概率论与数理统计期末考试试卷答案

《概率论与数理统计》试卷A

（考试时间:90分钟；考试形式：闭卷）

（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效）

一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）

1、A,B为二事件，则口□

A.QB.DC.DD.D

2.设A,B,（:表示三个事件，则□表示口

A.A,B,C中有一个发生

B.A,B,C中恰有两个发生

C.A,B,C中不多于一个发生D、A,B,C都不发生

3、A、B为两事件，若口,□,□,

则（）成立

A.口B.D

COD.D

4、设A,B为任二事件，则口

A.QB、□

C.OD.D

5、设事件A与B相互独立，则下列说法错误的是口

A.屿□独立B、□与□独立

C.DD.□与□一定与斥

其分布因数为口，贝U□口

6.设离散型随机变量□的分布列为012

X

A.OB.0.3C.0.8D.1

P030.50.2

7、设离散型随机变量□的密度函数为口，则常数□口

A.口B.口C.4D.5

8、设口~口，密度函数口则口的最大值是口

A.OB.lCDD.D

9、设随机变量口可取无穷多个值0,1,2，…,其概率分布为口，则下式成立的是口

A.DB、□

CDD、□

10、设X服从二项分布B(n,p),则有()

A.口B.口

C.DD.口

11、独立随机变量口，若X~N(l,4),Y~N(3,16),下式中不成立的是口

12.设随机变量□的分布列为：A.口B、口(：、□□、口123

则常数c=()

X

A.OB.lC.DD.D

P1/2c1/4

13.设口~口，又常数c满足□，则c等于口

A.lB.OCDD.-1

14.已知□□厕□:口

A.9B.6C.30D.36

15.当口服从()分布时，口。

A指数B泊松C.正态D均匀

16、下列结论中,口不是随机变量□与口不相关的充要条件。

A.QB、□

C口D.口与□相互独立

17、设口~□旦口，贝悟口

A口B、□

CDD.D

18、设□分别是二维随机变量口的联合密度函数及边缘密度函数，则匚是屿□独立的充要条件。

A.DB、□

C.□与口不相关D.对口有口

19、设是二维离散型随机变量，则□与□独立的充要条件是口

A.DB、□C、屿□不相关

D.对口的任何可能取值口口

20、设□的联合密度为口

若:］为分布函数，则口口

A.OB、口C、口D、1

1、二、计算题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）

若事件A与B相互独立,口口。求：口和口

设随机变量口，且口。求口

6.设□的联合密度为口,

求（1）边际密度函数口；（2）口；（3）□与□是否独立

1、三、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

设口，口是来自正态总体□的样本，下列

三个估计量是不是参数口的无偏估计量，若是无偏

估计量试判断哪一个较优？

2.设口口。为口的一组观察值，求□的极大似然估计。

概率论与数理统计试卷答案及评分标准

、

单项

选择

题（本

大题

共20

d题12345678910

每小

题2

分，

共40

分）

题号

答案BDCDDDDCAD

题号11121314151617181920

答案CCBBBDCDDB

二、计算题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）

解：与B相互独立

•.P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)....(1分)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)....(1分)

=0.6+0.6-().8?

=0.92....(1分)

P\A(A+B)]

又P(^A+8)=（1分）

P(A+B)

尸(A6)_P(A)尸(6)

（2分）

P(A+B)~P(A+B)

=0.13....(1分)

解:□....(5分)

=1-0(1.65)=1-0.95=0.05....(2分)

3.解：由已知有口（3分）

则：口（2分）

（2分）

4解:（1）由口,□

有:口

解之有：□,□....（3分）

(2)P(-1<X<1)=F(1)-F(-I)=1………(2分)

⑶/⑺=4幻=小……小分）

5解Q)

X123

(3分)

P2/32/91/9

322117

(2)EX=^x,.p,=lx-+2x-+3x-=^………(2分)

/=|J，，，

G2122c22,2123

⑶••・EX:/XjPj=1x—i-2x—F3x—=—

tr3999

ADX=EX2-(EX)2=-)2=—..........(2分)

9981

6.解：(1)□

2x,0<x<1

,•几")=,

0,其它

同理:□.....(3分)

1

⑵£(f=jxpi{x}dx=^2xdx=^

同理:口（2分）

⑶・••p(x,y)=p：(x)/%()，)

「石与〃独立（2分）

1、三、应用题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21

2、解：•.%=%乂+/）=〃

JJ

同理：口

m4为参数〃的无偏估计量………（3分）

又.•。M=。（"+（%）=驷I+!叽+

JJ777

同理:口,□

且＜。从＜。〃2

・•・〃3较优………（6分）

解:□的似然函数为：

I:.

3，和…,天，0=立犷汽………（3分）

1=（uU

I〃

Ln(L)=-nInU--g七

dLn(L)n1-A

-----=——+r>X=0

d0----0e1^'

解之有口（6分）

一、供30分，每题5分）

L设事件A与B相互独立,□,

求尸（A豆）.

