【初中 数学】等腰三角形课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.2等腰三角形

1.2等腰三角形第1课时

等腰三角形和等边三角形的性质情境导入知识讲解随堂小测课堂小结学习目标1.理解掌握等腰三角形的性质定理；（重点）2.理解掌握等边三角形的性质定理；（重点）3.能够运用等腰三角形、等边三角形的性质定理解决问题（难点）（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？回忆一下.议一议定理：等腰三角形的两底角相等.（简述为：等边对等角）（2）你能用已有的公理和定理证明这个结论吗？适用条件：必须在同一个三角形中.情境导入定理：等腰三角形的两底角相等.（简述为：等边对等角）已知：如下图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABC证明：取BC的中点D，连接AD.D∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.证法1知识讲解知识点1等腰三角形的性质定理及推论

已知：如下图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABC证明：在△ABC和△ACB中，∵AB=AC，∠A=∠A，AC=AB，∴△ABC≌△ACB（SAS）.∴∠B=∠C

（全等三角形的对应角相等）.证法2你还有其他证明方法吗？已知：如下图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABC证明：作∠A的角平分线，交BC于点D.在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，∠BAD

=∠CAD，AD=AD,∴△ABD≌△ACD

（SAS）.∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）证法3你还有其他证明方法吗？D想一想在左图中，线段AD除是底边上的中线外还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？ABCD由△ABC≌△ACB，可知∵∠BAD

=∠CAD，∴AD是等腰三角形顶角的平分线；∵∠BDA

=∠CDA，∴∠BDA

=∠CDA=90°，AD是等腰三角形底边上的高线.推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一）总结归纳等腰三角形的性质1.等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一）知识点2等边三角形的性质定理

等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.回忆一下，怎样的三角形叫做等边三角形？等边三角形与等腰三角形有什么关系呢，它又有哪些性质呢？等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？想一想定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.这个定理是否正确呢？试着用学过的公理或定理证明一下吧.证明：等边三角形三个内角都相等，并且每个角都等于60°.已知：如下图，在△ABC中，AB=BC=AC.求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）.

又∵AC=BC，∴∠A=∠B（等边对等角）.∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）.∴∠A=∠B=∠C=60°.ABC知识拓展

等边三角形是特殊的等腰三角形，把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？（3）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边高、中线、对应的角平分线所在的直线.（1）等边三角形的三条边都相等，是一种特殊的等腰三角形.所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质.（2）等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.总结归纳等边三角形的性质（1）定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.（2）等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.（3）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边高、中线、对应的角平分线所在的直线.1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(

)A．65°或50°

B．80°或40°C．65°或80°

D．50°或80°A随堂小测2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，下列说法错误的是()A.BC边上的高和中线互相重合B.AB，AC边上的中线相等C.在△ABC中，顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等D.AB，BC边上的高相等D3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为

（）A.25° B.60°

C.85° D.95°D4.如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为()A．(1，1)B．(，1)C．(，)D．(1，)D5.等腰三角形有一个角是96°，则另两个角分别是____________.42°、42°6.在△ABC中，AB＝AC.（1）若∠A＝40°，则∠C等于多少度？（2）若∠B＝72°，则∠A等于多少度？ABC解：（1）∵∠A=40°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°.∵AB＝AC，∴∠B=∠C=140°÷2=70°.（2）∵AB＝AC，∴∠B=∠C=72°.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-72°-72°=36°.7.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.解：如图，在等边三角形ABC中，中线BD，CE相交与点F，ABCDEF∴CE⊥AB，BD平分∠ABC.∴∠CEB=90°，∠ABD=∠ABC=×60°=30°.在△EFB中，∠EFB=180°-∠CEB-∠ABD=180°-90°-30°=60°.∴等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°.12128.如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC＝BC＝CD.（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BAD的度数.ABCD（1）证明：∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠ACD=90°.∵AC

