2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考【测试范围：北京版八年级上册第10~12章】（全解全析）

八年级数学上学期第三次月考卷（北京版

全解全析

（考试时间：120分钟,分值：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：新教材北京版八上第十章〜第十二章（第10章20%,第11章40%,第3章40%）。

第一部分（选择题共24分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.七巧板是一种传统智力游戏，是中国古代劳动人民的发明，用七块板可拼出许多有趣的图形.在下面这

些用七巧板拼成的图形中，可以看作轴对称图形的（不考虑拼接线）有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】B

【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解.

【详解】第一个图形不是轴对称图形，

第二个图形是轴对称图形，

第三个图形是轴对称图形，

第四个图形不是轴对称图形，

第五个图形是轴对称图形，

第六个图形是轴对称图形，

综二所述，是轴对称图形的有4个.

故选B.

【点睛】本题考杳了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合,本

题要注意不考虑拼接线.

2.下列分式变形正确的是（）

aa2b+a2+4

A.B.

-a+ba+bb2b

a2+bzaha

C.---------=a+bD.

a+bab-b2a-b

【答案】D

【分析】本题考杳分式的基本性质和变形，熟记分式相关性质是解决问题的关键.

根据分式的性质，检查每个选项的等式是否成立，通过化简或代入值验证即可得到答案.

【详解】解：A：右边=--彳=-^工一^=左边，分式变形错误，不符合题意；

B：右边=孚=丝护工空巴=左边，除非。=0或6=1,分式变形错误，不符合题意：

bb~b~

C：右边=（"力;==左边,除非2加,=0,分式变形错误，不符合题意;

aIbaIbaIb

D：小厂谭矿六，分式变形正确，符合题意；

故选：D.

X

3.如果把分式中的x,y都犷大到原来的5倍，那么分式币的值（）

A.值不变B.扩大到原来的5倍

C.扩大到原来的25倍D.缩小为原来的;

【答案】A

【分析】本题考查了分式的基本性质.把x与y都扩大5倍，确定出分式的值，比较即可.

Sxx

【详解】解：根据题意得：「1=—，

・•.x,y都扩大到原来的5倍，分式的值不变.

故选:A.

4.如果〃=拉-1，那么代数式卜一-二卜七的值为（）

Ia+1）a~-1

A.2B.V2C.孝D.V2-2

【答案】D

【分析1本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键.先化简代数式，再代

入〃的值计算.

【详解】解：(1一」~;1+士

Ia+\)a-\

_(^+1)-1a

a+1'a2-l

2

=IaI-aI

a+\a

=--a---(-a-+--1)-(-«---1-)

a+\a

=67-1,

代入〃=&-l，原式=(0—1)—1=血一2,

故选:D.

5.下面是“作一个角使其等于夕'的尺规作图方法.

(1)如图，以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交以，OB于点、C,D；

(2)作射线OW,以。'为圆心，。。长为半径画弧，交OW于点C'；以点C为圆心,

长为半径画弧，两弧交于点。'；

(3)过点。作射线。B,则/HO'*=4O8.

A.ASAB.SSAC.SSSD.AAS

【答案】C

【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键.根据作图痕迹，结合全

等三角形的判定是解答的关键.

【详解】解：由作图痕迹，得OC=O'C',OD=O'D1,CD=CD',

.-.△COD^ACVD^SSS),

故选：c.

6.如图，在正方形月8CQ中，点E在力。的延长线上，连接CE,若BC=3,CE=5t则OE的长为()

A.2B.3C.V34D.4

【答案】D

【分析】本题考查了正方形性质和勾股定理，根据正方形性质可得6C=8=3,进而在RtZXCOE中利用勾

股定理求出=y/CE2-CD2=4

【详解】解：••・在正方形力8c。中，

:.BC=CD=3,4OC=90°,

Z£DC=90°

­­DE=>jCE2-CD2=J5-2=4，

故选：D.

7.若关于x的分式方程F+/==2无解，则〃的值是（）

3-xx-3

A.1B.1或2C.1或3D.3或2

【答案】B

【分析】小题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整埋得（2-。>=3,再分2-4=0和2-〃工0

两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键.

【详解】解：方程两边乘以x-3,得-3+以=2卜-3）,

整理得，（2-a）x=3,

当2-。=0,即。=2时，0x=3,此时方程无解；

3

当2-a工0时，解得X=T，

2-a

•••分式方程无解，

•**x=3,

即一~=3,

2-a

解得a=l;

综上，々的值是1或2,

故选：B.

