2026高考数学一轮复习-4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式【课件】

第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式[课程标准要求]1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义.2.能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并会简单应用.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α-β):

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(2)公式C(α+β):

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(3)公式S(α-β):

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(4)公式S(α+β):

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cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(5)公式T(α-β):tan(α-β)=

;(6)公式T(α+β):tan(α+β)=

.2.辅助角公式1.两角和与差的公式的常用变形(1)sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ.(2)cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ.(3)tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ).2.辅助角公式的常用变形1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cosα-cosβ都不成立.(

)(2)对任意α,β∈R,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ都成立.(

)×√×(4)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tanα+tanβ成立.(

)√(5)公式asinx+bcosx=sin(x+)中

的取值与a,b的值无关.(

)×2.(必修第一册P220练习T3改编)sin24°cos36°+cos24°sin36°的值为(

)√解析:sin24°cos36°+cos24°sin36°=sin(24°+36°)=sin60°=.故选C.3.已知-sinx+cosx=Asin(x-β),其中A>0,β∈(0,2π),则β等于(

)√4.若tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=

.

02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一三角函数公式的直接应用√(2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cos(α+)sinβ,则(

)A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1√解析:(2)由题意得sinαcosβ+sinβcosα+cosαcosβ-sinαsinβ=(cosα-sinα)·sinβ,整理,得sinαcosβ-sinβcosα+cosαcosβ+sinαsinβ=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1.故选C.直接利用两角和与差公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角和与差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反”.(2)注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用.(3)注意配方法、因式分解、整体代换思想的应用.[针对训练](1)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)·cos(10°+α)等于(

)√解析:(1)原式=cos(70°+α)sin(170°-α)+sin(70°+α)·cos(170°-α)=sin(170°-α+70°+α)=sin240°=-sin60°=-.故选B.(2)(2024·海南海口模拟)若tanαtanβ=2,则的值为(

)√考点二三角函数公式的逆用和变形角度一公式活用√解析:(1)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=,①cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=,②①-②可得2sinαsinβ=-,即sinαsinβ=-.故选D.(2)若α+β=,则tanαtanβ-tanα-tanβ的值为

.

三角函数公式活用技巧(1)熟记和差倍角公式的结构特征及符号规律,分析所求值式子与公式的异同,必要时对其进行转化、变形、常数替换等,创造条件逆用公式.(2)tanαtanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一.角度二辅助角公式√[针对训练]√(1)(角度一)(2024·广西梧州模拟)等于(

)√考点三角的变换问题√√(1)三角函数求值中变角的原则①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)常用的拆角、配角技巧[针对训练]√(2)(2024·山东青岛质检)已知tan(α+β)=,tan(α-β)=,则tan(π-2α)等于(

)