2025-2026学年八年级数学上册第3章《勾股定理》单元测试卷【含答案】

苏教版八年级数学上册第3章勾股定理单元测试卷

一.选择题（共10小题）

1.下列长度的三根线段，能构成直角三角形的是（）

A.3cm,5cm,5cmB.4cm,5cm

C.5cm,13cw,12cmD.2cm,1cm,4cm

2.如图，将长为8c〃?的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和5,然后把中点C垂直向上

拉升3c小至点。，则橡皮筋被拉长了（)

C.4cmD.6cm

3.如图，在△ABC中，NA=90°,8E是/VlBC的角平分线，EDLBC于点、D,8c=5,

A8=3,则OE的长是（）

A.1.5B.2C.2.5D.3

4.如图，在△ABC中，点。是角平分线A。、BE的交点,若A8=AC=10,BC=12,

。・华

5.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委

地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长儿何？”，大意是：如图，木柱A813C

绳索AC比木柱长3尺，8C长8尺，则绳索4c的长度是（）尺.

A

B1-1---------、C

A.班B.迢CTD.21

6622

6.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成3（r夹角,

这棵大树在折断前的高度为（）

A.10米B.15米C.25米D.30米

7.如图，在△ABC中，力8=4,AC=3,BC=5.将△ABC沿着点A到点C的方向平移到

△DEF的位置,图中阴影部分面积为4,则平移的距离为（）

A.3--^5B.C.3+、用D.

8.若△48C的三边a、b、c满足（4-方）2+届+庐_白=0,则△ABC是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

9.在△A8C中，A3=3。*AC=4c/n>BC=5cm,在△A3C所在平面内画一条直线，将4

ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为

（）

A.3B.4C.5D.7

10.我们知道，三个正整数。、b、c满足。2+愣=修，那么，°、b、c成为一组勾股数；如果

一个正整数m能表示成两个非负整数工、y的平方和，即用=W+y2,那么称〃？为广义勾

股数，则下面的结论：

①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；

22

④两个广义勾股数的税是广义勾股数：⑤若y=2nui,z=m+nt其中玄y.

z,小，〃是正整数，则x,y,z是一组勾股数.

其中正确的结论是（）

A.①③B.®®C.②③⑤D.@@©

二.填空题（共6小题）

11.在△ABC中，8c=6,8C边上的高4。=4,且80=2,则△4CO的面积为.

12.在Rt△人中，ZC=90°,人。平分NBAC交于点O.若AC=6.BD

=5,则点。到AB的距离是.

13.如图，一架梯子八B长5米，底端离墙的距离8C为3米，当梯子下滑到OE

14.如图，某研究性学习小组为测量学校人与河对岸水上乐园B之间的距离，在学校附近

选一点C,利用测量仪器测得NA=60°,NC=90°,AC=\km.据此，可求得学校与

水上乐园之间的距离A8等于km.

15.如图，在一个面为5明长为13机的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是

16.如图，已知在Rt/SABC中，ZACB=90°,AC=8,3c=16,。是AC上的一点，CD

=3,点P从B点出发沿射线8C方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时

间为九过点。作。尸于点E.在点P的运动过程中，当/为时，能使OE

=CD?

三.解答题（共7小题）

17.△A4C的三边长分别为6,x+2,卢4,若该三角形是以x+4为斜边的直角三角形,

求x的值.

18.一棵高\2m的大树被折断，折断处4距地面的距离AC=4.5m（点B为大树顶端着地

处）.在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部C的距离C。为6.5/，点

D在CB的延长线上，求大树顶端着地处B到小轿车的距离BD.

19.如图，在△A8C中，A8=10,8C=8,AC=6,A。垂直AB交8C的延长线于。.

（1）求证：△A3C为直角三角形；

（2）求线段AQ的长.

BCD

20.如图，每个小正方形的边长都为1,4、B、a。均在网格格点上.

(I)求四边形/WCO的面积；

(2)/8C。是直角吗？为什么？

21.RtAABC+，NC=90°,点。、E分别是AC、BC边上的点，点P是一动点.令NPD4

=Z1,ZPEB=Z2,NDPE=Na.

(1)若点P在线段AS上，如图1所示，且Na=60°,求N1+N2的度数；

(2)若点。在线段46上运动，如图2所示，则/a、N1、/2之间的数量关系.

22.台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端

气候，有极强的破坏力.如图，监测中心监测到•台风中心沿监测点8与监测点4所在

的直线由东向西移动，已知点。为一海港，且点C与A,8两点的距离分别为300公〃、

400E?,且NAC8=90'，过点。作于点£,以台风中心为圆心，半径为2605?