8.如图，在等边△力4c中，D、£分别是8C、4C上的点，连结,4。、BE交于点、P,若AE=CD,下列说法:

①^ABE=ZCBE；②/8"=60。；③S△业二S四边形如°；@AE^PE.其中结论正确的为（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，先证明再根据全等三

角形的性质和大角对大边进行判断.

【详解】解：①•.•45C为等边三角形,

/.AB=CA,NBAC=NC=600.

*：AE=CD,

.△ABE知CAD,

/.LABE=NCAD,

无法判断//18E=NC8E,故①说法不正确：

②；/ABE-ZCAD,

ZBPD=/BAD+NABE=ABAD+Z.CAD=60°,

故②说法正确；

（X）,^ABE^^CAD,S4ABE=S^CAD»

•4,SdABE-S“PE~S△以。—S'APE»

即S&ABP=S四边形CEPD»

故③说法正确；

©NAPE=NBPD=60°,/LEAP<60°,

£APE>/EAP,

AE>PE.

综上所述，说法正确的为②③④,

故选：D.

第二部分(非选择题共96分)

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

9.计算：型.%•+茏=____.

3c5ab'a

【答案】筹

3b

【分析】本题考杳的是分式的乘除法,掌握分式的乘除法法则是解题的关键.先把除法化为乘法,再根据

分式的乘法法则计算.

【详解】解：原式=空.处二4

3c5ab~3c

_4a

~3b,

1().已知=I+|y+7|=(),则x+N=.

【答案】-5

【分析】根据非负数的性质，算术平方根和绝对值都非负，它们的和为零，则每个部分必须为零；

本题考查了代数式求值，算术平方根和绝对值的非负性，掌握非负数的性质是解题的关键.

【详解】---V^2>0.|y+7|>0,

•••*Jx-2-0ll.|y+7|=o,

二x-2-0且y+7=0,

解得x=2,y=-7,

贝iJx+y=2+(-7)=-5.

故答案为：-5.

II.已知一个等腰三角形的两边长分别为4和6,则该等腰三角形的周长为.

【答案】14或16/16或14

【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成一角形的条件.分4为腰长，6为腰长结合三角形三边的

关系进行求解即可

【详解】解：当腰为4时，三边为4、4、6,4+4=8>6,

•••4、4、6能组成三角形，

该三角形的周长=4+4+6=14；

当腰为6时，三边为4、6、6,4+6=10>6,

•••4、6、6能组成三角形，

该三角形的周长=4+6+6=16.

故答案为：14或16.

12.如图，在△/4C和△48中，CD,8f•是中线，若/18=6cm,4C=7cm,则AACE的周长比

的周长长cm.

【答案】4

【分析】本题考查的是三角形的中线的概念.根据三角形的中线的概念得到＜。=8O=3,DE=CE,根据三

角形的周长公式计算，得到答案.

【详解】解：•••在△川?。和△48中，CD,8E是中线，

：.AD=BD=3,DE=CE,

△BCE的周长3DE的周长=(BC+EC+BE)-(BD+DE+BE)

=BC+EC+BE-BD-DE-BE

=BC-BD

=4cm

故答案为：4.

13.用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下:

n0.06250.6256.2562.5625625062500•••

().250.79062.57.9062579.06250

根据以上规律，若JT亓。1.31,阮？=4.14,则JI而.

【答案】41.4

【分析】本题考杳了算术平方根，读懂题意，理解表格数据的规律是解题的关键.根据表格得到规律，被

开方数的小数点（向左或右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此即可

得到答案.

【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点(向左或者右)每移动两位，其算术平方根的小数点相

应的向相同方向移动一位，

.­•71710«41.4.

故答案为：41.4.

14.如图所示的网格是正方形网格，△力8c和ACDE的顶点都是网格线交点，那么/历/C+NCDE=

DE

【答案】45

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键.

连接/。，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：ZJZ)C=90°,ZZ)JC=ZJCD=45°,最后根

据平行线的性质可得结论.

【详解】解：如图，连接力。，

由勾股定理得：/4£>2=12+32=10»CZ)2=12+32=1O»^C2=22+42=20»

/.AD=CD,AD2+CD2=AC2

4OC=90。，

ZDAC=ZACD=45°,

-AB\\DEf

/.£BAC+Z.CDE=180°-90°-45°=45°,

故答案为：45.

