2026下半年教师资格证（高中数学）核心考点冲刺手册

2026下半年教师资格证（高中数学）核心考点冲刺手册

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）（总共6题，每题5分，每题只有一个选项符合题意，请将正确答案的序号填在括号内）w1.已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f(x)$在区间$[1,+\infty)$上的单调性是（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增w2.若向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(x,1)$，且$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$，则$x$的值为（）A.-2B.2C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$w3.设$A$、$B$是两个非空集合，定义$A-B=\{x|x\inA且x\notinB\}$。已知$A=\{x|x^2-2x-3\gt0\}$，$B=\{x|x^2+ax+b\leq0\}$，若$A-B=(3,+\infty)$，$A\cupB=R$，则$a+b$的值为（）A.-7B.-5C.5D.7w4.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的一条渐近线方程为$y=\frac{4}{3}x$，则双曲线的离心率为（）A.$\frac{5}{3}$B.$\frac{4}{3}$C.$\frac{5}{4}$D.$\frac{3}{4}$w5.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为（）A.$a_n=2^n-1$B.$a_n=2^n+1$C.$a_n=2^{n-1}$D.$a_n=2^{n-1}+1$w6.已知函数$f(x)=\sin(\omegax+\varphi)$（$\omega\gt0$，$|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}$）的最小正周期为$\pi$，且$f(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$，则$f(x)$的图象的一条对称轴方程为（）A.$x=\frac{\pi}{3}$B.$x=\frac{\pi}{6}$C.$x=\frac{\pi}{12}$D.$x=-\frac{\pi}{12}$第II卷（非选择题共70分）填空题（共20分）（总共4题，每题5分，请将答案填在横线上）w7.已知函数$f(x)=\begin{cases}x+1,&x\leq0\\\log_2x,&x\gt0\end{cases}$，则$f(f(\frac{1}{8}))$的值为______。w8.已知椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$上一点$P$到椭圆一个焦点的距离为$3$，则$P$到另一个焦点的距离为______。w9.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=n^2+2n$，则$a_n$的通项公式为______。w10.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，则$f(x)$在区间$[-1,2]$上的最大值为______。解答题（共20分）（总共2题，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）w11.已知函数$f(x)=\cos^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx$。（1）求$f(x)$的最小正周期；（2）求$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$上的最大值和最小值。w12.已知直线$l$过点$P(1,1)$，且与圆$C:x^2+y^2=4$相交于$A$、$B$两点，弦长$|AB|=2\sqrt{3}$。（1）求直线$l$的方程；（2）求圆心到直线$l$的距离。材料分析题（共15分）阅读以下材料，回答问题。材料：在高中数学教学中，数列是一个重要的内容。数列不仅与函数等知识有着紧密的联系，还在实际生活中有广泛的应用。比如，在银行存款利息计算、人口增长预测等方面都能用到数列知识。已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$。w13.（5分）求数列$\{a_n\}$的通项公式，并说明求解过程中用到的方法。w14.（10分）请结合材料，谈谈数列在实际生活中的应用，并举例说明。教学设计题（共15分）w15.请设计一份关于“等比数列”的教学教案，要求包含教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程以及教学反思。答案：w1.Bw2.Aw3.Aw4.Aw5.Aw6.Cw7.0w8.7w9.a_n=2n+1w10.2w11.（1）f(x)=\frac{1+\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\sin(2x+\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}，最小正周期T=\pi。（2）当x\in[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]时，2x+\frac{\pi}{6}\in[-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]，f(x)最大值为\frac{3}{2}，最小值为0。w12.（1）当直线斜率不存在时，方程为x=1，满足题意；当斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x-1)，利用弦长公式求出k=0，直线方程为y=1。所以直线l方程为x=1或y=1。（2）圆心到直线x=1距离为1，到直线y=1距离为1。w13.由a_{n+1}=2a_n+1得a_{n+1}+1=2(a_n+1)，所以数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a_n+1=2^n，即a_n=2^n-1。用到了构造法。w14.数列在银行存款利息计算中，如复利计算。设本金为a_0，年利率为r，存期为n年，则n年后本息和a_n=a_0(1+r)^n。在人口增长预测方面，若初始人口为a_1，年增长率为p，经过n年后人口数a_n