的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25妨?〃?.

(1)求监测点A与监测点8之间的距离；

(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？

若不受影响，请说明理由.

AEB

23.(1)如图I,在△ABC中，ZACB=90°,人七是角平分线，C。是高，AE.CO相交

于点F,NCFE与NCE产的数量关系为.

(2)如图2,在△ABC中，NAC8=90°,CO是48边上的高，若△ABC的外角NBAG

的平分线交。。的延长线于点F，其反向延长线与8c边的延长线交于点E.探究NC尸E

与NCE户的数量关系并说明理由；

(3)如图3,在△A8C中，边A3上存在一点。，使得NACO=N3,NBAC的平分线

AE交CD于点F,交BC于E.△A8C的外角NB4G的平分线所在直线MN与8C的延

长线交于点M.请补全图形并直接写出NM与NCFE的数量关系.

参考答案

一.选择题（共10小题）

I.下列长度的三根线段，能构成直角三角形的是（）

A.3cmt5cm,5cmB.4cm,8cw,5cm

C.5cm,13。〃，12cmD.2cm,1cm,4cm

解：A、V32+52=34,52=25,

・•・32+52/52,

・••不能构成直角三角形，

故4不符合题意；

B、•・,42+52=41,82=64,

A42+5V82,

・•・不能构成直角三角形，

故8不符合题意：

C、VI22+52=169,132=169,

・•・122+52=132,

・•・能构成直角三角形，

故C符合题意；

。、V2+4=6<7,

.••不能构成三角形，

故。不符合题意；

故选：C.

2.如图，将长为8。”的橡皮筋放置在水平面上，固定两端4和4然后把中点C垂直向上

拉升3cm至点。，则橡皮筋被拉长了（)

C.4cmD.6cm

解：Rt^AC。中，AC=^AB=4cm,CD=3cm：

乙

根据勾股定理，得：AD=yJAC2+DC2=5（c，〃）：

C.AD+BD-AB=2AD-AB=\O-8=2（.cm）；

故橡皮筋被拉长了2cm.

故选：A.

3.如图，在△ABC中，NA=90°,BE是△ABC的角平分线，EDtBC于点D,BC=5,

A8=3,则DE的长是（）

A.1.5B.2C.2.5D.3

解：•・•在△ABC中，入4=90。，

：.AEA.AB.

又BE是△ABC的角平分线,ED1BC,

：.AE=DE.

设DE=AE=x,

：.—>AB>AC=—*AI^AE+—*AC*ED,即工X3义4=—X3x+—X5.r.

222222

解得x=^3.

即DE=1.5.

234

解：如图：作O/_LAB于F,

B

*：AB=AC,AO平分N8AC.

；・NODB=90°.BD=CD=6.

•'•AD—V100-36=8.

平分NA8C.

：,OF=OD,BF=BD=6,4F=IO-6=4.

设。。=。产=心则A0=8・x,

在Rt^A。尸中，根据勾股定理得：

(8-工)2=7+42.

Ax=3.

：.OD=3.

■..OD—3—1♦

BD62

故选:A.

5.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委

地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”，大意是：如图，木柱4B1BC,

绳索AC比木柱4B长3尺，BC长8尺，则绳索AC的长度是()尺.

解：设AC=x尺，则人4=(x-3)尺,

VAB1BC,

••.△ABC是直角三角形，

由勾股定理得：AB2+BC2=AC2,

即(x-3)2+82=#,

7?

解得（尺），

b

即：绳索人。的长度是0尺.

6

故选:B.

6.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角,

这棵大树在折断前的高度为（）

A.10米B.15米C.25米D.30米

解：VZBAC=30°,//3c4=90°,8c=5米，

・・・4B=2C8=IO米，

・•・这棵大树在折断前的高度为AB+BC=i5米.

故选：B.

7.如图，在△ABC中，48=4,AC=3,BC=5.将△4BC沿着点A到点C的方向平移到

△DEF的位置,图中阴影部分面积为4,则平移的距离为（）

A.3--^5B.C.3+、用D.2,^5

解：・・FB=4,AC=3,BC=5,

•••△A6C是直角三角形，NA=90°,

•・•将△ABC沿着点A到点C的方向平移到aQE尸的位置，

•••△。£产的面积=Z\ABC的面积=J~X3X4=6,DF=AC=3,

•・•图中阴影部分面枳为4,

.DC_V4

・•丽一7?

.DC_2

・,丁万

解得：DC=^5，

即平移的距离是CF=AC-DC=3-V6»

故选：A.