15.如图，在△/AC中，AB=AC,/94c=30。，。是力C中点，尸是力B上一动点，当。P+C尸最短时，/BCP

的度数为.

【答案】45。/45度

【分析】本题考查轴对称-最短路径问题、轴对称的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等

知识，

作点C关于AB的对称点E,连接CE交AB于F,则481CE,EF=CF,连接ED交.AB于P,则此时DP+CP

最短，连接D户，根据直角三角形的性质得到力。=。"=U。=：/「，得到4W=60。，求得“"=90。,

得到NCP8=60。，根据等腰三角形的性质得到N5=4C5=75。，根据三角形的内角和定理即可得到结论.

【详解】解：作点。关于的在称点连接CE交力8于产，

则44_LCE,EF=CF,

连接瓦）交彳8于P,则此时OP+CP最短,

连接。尸，

•.7）是4C中点，Z^FC=90°,

：.AD=DF=CD=-AC,

2

•••4=30。，

Z4CF=60°,

.♦.△CD尸是等边三角形，

DF=CF,

DF=CF=EF,

?.AFDC=NFCD,NE=/FDE,

ZFDC+ZFCD+NE+NFDE=180°

:."DC=£FDC+/FDE=90°,

.•.NE=NPC£=30。，

•••NCPB=600.

vAB=AC,

.•Z=4C8=80。-N4)=75°,

ABCP=180°-Z.CBP-NCPB=45°.

故答案为：45。.

16.如图，在RlZ\4?C中，=90°,AC=9,BC=\2,将边/C沿CE翻折，使点4落在边力8上的点。

处；再将边8c沿3翻折，使点4落在CO的延长线上的点"处，两条折痕与斜边48分别交于点E、F,

则线段*尸的长为.

【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键.

由折叠的性质得4E=ED,BF=BFAC=CD,/ACE=NECD/BCF=ZBKF,ZCED=ACEA=90°,再证

△CM是等腰直角三角形，得出CE二夕"由勾股定理求出力8=15,然后由面积法求出CE=£=E7"由

勾股定理求出力£=停，则//=晟,8/即可得出答案.

【详解】解：由折登的性质得：

AE=ED,BF=B，F,AC=CD,NACE=NECD/BCF=NB'CF,4CED=NCEA=90°,

ZECF=-ZJC5=-x90°=45°.

22

・•.△CM是等腰直角三角形，

:.CE=EF,

在RtZXXAC中，由勾股定理得：.4B=7AC2+BC2以岸+密=15,

-ACBC=-ABCE,

小ACBC9x1236『广

/.CE=----------=-------=—=EF,

AB155

在放△力EC中，由勾股定理得：AE=>JAC2-CE2=J92

AF=AE+EF

八鼻।,

BF=AB-AF=15---=—

55

vBF=B'F,

5

故答案为：y.

J

三、解答题（共10小题，共72分）

17.（5分）解方程：

7x-333x-9

【答案】（i）x=q

⑵一

【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键;

（1）根据分式方程的解法可进行求解；

（2）根据分式方程的解法可进行求解.

47

【详解】（1）解：、.+=0

3x+5x

4x+7（3x+5）=0

解得：x=Y

经检验：当x=-1时，x（3x+5）w0,

二原分式方程解为“=-

2x-l16x-5

(2)解:

x-333.v-9

3(2x-l)-(x-3)=6x-5,

解得：x=5；

经检验：当x=5时，3（工一3）工0,

・•・原分式方程的解为x=5.

18.（5分）计算：匠―历+卜6|+（万一1）'

【答案】3石-2

【分析】本题考查了二次根式化简，立方根，绝对值，0指数第.二次根式的加减等知识，先根据二次根式

性质，立方根，绝对值，0指数冢进行化简，再进行计算即可求解.

【详解】解：原式=271-3+6+1=3石-2.

19.（6分）先化简，再求值：:1+以二其中x=石.

x'-2x+\x-1

【答案】i,五

X5

【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理化.，先根据分式的乘除运算法则，结合因式分解化简原式,

再代值求解即可.

【详解】解：「「—I件二

X2-2X+1x-1

（x+l）（x-l）x-l

（x-1）2x（x+l）

1

二­，

X

当工二6时，原式=［二?.

20.（6分）如图，在△/SC中，ZC=90°,乙4=30°.在线段4C上求作一点。，使得CO=；力。.小明

发现作力8的垂直平分线交4C于点。，交力〃于点£点力即为所求.