=AC，BC=DC，∴△ACB≌△ACD（SAS）.∴AB=AD.∴△ABD是等腰三角形.（2）解：∵AC

=BC，∠ACB=90°，∴∠B=∠BAC=45°.同理，∠D=∠DAC=45°.∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+45°=90°.9.如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.解：∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE=AE，∠ADE=∠AED=60°.又∵E是BC的三等分点，∴BD=DE=EC.∴AD=BD，∴∠DBA=∠BAD.又∵∠DBA＋∠BAD=∠ADE＝60°，∴∠BAD=30°.同理可得，∠CAE=30°，∴∠BAC=∠BAD＋∠DAE＋∠CAE=30°+60°+30°=120°.10.如图，AB=AC，BD=DC，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别是F，E.求证:DE=DF.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BFD=∠CED=90°，在△BDF和△CDE中，BD=DC，∠B=∠C，∠BFD=∠CED，∴△BDF≌△CDE（AAS），∴DE=DF.11.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AB上的一点，且DE∥AC.若DE=3，则AB等于多少？解：∵AC

=AC，AD是BC边上的中线，∴∠EAD=∠CAD，∠B=∠C，∵DE∥AC,∴∠EDA=∠CAD，∠EDB=∠C，∴∠EAD=∠EDA，∠EDB=∠B，∴DE=AE，DE=BE，∴AB=2DE=6.12.如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.（1）求证：AD=BE；（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC

=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC

=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.（2）求∠AEB的度数.（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.等腰三角形的性质1.等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一）课堂小结等边三角形的性质（1）定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.（2）等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.（3）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边高、中线、对应的角平分线所在的直线.

1.2等腰三角形第2课时

等腰三角形的判定与反证法情境导入知识讲解随堂小测课堂小结学习目标1.探索等腰三角形判定定理；2.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；（重点）（难点）3.知道反证法的步骤，能对一些比较简单的特殊命题用反证法予以证明.（重点）情境导入1.等腰三角形是怎样定义的？复习回顾有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.2.等腰三角形有哪些性质和推论？（1）等腰三角形是轴对称图形；（2）等腰三角形的两底角相等.（简述为：等边对等角）；（3）等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等.知识讲解知识点1等腰三角形的判定

前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？CBA已知：如右图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.分析：只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.CBA已知：如右图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.证明：作∠BAC的平分线，交BC于点D.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.∵∠B=∠C，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.证法一：DCBA已知：如右图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.证明：过点A作BC的垂线，垂足为点D.∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵∠B=∠C，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.证法二：D定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简述为：等角对等边）∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.例1

已知：如下图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB=∠DAC（全等三角形的对应角相等）.∴AE=DE（等角对等边）.∴△AED是等腰三角形.ABCDE知识点2反证法

小明认为在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？CBA想一想我们来看看小明的想法：CBA如右图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时

AB

与AC要么相等，要么不相等．假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但这与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.你能理解他的推理过程吗？小明的证明方法有什么特点吗？在小明的证法中，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法.例2

用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.

于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°.这与三角形内角和定理矛盾，所以“∠A和∠B是直角”的假设不成立.所以，一个三角形中不能有两个角是直角.总结归纳（1）反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立.用反证法证题的一般步骤（2）归谬:将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推导，导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结论.（3）结论:因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，那么结论一定成立.1.用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设()A．一个三角形中有两个钝角B．一个三角形中至多有一个钝角C．一个三角形中至少有一个钝角D．一个三角形中没有钝角随堂小测A1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是

（）A.∠A＝50°，∠B＝70°B.∠A＝70°，∠B＝40°C.∠A＝30°，∠B＝90°D.∠A＝80°，∠B＝60°当堂检测D2.如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有

()A．3个B．4个C．5个D．6个D3.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设结论不成立，即：∠A___60°，∠B___60°，∠C___60°,则∠A+∠B+∠C＞3×60°=180°.这与_____________________相矛盾.所以______不成立，所求证的结论成立.>>>三角形的内角和定理假设4.如图，△ABC中，AB=6，BC=5，AC=7，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，则△ADE的周长=

