2026高考数学一轮复习-5.3平面向量的数量积及平面向量的应用【课件】

第3节平面向量的数量积及平面向量的应用[课程标准要求]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.平面向量数量积的有关概念向量的夹角已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作

则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角数量积的定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=

|a||b|cosθ

规定零向量与任一向量的数量积为

,即0·a=

投影向量

叫做向量a在b上的投影向量,其中

是与b方向相同的单位向量数量积的几何意义a·b=(|a|cos<a,b>)·|b|,故两个非零向量a,b的数量积等于a在b上的投影向量的数量与b的模的乘积00|a|cosθee2.平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ项目几何表示坐标表示模|a|=

|a|=

夹角cosθ=

cosθ=

a⊥b的充要条件(a,b≠0)

|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤

(当且仅当a∥b时,等号成立)|x1x2+y1y2|≤

a·b=0x1x2+y1y2=0|a|·|b|3.平面向量数量积的运算律对于向量a,b,c和实数λ,有交换律a·b=

结合律(λa)·b=

=

分配律(a+b)·c=

b·aλ(a·b)a·(λb)

a·c+b·c向量的数量积不满足消去律.1.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0,且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0,且a,b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.3.设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则√1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)两个向量的夹角的范围是[0,].(

)(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.(

)(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(

)(4)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.(

)××√√3.已知向量a=(2,2),b=(0,-3),则a与b的夹角的余弦值为(

)解析:因为向量a=(2,2),b=(0,-3),√4.已知向量a=(1,1),b=(-2,3),那么|a-2b|等于(

)√解析:因为向量a=(1,1),b=(-2,3),所以a-2b=(5,-5),|a-2b|=.故选B.√02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一平面向量数量积的运算√(2)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则

的取值范围是(

)A.(-2,6) B.(-6,2)C.(-2,4) D.(-4,6)√平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解,数量积a·b=|a|·cos<a,b>·|b|为其中一个向量长度乘另一个向量在其方向上的投影向量的数量.[针对训练](1)a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),则(a+b)·c=

,a·b=

.

解析:(1)因为a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),所以a+b=(4,0),所以(a+b)·c=4×0+0×1=0,a·b=2×2+1×(-1)=3.03-1解析:(2)如图,在等腰△ABE中,易得∠BAE=∠ABE=30°,故BE=2.考点二平面向量数量积的应用角度一平面向量的模[例2](1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|=

.

解析:(1)因为|a+b|=|2a-b|,即(a+b)2=(2a-b)2,则a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,整理得a2-2a·b=0,又因为|a-b|=,即(a-b)2=3,则a2-2a·b+b2=b2=3,所以|b|=.(2)已知向量a,b满足|a|=6,|b|=4,且a与b的夹角为60°,则|a+b|=

,|a-3b|=

.

解析:(2)法一因为|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=6×4×=12,(a+b)2=a2+2a·b+b2=36+24+16=76,(a-3b)2=a2-6a·b+9b2=36-72+144=108,所以|a+b|=,|a-3b|=.法二利用向量加减法的平行四边形法则和三角形法则画出两向量,如图所示.结合图形易求出|a+b|=,|a-3b|=.求向量的模的方法(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算.(2)几何法,利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.角度二平面向量的夹角[例3](1)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>等于(

)√解析:(1)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=25-12+36=49,所以|a+b|=7,(2)(2023·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos<a+b,a-b>等于(

)√解析:(2)因为a=(3,1),b=(2,2),所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1),求平面向量的夹角的方法(1)定义法:cosθ=,注意θ的取值范围为[0,π].(2)坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cosθ=.(3)解三角形法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解,但要注意向量夹角与三角形内角的区别与联系.角度三平面向量的垂直问题√(2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则(

)A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1解析:(2)因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),由(a+λb)⊥(a+μb)可得(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故选D.√(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.(2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.[针对训练](1)(角度三)已知向量a=(1,2),b=(2k,3),且a⊥(2a+b),则实数k的值为(

)A.-8 B.-2 C.1.5 D.7解析:(1)因为2a+b=(2,4)+(2k,3)=(2+2k,7),a⊥(2a+b),a=(1,2),所以2+2k+14=0,解得k=-8.故选A.√(2)(角度二)已知a,b为单位向量,且|3a-5b|=7,则a与a-b的夹角为(

)√解析:(2)因为a,b为单位向量,|3a-5b|=7,所以(3a-5b)2=49⇔9a2-30a·b+25b2=49,即9-30a·b+25=49⇒a·b=-,设a与a-b夹角为θ,(3)(角度一)已知e1,e2是两个单位向量,且|e1+e2|=,则|e1-e2|=

.

1(4)(角度二)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是

.

解析:(4)因为2a-3b与c的夹角为钝角,所以(2a-3b)·c<0,即(2k-3,-6)·(2,1)<0,解得k<3.又若(2a-3b)∥c,则2k-3=-12,即k=-.当k=-时,2a-3b=(-12,-6)=-6c,此时2a-3b与c反向,不合题意.综上,k的取值范围为(-∞,-)∪(-,3).考点三平面向量的综合应用A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心√解析:(2)以BC中点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,√(3)在日常生活中,我们会看到两个人共提一个行李包的情境,假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,下列结论正确的是(

)A.θ越小越费力,θ越大越省力B.θ的范围为[0,π]C.当θ=时,|F1|=|G|D.当θ=时,|F1|=|G|√(1)用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤(2)用向量解决平面几何问题的三种方法①几何投影法:解决几何图形中的数量积问题时,可以结合向量的投影来探寻联系,然后应用图形的几何性质来求解.②坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.③基向量法:当题目中的点、向量