（1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点力（保留作图痕迹）;

(2)完成下面的证明.

证明：vZ/4=3O°,ZC=90°,.-.ZJBC=60°.

垂直平分48,

，BD=.()(填推理依据)

••.4==30。.()(填推理依据)

:.NCBD=30。,

在RtZXBCO中，.・.CO=.：.CD=-AD.

2

【答案】（1）见解析

（2）4。，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，ZABD,等边对等角，；BD

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，运用逻辑推理思想,

通过线段垂直平分线得到等腰三角形，结合角度推导，利用直角三角形30。角的性质解题；解题关键是利用

线段垂直平分线得到8。=力。，进而推导角度关系；易错点是对线段垂更平分线性质、等腰三角形性质的

应用混淆.

【详解】（1）解：如图，点。即为所求,

•••QE垂直平分48,

BD=AD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）（填推埋依据）

.•.4=480=30。.（等边对等角）（填推理依据）

.-.ZC5D=30°,

在RlABCQ中,:.CD=-BD.

2

:.CD=-AD,

2

故答案为：AD：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；4BD；；BD.

21.(6分)如图，点6,F,C,E在同条直线上，AC=DF/A=/D,AB〃DE.

B

（1）求证：/\ABC安ADEF；

（2）若8七=11,尸C=3,求8歹的长.

【答案】（1）见解析

⑵8尸=4

【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，得到N8=NE,选择适当的判定定理证明即可；

（2）根据三角形全等的性质，结合线段的和差计算即可.

本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，三角形全等的判定和性质

是解题的关键.

【详解】（1）证明：・・・例。£,

ZB=NE.

在"BC和GE尸中,

NB=NE

由</4=Z.D,

AC=DF

:."BC经ADEF（AAS）.

（2）解：'：^ABC^DEF,

;.BC=EF,

:.BC-FC=EF-FC,

:.BF=CE,

•/BE=\\,FC=3,BE=BF+FC+CE,

二.11=8/+3+CE,

2BF=8,

BF=4.

22.（8分）在一家手工作坊里，木工师傅正在为客户定制一批小型收纳盒，他们选用了一块长方形木板44co

作为原材料.为了满足设计需求，需要对这块木板进行改造.木工甲采用如图的方式，将木板的长4。增加

2亚m，宽/也增加70cm，得到一个面枳为128cmt的正方形力EFG.

(I)下方形力EFG的边长为cm：

(2)求长方形木板48C。的周长和面积.

【答案】(1)8人

(2)周长为14j5cm，面积为12cm'

【分析】本题考查二次根式的应用、算术平方根等知识点，根据图形运用相关知识是解题的关键.

(1)根据正方形的边长等于面积的算术平方根求解即可；

(2)根据(1)中结论求出矩形16CD的长和宽，然后再求长方形木板"C。的周氏和面积即可.

【详解】(1)解：正方形4MG的边长为洞=8缶m,

故答案为：8人.

(2)解：由题意知，力。=8a-2&=6&cm，=8&-7虚=&cm，

面积为ADAB=6区g=12cm2.

23.（8分）如图，CB=CD,NO+N/〃C=180。，CEJ.4D于点、E,CF_L48交44的延长线于点尸.

(1)求证：4C平分

(2)若=DE=b,求力8的长.(用含%的代数式表示)

【答案】(1)证明见解析

(2)a-b

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解

题的关键.

（1）通过证明ACOEgACB尸（AAS）,再根据全等三角形性质得出CE=3,再根据角平分线的判定进行证

明；

（2）先证明△£4Cg/iE4C（AAS）,再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可.

【详解】（1）证明：•••C£_L/O,CFLAB,

/DEC=NCFB=90°,

vZD+ZABC=180°,ZCBF+ZABC=\SO0,

ND=2CBF,

在ACDE与ACBF中,

ND=ZCBF

/DEC=NBFC,

CD=CB

.\ACD£^AC5F（AAS）,

:.CE=CF,

/.AC平分

（2）由（1）知力C平分

：.ZEAC=ZFAC,

在〃E4C和A£4C中，

ZEC=N4FC

・NEAC=NFAC,

AC=AC

..△E4Cg△F/1C（AAS）,

/.AE=AF=a,

由（I）知UCfAC"，,

:.BF=DE=b,

AB=AF-BF=a—b.

