概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题

一、填空题

1.设A.B为随机事件,且P(A)=0.5,P(B)=O.6,P(B(A)=O.8,则P(A+B)=_0.7

2.的两个无偏估计量，若，则称比有效。

3.设A.B为随机事件，且P(A)=0.4,P(B)=O.3,P(AUB)=0.6,则P()=_0.3_o

4.设随机变量X服从［0,2］上的均匀分布，Y=2X+1,则D(Y)=4/3。

5.设随机变量X的概率密度是：

,且，则=0.6o

6.已知随机向量(X,Y)的联合密度函数，则E(Y)=3/4o

7.若随机变量X〜N(1,4),Y〜N(2,9),且X与Y相互独立。设Z=X-Y+3,则Z〜N(2,

13)o

8.设A,B为随机事件，且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则0.6。

9.设随机变量X~N(1,4),已知①(0.5)=0.6915,①(1.5)=0.9332,则0.6247。

10.随机变量X的概率密度函数,则E(X)=1o

1L已知随机向量(X,Y)的联合密度函数，则E(X)=4/3o

12.设A,B为随机事件，且P(A)=0.6,P(AB)=P(),则P(B)=0.4。

13.没随机变量，其密度函数，则二2o

14.没随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令，则DY=1。

15.随机变量X与Y相互独立，且D(X)=4,D(Y)=2,则D：3X-2Y)=44。

16.三个人独立地向某一目标遂行射击，已知各人能击中的概率分别为，则目标能被击中的概

率是3/5o

那变量

-104

<4=0

K<W=

良机而

分布

田望EX二

X\Y)的

分，列夕

-21/91/32/9

11/18ab

若X、Y相互独立，则a=1/6b=1/9o

20.没随机变量X服从［1,5］上的均匀分布，则1/2o

21.没随机变量X〜N(1,4),则=0.3753。(已知((0.5)=0.6915,((1.5)=0.9332)

通机变出

,4),Y

5),f

互独立

:X+Y—

〜N

9)£

-1012

£机变得

数为

布，且

=6

8机变现

率分而

X

p0.10.30.20.4

则PZXZ211=0.7。

25.设随机变量X的概率密度函数，则=

26.某人投篮，每次命中率为0.7,现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是

27.设随机变量X的密度函数，且，则c=-2o

28.随机变量，则N（0,1）o

29.没随机变量X〜N（2,9）,且P{X（a}=P{X（a},贝Ua=2。

30.祢统计量的无偏估计量，如果=0

二、选择题

1.设随机事件与互不相容，且，则（D）。

A.B.C.D.

2.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（A）。

A.B.C.D.

3.设随机变量，满足，是的分布函数，则对任意实数有（B）0

A.B.C.D.

4.没，为随机事件，，，则必有（A）0

A.B.C.D.

注：答案应该为A,因B不严谨，A和B可以相等。

5.设是来自总体的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是（A）o

A.B.C.D.

6.、己知A.B.C为三个随机事件，则A.B.C不都发生的事件为（A）。

A.B.C.A+B+CD.ABC

7.是二维随机向量，与不等价的是（D）

A.B.C.D.和相互独立

8.没总体，其中未知，为来自总体的样本，样本均值为，样本方差为则下列各

式中不是统计量的是（C）。

A.B.C.D.

9.若随机事件与相互独立，则=（B）。

A.B.C.D.

10.若A与B对立事件，则下列错误的为（A）。

A.B.C.D.

11.设随机事件A.B互不相容，，则=（C

A.B.C.D.

12.设是一组样本观测值，则其标准差是（B）。

A.B.C.D.

13.设随机变量X〜N(u,9),Y〜N(u,25),记，则(B)。

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl与p2的关系无法确定

14.若事件两两独立，则下列结论成立的是(B)。

A.相互独立B.两两独立

C.D.相互独立

15.设随机变量X(N(4,9),则()

(A)E(X)=2(B)D(X)=3(C)"X)=9(D)以上都不是

三、计算题

1.已知连续型随机变量X的概率密度为

\a4x,0<x<l

f(x)=

[0,其它

求(1)a；(2)X的分布函数尸(x)；(3)P(4>0.25)。

解：

(2)当耐，F(x)=J'/(r)Jz=O

当0Kxv]时，F(x)=J'fuyit==x3/2

当x21时，F(x)=f'fWt=1

J-CO

0,x<0

故F(x)=0<A<l

1,x>\

(3)P(X>l/4)=1—F(l/4)=7/8

2.已知连续型随机变量X的分布函数为

♦

F(A)=<A+Be2,x>0

[o,其它

求(1)A,B；(2)密度函数f(x)；(3)P(1<X<2)。

解：

(2)

xe^2r>0

f(x)=F\x)=\，

0,A<0

(3)P(1<X<2)邛⑵一F⑴二

3.设随机向量(X,Y)联合密度为

一加化™x>0,v>0;

0,其它.

(1)求系数4;

(2)判断X,Y是否独立，并说明理由;

(3)求P{0WXW2,0WYW1}。

解：(1)由1=

可得力=6。

(2)因(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度分别为

fX(x)=和fY(y)=,

则行于任意的均成立f(x,y)=fX(x)*fY(y),所以X与Y独立。

(3)P{0WXW2,OWYW1}=

=(一《T沁)=(]_ey)(]-"3).

4.某车间生产滚珠，其直径X-N(,0.05),从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下(单

位：亳米)：

14.615.114.914.815.215.114.815.014.7

若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径的置信度为0.95的置信区间。

(已知：/5(9)=2.262,%。式8)=2.306,Z0.025=1.960)

解：由于滚珠的直径X服从正态分布，所以

所以的置信区间为：经计算

4的置信度为0.95的置信区间为

即(14.765,15.057)

5.工厂生产一种零件,其口径X(单位:毫米)服从正态分布，现从某日生产的零件中随机抽出9

个，分别测得其口径如下：

14.614.715.114.914.815.015.115.214.7

已知零件口径X的标准差，求的置信度为0.95的置信区间。

(已知：%05(9)=2.262,八()5(8)=2.306,02s=1.960)

解：由于零件的口径服从正态分布，所以

所以的置信区间为：经计算

JU的置信度为0.95的置信区间为(14.9T.96x吟,14.9+1.96x吟)即(14.802,14.998)

6.没总体X服从参数为的指数分布，是一组样本值，求参数的最大似然估计。

解：

7.己知，求。

已知，求。

解：

P(A|0一1/2->总妆一1P(3)一2P(A3)-2」

P(B)2126

P(A\jB)=P(A)+P(B)-P(AB)

—1+1.——1=1—

46123

8.设

总体

的

概率0\23

分布

为

X

Pe126>(1-6>)0~\-20

其中是未知参数，利用总体的如下样本值：，求的矩估计值和极大似然估

计值.

(1)EX=Ox”1x26(1-6)+2x82+3x(1-29)=3-46,

令EX=》，可得。的矩估计量为。=!(3-又)，

4

根据给定的样本观察值计算，因此的矩估计值；-------4分

(2)对于给定的样本值似然函数为〃8)=2"(1-29)3("。)

-------6分

InL(0