.13EDCBAO5.已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于.15证明：假设这五个正数a1，a2，a3，a4，a5中没有一个大于或等于

，即都小于

，那么a1+a2+a3+a4+a5<5×=1，这与已知a1+a2+a3+a4+a5=1矛盾.所以原命题得证.1515156.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.证明：∵DE∥AC，∴∠CAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，∴∠EAD=∠EDA，∵AD⊥BD，∴∠EAD+∠B=90°，∠EDA+∠BDE=90°,∴∠B=∠BDE，∴△BDE是等腰三角形.7.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.解：△BDE是等腰三角形.理由：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD.∴∠EBD=∠EDB.∴EB=ED（等角对等边）.∴△BDE是等腰三角形.课堂小结等腰三角形的判定方法：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简述为：等角对等边）（1）反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立.用反证法证题的一般步骤（2）归谬:将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推导，导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结论.（3）结论:因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，那么结论一定成立.情境导入知识讲解随堂小测当堂检测

1.2等腰三角形第3课时

等边三角形的判定及含30角的直角三角形的性质课堂小结学习目标1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理，并能加以运用；（重点）2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.（难点）情境导入1.等边三角形是怎样定义的？复习回顾三条边相等的三角形,叫做等边三角形.2.等腰三角形有哪些性质和推论？（1）等边三角形的三边都相等；（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；（3）各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等；（4）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的高（中线、对应的角平分线）所在的直线.知识讲解知识点1等边三角形的判定

一个三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.之前我们学过等边三角形的性质：三个内角都相等，并且每个角都等于60°.猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形.猜想是否正确呢，需要通过证明进行判断.已知：如右图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.求证：△ABC是等边三角形.CBA证明：∵∠A=∠B，∠B=∠C

，∴AC=BC，AB=AC（等角对等边）．∴AB=BC=AC．∴△ABC是等边三角形．定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.那一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.等边三角形是一种特殊的等腰三角形，说一说哪些方面比较特殊.等边三角形的角都是60°.猜想：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.这个角可能是顶角，也可能是底角，证明时需要分类讨论.已知：如右图，在△ABC中，AB=AC，且∠A，∠B，∠C中有一个角为60°.求证：△ABC是等边三角形.CBA证明：①当∠A=60°时，∵AB=AC，

∴∠B＝∠C，∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠B＝∠C＝（180。-∠A）=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.12已知：如右图，在△ABC中，AB=AC，且∠A，∠B，∠C中有一个角为60°.求证：△ABC是等边三角形.CBA②当∠B=60°（或∠C=60°）时，∵AB=AC，

∴∠B＝∠C=60°，∴∠A（180。-∠B-∠C）=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.总结归纳等边三角形的判定方法：定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.1.下列条件中,不能得到等边三角形的是 ()A.有两个内角是60°的三角形B.三边都相等的三角形C.有一个角是60°的等腰三角形D.有两个外角相等的等腰三角形随堂小测D2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D，E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB.求证：△ADE为等边三角形.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=30°.∵AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠BAE=∠CAD=90°.∴∠DEA=∠EDA=60°，∴∠DAE=60°,∴△ADE为等边三角形.12知识讲解知识点2含30°角的直角三角形的性质

用两个含30°角的全等三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.做一做由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？等边三角形30°2a2aa结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.还需要证明这个结论.CBA已知：如右图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB.12证明：延长BC至点D，使CD=BC，连接AD．D∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠ACD=90°，∠B=60°.∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）.∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）.∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.∴BC=

BD=

AB.1212定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.通过上面的证明，我们可以得到以下定理.这个定理的条件有两个：（1）是在直角三角形中；（2）一个角是30°.例3

求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半．已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高.求证：CD=AB12CBAD证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°，∴∠ACB=