8.若△4BC的三边a、b、c满足(a-b)2+\a2+b2-c2|=0,则是()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C,等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

解：,:(a-b)2+\a2+b2-(^|=0,

*.a-Z?=0>a2+b2-c2=0,

解得：a=b,a2+b2=c2,

•二△ABC的形状为等腰直角三角形；

故选：C.

9.在△ABC中，A8=30*AC=4c〃?、BC=5cm,在△A8C所在平面内画一条直线，将4

A4C分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为

()

A.3B.4C.5D.7

解：如图所示：AB=3CM、4C=4CW?、BC=5cm,

•.•32+42=52,

•••△ABC是直角三角形，ZBAC=90°.

当CG=AC=4,AC=CC2,AB=AQ=3,BA=BC^=3,CsA=C5B,C65=C6C,C7A

=AB都能得到符合题意的等腰三角形.

故这样的直线最多可面的条数为7.

故选：。.

10.我们知道，三个正整数。、b、。满足标+从=。2,那么，〃、尻。成为一组勾股数：如果

一个正整数〃?能表示成两个非负整数X、)，的平方和，即〃?=『+,，，那么称m为广义勾

股数，则下面的结论：

①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；

④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若2=〃，+/落其中%，

z,小，〃是正整数，则x,y,z是一组勾股数.

其中正确的结论是()

A.①③®@B.©©C.②③⑤D.@©@

解：①・・・7不能表示为两个正整数的平方和，

・•・7不是广义勾股数，故①结论错误；

②,・,13=22+32,

・•・13是广义勾股数，故②结论正确；

③两个广义勾股数的和不一定显广义勾股数，加5和10是•广义勾股数,但是•它们的和不

是广义勾股数，故③结论错误；

@V5=l2+22,13=22+32,65=5X13,65是广义勾股数，两个广义勾股数的积是广义

勾股数，

如2和2都是广义勾股数，但2X2=4,4不是广义勾股数，故④结论正确；

@Vx2+>f2=(nr-n2)2+(2nm)2=m4+2m2n2+n4,

2

z=(〃a+〃2)2=/w4+2w2rt2+rt4>

.\x2+y2=z2,

又知x,y,z,〃?，〃是正整数，则x,y,z是一组勾股数.

故⑤结论正确；

・•・依次正确的是②④⑤.

故选：D.

二.填空题(共6小题)

11.在△A8C中，BC=6,8c边上的高AO=4,且80=2,则△ACD的面积为8或16.

解：根据题意，分以下两种情况：

①如图：

A

：.CD=BC-80=6・2=4,

AS^ACD=^CD*AD=^-X4X4=8,

乙乙

②如图:

VBC=6,4力=4,BD=2,

：.CD=BD+BC=St

：-SAACD=^CD^AD=^X8X4=16,

乙乙

故答案为：8或16.

12.在Rt^ACA中，ZC=90°,4。平分NZMC交4c于点。.若A4=10,AC=6.BD

=5,则点D到八8的距离是3.

解：在RtZXABC中，由勾股定理得,

BC=7AB2-AC2=V102-62=8»

,:BD=5,

：.CD=3,

过点。作。于E,

TA。平分N84C,

：.CD=DE=3,

工点力到48的距离是3,

故答案为：3.

13.如图，一架梯子4B长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到OE

，可得：AC=VAB2-BC2=752-32=4（米），

：.DC=AC-AD=4-1=3（米），

在RtZ\OCE中，CE={DR2_DC2={52.32=4（米），

：.BE=CE-BC=4-3=1（米），

故答案为：I.

14.如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离，在学校附近

选一点C,利用测量仪器测得NA=60°,ZC=90°,AC=\km.据此，可求得学校与

水上乐园之间的距离A8等于2km.

AC=\kmt

・・・NB=30°,

：.AB=2AC=2(km).

故答案为：2.

15.如图，在一个高为5用，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长在至少是而〃？.

13m5m

解：由勾股定理得：

楼梯的水平宽度=4132-52=12,

•••地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，

地毯的长度至少是12+5=17米.

故答案为：17〃?.

16.如图，己知在Riz2xA5C中，/AC6=90",AC=8.6C=16,。是AC.上的一点，CD

=3,点P从B点出发沿射线8C方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点〃的运动时

间为九过点。作。E_LAP于点£在点尸的运动过程中，当/为5或11时,能使

DE=CD2

解：①点P在线段8c上时，过点。作。于E,如图I所示:

图1

则NAEO=NPEQ=90°,

・•・NPEO=NAC4=9()°,

・・・P。平分NAPC,

:"EPD=/CPD,

又,：PD=PD,

:ZDE@MDC(A4S),

：・ED=CD=3,PE=PC=\6-2f,

：.AD=AC-CD=S-3=5,

：.AE=4,

：,AP=AE+PE=4+16-2f=20-2f,

在RtAAPC中，由勾股定埋得：82+(16-2，)2=(20-2Q2,

解得：/=5；

②点P在线段的延长线上时，过点。作。于E,如图2所示:

同①得：△POE且△PDC（AAS）,

:,ED=CD=3,PE=PC=2t-16,

：.AD=AC-CD=S-3=5,

：.AE=4,

：,AP=AE+PE=4+2t-16=2r-12,

在RtZVlPC中，由勾股定理得：82+（2/-16）2=（2/-12）2,

解得：f=ll.

