2026届山东省九校高二上数学期末学业水平测试试题含解析

2026届山东省九校高二上数学期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n值是（）A.2 B.3C.4 D.52．设函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.3．已知函数，则的值为（）A. B.0C.1 D.4．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（）A. B.C. D.5．设、是向量，命题“若，则”的逆否命题是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6．为比较甲、乙两地某月时的气温状况，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）.考虑以下结论：①甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；②甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；③甲地该月时的气温的标准差小于乙地该月时的气温的标准差；④甲地该月时的气温的标准差大于乙地该月时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A.①③ B.①④C.②③ D.②④7．已知数列中，，则（）A. B.C. D.8．已知等比数列的前项和为，公比为，则（）A. B.C. D.9．若离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，…，n，且取每一个值的概率相同，若，则n的值为（）A.4 B.6C.9 D.1010．若等差数列，其前n项和为，，，则（）A.10 B.12C.14 D.1611．如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为4的菱形，且，E为AD的中点，，则异面直线PC与BE所成角的余弦值为（）A. B.C. D.12．已知直线过点，且其方向向量，则直线的方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数，则_______14．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上面一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……．设各层球数构成一个数列，其中，，，则______15．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左，右焦点分别为，，过且与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线相交于点（点在第一象限），若，则双曲线的离心率___________.16．若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．其中e为然对数的底数（1）若，求函数的单调区间；（2）若，讨论函数零点个数18．（12分）已知函数f(x)＝ax－2lnx（1）讨论f(x)的单调性；（2）设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围19．（12分）已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，用符号表示不超过x的最大数，当时，求的值.20．（12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，E为PD的中点.（1）证明：PB∥面AEC；（2）设AP＝1，AD＝，三棱锥P－ABD的体积V＝，求点A到平面PBC的距离.21．（12分）已知数列满足，（1）证明是等比数列，（2）求数列的前项和22．（10分）已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出结果.【详解】初始值：，当时，，进入循环；当时，，进入循环；当时，，终止循环，输出的值为3.故选：B2、A【解析】利用导数的几何意义求解即可【详解】由，得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，即，故选：A3、B【解析】求导，代入，求出，进而求出.【详解】，则，即，解得：，故，所以故选：B4、B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可求解.【详解】如图所示建立适当空间直角坐标系，故选：B5、C【解析】利用原命题与逆否命题之间的关系可得结论.【详解】由原命题与逆否命题之间的关系可知，命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.故选：C.6、B【解析】根据茎叶图数据求出平均数及标准差即可【详解】由茎叶图知甲地该月时的平均气温为，标准差为由茎叶图知乙地该月时的平均气温为，标准差为则甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，故①正确，乙平均气温的标准差小于甲的标准差，故④正确，故正确的是①④，故选：B7、D【解析】由数列的递推公式依次去求，直到求出即可.【详解】由，可得，，，故选：D.8、D【解析】利用等比数列的求和公式可求得的值.【详解】由等比数列的求和公式可得，解得.故选：D.9、D【解析】根据分布列即可求出【详解】因为，所以故选：D10、B【解析】由等差数列前项和的性质计算即可.【详解】由等差数列前项和的性质可得成等差数列，，即，得.故选：B.11、B【解析】根据异面直线的定义找出角即为所求，再利用余弦定理解三角形即可得出.【详解】分别取BC，PB的中点F，G，连接DF，FG，DG，如图，因为E为AD的中点，四边形ABCD是菱形，所以，所以（其补角）是异面直线PC与BE所成的角因为底面ABCD是边长为4菱形，且，，由余弦定理可知，所以，所以，所以异面直线PC与BE所成角的余弦值为，故选：B12、D【解析】根据题意和直线的点方向式方程即可得出结果.【详解】因为直线过点，且方向向量为，由直线的点方向式方程，可得直线的方程为：，整理，得.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】先对函数求导，然后令可求出的值【详解】因为，所以，则，解得故答案为：14、15【解析】由分析可知每次小球数量刚好是等差数列的求和，最后直接公式即可算出答案.【详解】由题意可知,，所以，故答案为：1515、2【解析】设切点，根据，可得，在中，利用余弦定理构造齐次式，从而可得出答案.【详解】解：设切点，由，∴，∵为中点，则为中位线，∴，，中，，，，∴.故答案为：2.16、【解析】设圆锥的高为，可得出圆锥的母线长为，以及圆锥的底面半径为，利用圆锥的侧面积公式求出的值，再利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的高为，由于圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，则轴截面三角形的底角为，故该圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥的侧面积为，可得，因此，该圆锥的体积为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递减区间为，单调递增区间为和；（2）当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点.【解析】(1)求导，令导数大于零求增区间，令导数小于零求减区间；(2)求导数，分、、a＞2讨论函数f(x)单调性和零点即可.【小问1详解】当时，，易知定义域为R，，当时，；当或时，故的单调递减区间为，单调递增区间为和；【小问2详解】当时，x正0负0正单增极大值单减极小值单增当时，恒成立，∴；当时，①当时，，∴无零点；②当时，，∴有1个零点；③当时，，又当时，单调递增，，∴有2个零点；综上所述：当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点【点睛】结论点睛：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用18、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）根据实数a的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；（2）利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.【小问1详解】当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立；当a＞0时，令得；令得；综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】由题意知ax－2lnx≤x－2在(0，＋∞)上有解则ax≤x－2＋2lnx，令，xg'(x)＋0－g(x)↗极大值↘所以，因此有所以a的取值范围为：【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键.19、（1）（2）9【解析】(1)首先根据已知条件分别求出的首项和公差，然后利用等差数列的通项公式求解即可；(2)首先利用等差数列求和公式求出，然后利用裂项相消法和分组求和法求出，进而可求出的通项公式，最后利用等差数列求和公式求解即可.【小问1详解】不妨设等差数列的公差为，故，，解得，，从而，即的通项公式为.【小问2详解】由题意可知，，所以，故，因为当时，；当时，，所以，由可知，，即，解得，即值为9.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)设BD交AC于点O，连结EO，根据三角形中位线证明BP∥EO即可；(2)根据三棱锥P－ABD的体积求出AB长度，过A作AH⊥BP于H，可证AH即为要求的距离，根据直角三角形等面积法即可求AH长度.【小问1详解】设BD交AC于点O，连结EO.∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点.又E为PD的中点，∴EO∥PB，又EO平面AEC，PB平面AEC，∴PB∥平面AEC.【小问2详解】，又V＝，可得AB＝2.在面PAB内过点A作交于.由题设易知平面，∴故平面，由等面积法得：，∴点A到平面的距离为.21、（1）见解析；（2）【解析】（1）利用定义法证明是一个与n无关的非零常数，从而得出结论；（2）由（1）求出，利用分组求和法求【详解】（1）由得，所以，所以是首项为，公比为的等比数列