2sinαcosαco3.(2021湖南永州高一期末)已知cosθ-π2=45,-π2<θ<π2,则sin2θ的值等于(A.-2425 B.2425 C.-1225 答案B解析因为cosθ-π2=sinθ=45,-π2<θ<π所以cosθ=1-则sin2θ=2sinθcosθ=2×45×354.(2021天津高一期末)已知sin(π-α)=24,则cos2α=()A.78 B.-78 C.34 D答案C解析∵sin(π-α)=24=sinα∴cos2α=1-2sin2α=1-2×216=345.若sinα+cosαsinα-A.-34 B.34 C.-43 答案B解析等式sinα+cosαsinα-cosα=12左边分子、分母同时除以cosα(显然cosα∴tan2α=2tanα6.(2021上海虹口高一期末)已知α∈(0,π),且有1-2sin2α=cos2α,则cosα=.

答案5解析由1-2sin2α=cos2α,得1-cos2α=2sin2α,即2sin2α=4sinαcosα.又α∈(0,π),所以sinα≠0,所以sinα=2cosα>0.由sin2α+cos2α=(2cosα)2+cos2α=5cos2α=1,解得cosα=557.化简:2sin2α1+cos2α·答案tan2α解析原式=2sin2α2cos2α·8.求下列各式的值:(1)2cos(2)23tan15°+tan215°;(3)sin10°sin30°sin50°sin70°.解(1)原式=cos2=cos2=cos2=cos2αcos2α(2)原式=3tan30°(1-tan215°)+tan215°=3×33(1-tan215°)+tan215°(3)(方法一)sin10°sin30°sin50°sin70°=12cos20°cos40°cos=2sin20=sin40°(方法二)令x=sin10°sin50°sin70°,y=cos10°cos50°cos70°.则xy=sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°=12sin20°·12sin100°·12=18sin20°sin80°sin40°=18cos10°cos50°cos=18y∵y≠0,∴x=18从而有sin10°sin30°sin50°sin70°=116等级考提升练9.(2021甘肃天水高一期末)已知tanθ2=23,则A.23 B.-23 C.32 D答案A解析∵tanθ2∴1=2sinθ2(sinθ2+cos10.若tanα+π4=-3,则cos2α+2sin2α=A.95 B.C.-35 D.-答案B解析∵tanα+π∴tanα=2,∴cos2α+2sin2α=cos2α-si11.4sin80°-cos10°sin10°=A.3 B.-3 C.2 D.22-3答案B解析4sin80°-cos10=2sin20=2=-3.12.若α∈0,π2,且cos2α+cosπ2+2α=A.12 B.1C.13 D.13或答案C解析cos2α+cosπ2+2α=cos2α-sin2α=cos2α-2sinαcosα=cos2α-2sinαcosαsin2α+cos2α=1-2tanαtan2α+1=310,整理得3tan2α+20tanα13.(多选题)下列各式的值为12的是(A.tan22.5°1-tanC.33cos2π12−33sin2答案ACD解析A符合,原式=12×2tan22.5°1-tan222.5°=12tan45°=12;B不符合,原式=sin15°·cos15°=12sin30°=114.(多选题)(2020山东潍坊高三检测)已知函数f(x)=|sinx||cosx|,则下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=π2B.f(x)的周期为πC.(π,0)是f(x)的一个对称中心D.f(x)在区间π4答案AB解析因为函数f(x)=|sinx||cosx|=|sinxcosx|=12|sin2x|画出函数图象,如图所示,由图可知,f(x)的对称轴是x=kπ4,k∈所以x=π2是f(x)图象的一条对称轴,A正确f(x)的最小正周期是π2,所以B正确f(x)是偶函数,没有对称中心,C错误;由图可知,f(x)=12|sin2x|在区间π4,π15.若cos(75°+α)=13,则sin(60°+2α)=.答案7解析依题意,cos(75°+α)=13,则cos(150°+2α)=2cos2(α+75°)-1=2×132-1=-79,sin(60°+2α)=-cos(90°+60°+2α)=-cos(150°+2α16.化简:2+2+2cosα(2π<α<3π)=答案2sinα解析∵2π<α<3π,∴π<α2∴2+=2-2cosα217.(2021安徽合肥高一检测)求证:1cos2θ-tanθtan2θ=证明1cos2θ-tanθtan2θ=cosθ-2si18.已知sinα+cosα=355,α∈0,π4,sinβ(1)求sin2α和tan2α的值;(2)求cos(α+2β)的值.解(1)由题意得(sinα+cosα)2=95,即1+sin2α=9∴sin2α=45,又易知2α∈0∴cos2α=1-∴tan2α=sin2α(2)∵β∈π4,π2,β-π4∈0,π4,sinβ-∴sin2β-π4=2sinβ又sin2β-π4=-cos2β,∴cos2β又易知2β∈π2,π,∴sin2β又cos2α=1+cos2α∴cosα=255,∴sinα=∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=255×新情境创新练19.如图所示,在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿由点B到点E的方向前进30m至点C处,测得顶角A的仰角为2θ,再沿刚才的