2026高考数学一轮复习-10.7离散型随机变量及其分布列、数字特征【课件】

第7节离散型随机变量及其分布列、数字特征[课程标准要求]1.了解离散型随机变量的概念.2.理解离散型随机变量的分布列及其均值、方差的概念.3.能计算离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.离散型随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有

的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.唯一2.离散型随机变量的分布列一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.3.离散型随机变量分布列的性质(1)pi

0,i=1,2,…,n.(2)p1+p2+…+pn=

.≥14.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn称E(X)=

=xipi为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望,它反映了随机变量取值的

.x1p1+x2p2+…+xnpn平均水平(1)均值(数学期望)(2)方差称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=

为随机变量X的方差,并称为随机变量X的

,记为σ(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的

.标准差偏离程度因为X取每个值的概率不尽相同,所以均值与方差实际都是利用了加权平均数,当p1=p2=…=pn=时,就是公式=(x1+x2+…+xn)与5.均值(数学期望)与方差的性质(1)E(aX+b)=

(a,b为常数).(2)D(aX+b)=

(a,b为常数).aE(X)+ba2D(X)1.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.2.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).3.D(X)=E(X2)-(E(X))2.4.若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(

)(2)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(

)(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)(4)标准差越大,随机变量取值偏离均值的平均程度越小.(

)√×√×2.抛掷两枚骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的试验结果为(

)A.一枚1点、一枚3点B.两枚都是4点C.两枚都是2点D.一枚1点、一枚3点,或者两枚都是2点√3.(选择性必修第三册P63例1改编)某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3,投中2分球的概率为0.4,投中3分球的概率为0.3,则该运动员投篮一次得分的数学期望为(

)A.1.5 B.1.6C.1.7 D.1.8解析:记随机变量X为该运动员投篮一次的得分,由已知得E(X)=0×0.3+2×0.4+3×0.3=1.7.故选C.√4.已知随机变量X的分布列为X-101Pm3m下列结论错误的是(

)√02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一离散型随机变量的分布列的性质[例1](1)(多选题)设X是一个离散型随机变量,则下列不能作为X的概率分布列的一组数据是(

)B.-0.2,0.2,-0.4,0.4C.p,1-p(0≤p≤1) √√(2)(多选题)若随机变量X的分布列如下,则(

)A.t=10 B.P(X>1)=0.8C.t=11 D.P(X≥3)=0.6√√解析:(2)因为(1+2+3+4)=1,解得t=10,故A正确,C错误;由分布列可知P(X>1)=1-P(X=1)=1-0.1=0.9,故B错误;P(X≥3)=0.4+0.2=0.6,故D正确.故选AD.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.[针对训练](1)(多选题)已知离散型随机变量X的分布列为则下列各式正确的是(

)X-10123P0.30.20.10.30.1√√解析:(1)因为事件“X=1.5”不存在,所以P(X=1.5)=0,所以A正确;(2)(多选题)(2024·江西新余模拟)已知随机变量ξ的分布列如表所示,则实数a的值为(

)ξ123P

2a2√√考点二求离散型随机变量的分布列[例2]甲、乙、丙三支队伍将会参加某场4×400米接力赛的角逐.接力赛分为预赛、半决赛和决赛,只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为

丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为

每场比赛结果互不影响.(1)甲、乙、丙三队中,谁进入决赛的可能性最大;显然甲队进入决赛的概率最大,所以甲队进入决赛的可能性最大.(2)设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为ξ,求ξ的分布列.所以ξ的分布列为求离散型随机变量X的分布列的方法(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列(注意利用分布列的性质检验分布列是否正确).[针对训练]设S是不等式x2-x-12≤0的解集,整数m,n∈S.(1)设“有序数组(m,n)使得m+n=0成立”为事件A,试列举事件A包含的样本点;解:(1)由x2-x-12≤0,得-3≤x≤4,即S={x|-3≤x≤4}.由于m,n∈Z,m,n∈S,且m+n=0,所以事件A包含的样本点为(-3,3),(3,-3),(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).(2)设ξ=m2,求ξ的分布列.解析:(2)由于m的所有可能取值为-3,-2,-1,0,1,2,3,4,所以ξ=m2的所有可能取值为0,1,4,9,16,故ξ的分布列为考点三离散型随机变量的数字特征角度一均值与方差[例3](多选题)(2024·山东泰安模拟)设随机变量X的分布列为P(X=k)=(k=1,2,5),a∈R,E(X),D(X)分别为随机变量X的数学期望与方差,则下列结论正确的是(

)A.P(0<X<3.5)= B.E(3X+1)=7C.D(X)=2 D.D(3X+1)=6√√√计算均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接用定义公式求.(2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差和标准差,可直接用均值及方差的性质求.角度二决策问题[例4](2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;解:(1)由题意得,X的所有可能取值为0,20,100,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8×0.6=0.48.所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.解:(2)当小明先回答A类问题时,由(1)可得E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.当小明先回答B类问题时,记Y为小明的累计得分,则Y的所有可能取值为0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4,P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6×0.8=0.48.所以Y的分布列为Y080100P0.40.120.48E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.因为57.6>54.4,即E(Y)>E(X),所以为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答B类问题.利用均值、方差进行决策的方法(1)当均值不同时,直接在均值意义下根据两个随机变量取值的水平,对问题作出判断.(2)若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度.[针对训练](1)(角度一)(多选题)(2024·浙江金华模拟)甲、乙、丙三人参加某运动会三个赛区的志愿服务活动,若每人只能选择一个赛区,且选择其中任何一个赛区是等可能的.记X为三人选中的赛区个数,Y为三人没有选中的赛区个数,则(

)A.E(X)=E(Y) B.E(X)≠E(Y)C.D(X)=D(Y) D.D(X)≠D(Y)√√[针对训练](1)(角度一)(多选题)(2024·浙江金华模拟)甲、乙、丙三人参加某运动会三个赛区的志愿服务活动,若每人只能选择一个赛区,且选择其中任何一个赛区是等可能的.记X为三人选中的赛区个数,Y为三人没有选中的赛区个数,则(

)A.E(X)=E(Y) B.E(X)≠E(Y)C.D(X)=D(Y) D.D(X)≠D(Y)√√(1)解析:由题意得,随机变量X的所有可能取值为1,2,3,随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,故E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).故选BC.(2)(角度二)某投资公司在2024年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和

项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为

针对以上两个