江苏省南京师范大学附属中学、海安中学、天一中学、海门中学G4联考2026届高三上学期12月测试数学试卷(含解析)

2026届高三年级12月份数学学科测试试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知等差数列公差d不为0，若,,成等比数列，则（）A. B.1 C.2 D.33.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4随机变量，且，则（）A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.35.在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（）A. B. C. D.6.先将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将图象上的所有点向左平移个单位；所得图象的解析式为（）A. B.C. D.7.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，，若，则（）A. B.1 C. D.8.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记的面积为，的面积为.若双曲线的离心率为，，则（）A.3 B.2 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设复数，满足，，则（）A. B. C. D.10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，D是AC的中点，则（）A. B.的面积为C. D.11.我们知道圆锥曲线的名称源于用平面截圆锥面所得的截线.已知圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，过底面的一条直径作一个与底面夹角为的平面，在圆锥侧面上形成的截线记为.则下列说法正确的是（）A.当时，为双曲线的一部分B.当时，存在一种建系方式，使得符合方程C.当时，与底面直径围成的图形面积小于D.当时，的离心率大于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为______.13.已知，，则______.14.一个几何体T垂直投影到平面上，形成图形S，我们就称S为T在平面上的正投影.在长方体中，，，，AD，的中点分别是E，F，G，则平面EFG截长方体所得截面的边数为______；长方体在平面EFG上的正投影的面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15数列中，，，.（1）证明：是等差数列；（2）设，求.16.为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：性别不关注赛事关注赛事合计男性25150175女性5075125合计75225300（1）对照列联表，能否有99.9%的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？（2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望.附：，.0.010.0050.0016.635787910.82817.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，.（1）求证：平面PAD：（2）设点G是重心.（i）求直线GB与平面PBD所成角的正弦值；（ii）设平面，求.18.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在上，为的左、右顶点.（1）求的方程；（2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线分别交轴于两点.（i）试探究：是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（ii）当面积取最大值时，求的值.19.已知、，函数，.（1）求在处切线的斜率；（2）对任意，都有，求的取值范围；（3）若，使得，求证：.数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A解析：可化为，解得，所以，而，所以．故选：A．2.C解析：因，，成等比数列，则，即，化简得，又，则.故选：C.3.B解析：取，此时满足，但不满足；反之，若，则，又，故，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.D解析：因为随机变量，则，且，则，所以.故选：D.5.B解析：由梯形ABCD中，，可得，即，则，因为，，所以，故选：B.6.D解析：将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数；再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是的图象．故选：D.7.A解析：由是奇函数可知：，再令得：，又因为当时，，所以，再令得：，又因为是偶函数，所以，即可得，又因为，所以，再令得：，所以，又因为当时，，所以，即当时，，则，故选：A.8.C解析：因双曲线的离心率为，不妨设，则，则双曲线的方程为，因过点的直线的斜率，则可设其方程为，代入，整理得，由，可得，且，设，则，由题意，，即，代入①，化简得，再代入②，可得，化简计算得，因，则，故，则符合题意.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BC解析：对于A，假设，则，故A错误，对于B，，故B正确，对于C，设，则，又，，故C正确，对于D，假设时，，，，故D错误.故选：BC.10.ACD解析：对于A，已知，所以，也即，所以可得，又，故，故A正确；对于B，，又由正弦定理，，可得，所以，又，所以，所以，也即，又，解得，所以，故B错误；对于C，因为，，所以，又，当且仅当时取等号，故，也即，故C正确；对于D，D是AC中点，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，故D正确．故选：ACD．11.BCD解析：如下图建立空间直角坐标系，截面与圆锥侧面交线上的一点，与轴截面一边交于点，是底面的直径，则，圆锥的高为，其中截面上构建以为原点，分别为轴的直角坐标系，且，令且，是在底面上的投影，则，故，圆锥被平行于底面的平面截得的截面是圆，假设是该圆与截线的一个交点，该圆离底面高为时，截面圆的半径，而点的高度是，则所以，且到圆锥轴的距离为，综上，，整理得，即为在截面上的轨迹方程，A：当时，，即，所以，即两条直线，错；B：当时，，则（应用换元法可化为形式），对；C：当时，，则为椭圆的一部分，当，则，不妨令，当，则（负值舍），则，该椭圆的一部分在半径为1的圆内，故其面积小于，对；D：当时，，则为半椭圆，所以，则离心率为，对.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.解析：圆

的圆心为

，半径为

，与

轴相切时，圆心到

轴的距离等于半径，即

，所以

，圆在

轴上截得的弦长即为圆与直线

相交所得弦的长度，圆心到直线

的距离为

，半径

，弦长为

，因此，这个圆截

轴所得的弦长为

.故答案为：13.解析：因为，所以，又因为，所以，所以，故答案为：14.①.6②.3解析：如图，记直线分别与直线交于点，连接，并延长与直线交于点.则由三点均是平面与平面的公共点，所以三点共线.易知均是平面与平面的公共点.连接，分别交棱于点.连接，则六边形为平面截长方体所得的截面.所以平面截长方体所得截面的边数为.如图以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则.所以.所以.设平面的一个法向量是.则，所以令，则.所以平面的一个法向量.易知平面，平面，平面的法向量分别为.所以平面，平面，平面与平面的夹角的余弦值分别为，，.所以平面，平面，平面在平面上的投影面积分别为.所以长方体在平面上的正投影的面积为.故答案为：①6，②3四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）对任意的，，等式两边同时除以得，即，又，所以是以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）知，所以，因为，则，对任意的，，所以.16.（1）提出假设：关注“苏超”赛事与性别无关，，则假设不成立，所以有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关.（2）关注赛事市民中，男性150人，女性75人，由分层抽样知，抽取男性市民人，女性市民人，的取值为，，，，X012P所以.17.（1）在中，由余弦定理得，即，则，可知，因为平面ABCD，平面ABCD，则，且，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.（2）（ⅰ）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，可得，，，，因为G是的重心，则，可得，，设平面PBD的法向量为，则，令，则，，可得，则，所以直线GB与平面PBD所成角的正弦值为；（ⅱ）设，则，法一：因为平面PBD，且，不共线，所以存在实数m，n，使得，可得，解得，所以；法二：由（ⅰ）知平面PBD的法向量为，则，解得，所以.18.（1）由已知，，解得，所以C的方程为；（2）（i）设过点的直线，由，消去x得，，，，，由（1）知，则直线，，直线，，，所以存在，使得；（ii）法一：，，因为，所以，，因为M在第一象限，所以，令，，令，解得或，在上单调递增，在单调递减，所以当时，取最大值，所以.法二：，，设，，所以，令，，令，解得或，因为，所以，所以存在唯一的，使得，且在上单调递增，在上单调递减，所以当时取最大值，所以.法三：设，则，所以，直线，由，得，，令，，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取最大值，所以.19.（1）对函数求导得，所以，所以在处切线的斜率为.（2）方法一：因为即对成立，所以，令，所以，令得，可得，当时，，，当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，当时，由可得，解得，由可得，解得，所以函数在上递减，在上递增，故的极小值为，故当时，只需，可得，解得，此时.综上：；方法二：由即，先证，令，可得，由可得，由可得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即.下证：当时，，，令，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以成立，当时，，综上.（3）因为，所以，即，方法一：表示原点与直线上一点距离的