解：因为事件A与B相互独立，所以

P(AB)=P(A)P(B)

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B).........2分

由口，得口……2分

尸(A方)=P(A)P(豆)=0.2........1分

2.三人独立地去破译一份密码，他们译出的概率分别为□.求能将

此密码译出的概率.

解:口•……5分

求□的分布律，并计算□.

解：y125

4.设随机变量口服从参数为□的泊松分布，且已知□求□.

解：口，…….2分

E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)2分

=D(X)+[E(X)Y-3E(X)+2=1........

所以口,得口...........1分

5.为检杳某食用动物含某种重金属的水平，假设重金属的水平服从正态分

布□均未知，现抽取容量为25的一个样本，测得样本均值为186,样本标准差为10,

求□的置信度为0・95的置信区间.

解：总体均值m的置信度为0・95的置信区间为

(X土^=。.025(〃-1))...........2分

即(186±—x2.0639)........2分

5

所求置信区间为(181.8722,190.1278)…•…1分

6.某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖重量□当机器正常时，其均值口

公斤，标准差□公斤.某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的糖9

袋，称得平均重量为0.511公斤，问这天包装机工作是否正常？(取显著水平口)

解：由题意设口......1分

拒绝域为|景赛22°.。25............1分

由于口，口............2分

二、(共18分，每题6分)

1.设随机变量□和口相互独立，概率密度分别为口口

求：(1)E(2X-3F);(2)D(2X-3Y);(3)pXY.

解：(1)口.…2分

(2)D(2X-3y)=4D(A,)+9D(y)=4xi+9xi=2;…・2分

49

(3)因为量□和□相互独立，所以口.....2分

2.已知随机变量口，口，

求:□与□的协方差.

解：Cov(U,V)=Cov(3X+2V,X-3Y)

朱

T=3D(X)-9CoMX,y)+2CoWX,y)-6D(y)….3分

：=30(X)-IPXY<D(xj<D(yj-6D(y)

=3x25-7x0.4x5x6-6x36=-225・・・・3分

13.设□是来自正态总体□的一个样本，且已知随机变量口服从自由

g度为2的□分布，

是求〃,力的值.

翁解：因为□且相互独立,□.

W所以,口,□,•…2分

⑥,,且相互独立•….2分

阊由□分布的定义，得□,

S.•所以，口............2分

E所以，□・•…2分

所以，〃=乙」.…・2分

m49

三、(共18分，每题6分)

1.设总体□现随机抽取容量为36的一个样本，求样本均值□落入(50.8,53.8)之间

的概率.

解：口，......2分

P{50.8<X<53.8}=①(53.8-52)-0(50.8-52)

=0(1.8)-<D(-1.2)=0.9641-14-0.8849....3分

=0.849.............1分

2.设随机变量□的分布函数为口

求：(1)A,B的值；(2)口.

解：(1)由连续型随机变量分布函数的连续性，得

=

AB.一▲—_八

口解得A=B=0.5.............3分

{B=lt-A4

(2)P{X>-}=1-F(-)=1-0.5=0.5.............3分

33

3.箱子中有一号袋1个，二号袋2个.一号袋中装1个红球,2个黄

球，二号袋中装2个红球,1个黄球，今从箱子中任取一袋，从中任

取一球，结果为红球，求这个红球是从一号袋中取得的概率.

解：设□二｛从箱子中取到i号袋｝,□

区8=｛抽出的是红球｝

m

P(B)=P(4)P(81A)+P(A2)P(BIA2)

赧

11225

=-x—4-—x—=—

33339

p(&⑻二普坐皿=1

DIP

料£P(Ai)P(B\Ai)

i=\

四、(8分)设随机变量X具有密度函数f(x)=

求(1)常数4;(2)X的分布函数.

亶

(1)因为它/(x)dx=l

所以A^xdx=l得A=2

1

0,x<0,

i

(2)尸(x)=«0<x<1,

8

4

堤

黑

II虫P

恻

塞

五、（8分）某箱装有100件产品，其中一、二.三等品分别为

60.30、10件，现从中随机抽取一件，记

1,若抽郅等品，

求占，X2的联合分布律.

0,没有抽到等品.

解：设□分别表示抽到一.二、三等品,

P(Xj=0,X2=0)=P(A3)=0.1,P(X[=l,X2=0)=P(A])=0.6

P(Xx=0,X2=1)=P(A2)=03,P(X[=1,/=1)=0

...........8分（每个2分）

六、（10分）设随机变量X和y的联合概率密度为

15X2J,0<X<J<1,

f(x,y)=

其它

（i）求边缘概率密度;（2）判断随机变量x和y是否独立.

解：(1)口...........1分

_0<X<1,

’0,其它............2分