综上所述，在点P的运动过程中，当/的值为5或11时，能使QE=CD

三.解答题（共7小题）

17.△A8C的三边长分别为6,x+2,广4,若该三角形是以X+4为斜边的直角三角形，求x

的值.

解：由勾股定理得：62+（工+2）2=（工+4）2,

解得：x=6.

18.一棵高12〃？的大树被折断，折断处A距地面的距离AC=4.5m（点B为大树顶端着地

处）.在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部C的距离。。为6.5犷，点

D在CB的延长线上，求大树顶端着地处B到小轿车的距离BD.

解：在中，日勾股定理得，

BC=22=

7AB-AC77.52-4.52=6（加）,

:,BD=CD-BC=(15：〃?)，

・••大树顶端着地处B到小轿车的距离BD为（）.5米.

19.如图，在△A8C中，AB=10,BC=8,AC=6,A。垂直人8交BC的延长线于。.

（1）求证：△ABC为直角三角形；

（2）求线段A。的长.

(1)证明:VAfi=10,BC=8,AC=6,

.\BC2+AC2=82+62=10(),AB2=1()2=10(),

222

：.B(^+AC=ABt

・•・△ABC为直角三角形，

AZACB=90°；

(2)解：设CO=x,则4O=/3C+CQ=8+x,

VZACB=90°,

•••N4CO=1800-ZACB=90°,

在Rb^AC。中，AD2=AC2+CD1=36+x2,

'：AB±ADt

：.ZBAD=90°,

在RtZ^BA。中，AD2=BD2-AB2=(8+X)2-100,

・・・36+『=(8+x)2-100,

解得：x=4.5,

；・AD=d小32=（§2+4.52=75

・・・A。的长为7.5.

20.如图，每个小正方形的边长都为1,A、B、C、D均在网格格点上.

（1）求四边形4BCQ的面积；

（2）N8CO是直角吗？为什么？

解：(1)四边形ABC。的面积是5X5-yXIX5-yXIX4-yXlx2-X2X4

乙乙乙乙

-1X1

=25-2.5-2-I-4-1

=14.5；

（2）N8CO是直角,

理由是：连接B。，

由勾股定理得：8炉=32+42=25,fiC2=22+42=20,。£>2=12+2』5,

所以BC2+CD2=8>，

即NBC。是直角.

21.RtZXABC中，NC=90°,点7）、E分别是AC、边上的点，点P是一动点.令NPOA

=Z1,/PEB=/2,ZDPE=Za.

（1）若点P在线段48上，如图1所示，且Na=60°,求N1+N2的度数；

（2）若点尸在线段A8上运动，如图2所示，则Na、Nl、N2之间的数豉关系.

解：(1)VZC=90°,

•••NA+NB=90°,

VZa=60°,

AZAPD+ZBPE=\SOC-60°=120°,

VZl=1800-ZAPD-ZA,Z2=180°-ZB-ZBPE,

AZ1+Z2

=180°-ZAPD-ZA+1800-NB-NBPE

=360°-(ZAPD+ZBPE+ZA+ZB)

=360°-(120°+90°)

=150°,

.,.Zl+Z2=150°；

(2)VZC=90°,

••・NA+N8=90°,

•••Na+NAPO+NBPE=180°,

，NAPO+N3PE=180°-Na,

VZl=1800-NAPD・NA,Z2=I8O°-/B・4BPE,

AZ1+Z2

=180°-ZAPD-ZX+1800-ZB-ZBPE

=360°-(180°-Na+90°)

=90°+Na,

AZ1+Z2=9O0+Za.

22.台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端

气候，有极强的破坏力.如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点8与监测点人所在

的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A,B两点的距禽分别为300公〃、

400&,〃，且乙406=90。，过点。作CE_LA6丁点E,以台风中心为圆心，半径为260&,〃

的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h.

(1)求监测点A与监测点8之间的距离；

(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？

若不受影响，请说明理由.

北

cA东

/门、

AEB

解：(1)在RtA48C中，AC=300h〃，8c=4006,

.・