24.（8分）综合与实践

【探究课题】三角形重心性质的探究

【课本重现】教材P24页指出三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心.如图1,取一块质地均匀的三

角形纸板力8C,如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来.那么纸板就会处于水平状态.

【提出问题】探究图1中，/。：。。的值是多少？

我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的

思路，逐步完成问题解决以上提出的问题.

【解决问题】

(1)在力OC中，由干点力是8c动中点,那么与的面积相等，同理可得△BOE与

的面积相等；ACO尸与的面积相等

(2)在△48C中，由于点。是8c边中点，那么△4OC的面积是△/8C的面积的,同理△3匹

的而积是△力的面积的,这样△/0c的面积与△/(?的面积相等，减去公共部分可得力0。

的面积与的面枳相等，同样可得△C。。的面积与A/lOE的面积相等，从而可得6个小三角形

面枳相等.

(3)由△力。5的面积是"OO的面积的2倍，可得/10:。0=:同理可得==

【拓展应用】

(4)如图2,在△XBC中，点。是△XBC的重心.连接80,C。并延长分别交4C,力用于点。，E,若

BO1CO,BD=T2,C£-=18,直接利用上面的结论，求小。。的面积.

【答案】(1)△COO,MOE,“OF；(2)y,y,"OF；(3)2:1,2:1：(4)48

【分析】本题考行了重:心定义、利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据己知解题思路求出40：。。

的值是解题关键.

(1)根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可；

(2)根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可：

(3)由上述解析得到6个小三角形面枳相等，进而得到△力04的面积是A》。。的面积的2倍，再根据同高

三角形面积之比等于底边之比求解即可；

22

(4)由上面的结论可知，BO-.DO=CO.EO=2A,进而求出80==8,CO==-CE=\2,然后利用

33

角形的面积公式求解即可.

【详解】解：(1)在A8OC中，由于点。是8C边中点，那么力。。与△CO。的面积相等，

同理可得aBOE与“OE的面积相等；ACOF与"OF的面积相等，

故答案为：△COO,4AOE,"O产；

(2)在△/BC中，由于点。是BC边中点，那么△力。C的面积是△4BC的面积的;，同理A3产。的面积是

△力8c的面积的这样△力。。的面积与△5FC的面积相等，减去公共部分可得ABOO的面枳与△水加的

面积相等，同样可得△COO的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等，

故答案为：y»g，^AOF：

(3)由△408的面积是△夕0。的面积的2倍，可得力0:00=2:1：同理可得:BO:OF=C0OE=2.\,

故答案为：2:1,2:1；

(4)由」一面的结论可知，BO:DO=CO:EO=2:\,

••・8。=12,CE=18,

22

BO=-BD=S,CO=-CE=\2,

33

-B01C0,

・•・^BOC的面积为,CO•4。=」x12x8=48.

22

25.(10分)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和

谐分式

.x+1%―1+2x—I22

如——=------=----+----=1+------,

x-1x-1x-1x-1x-\

上2"3=(也)2上2=出+3="I+3,

a-ia-\a-ia-\a-\

则£11和,3+3都是“和谐分式，，.

x-1a-\

(1)卜列各式中，属于“和谐分式”的是：(填序号)：

①②必③标.

x2x+1

(2)将“和谐分式”竺号和工化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：智=

X+lX-lX+1

x2+5.r-5_

------------x-1-------------

(3)如果和谐分式工的值为整数.求出所有符合条件的整数x的值.

r-1

【答案】（1）①③

⑵

3+—

x+1

,I

X+6H-----

x-1

⑶。或2

【分析】本题考查了分式的化简，分式有意义的条件.

（1）根据“和谐分式”的定义可判定求解;

（2）根据分式的性质，进行化简求解;

（3）将原式进行化简，根据题意可得x,根据分式有意义的条件进行检验，即可得符合条件的整数x的值.

Y+]Y1I

【详解】(1)解：①—=-+i=l+1,是和谐分式,

XXXX

②芋4+A小，不是和谐分式,

x+2x+l+lx+11

③-=+是和谐分式.

x+\x+1x+\x+1

故答案为：①③.

3x4-73(x+l)+43(x+1)4

(2)解:----=---------=-------1---=3+—

x+1X+1x+\x+1x+1

X2-I-5X-5_(x-l)'+7x-6_(x-l)~+7(x-l)+I

=x+6+—

x-\x-\.r-1.r-1

故答案为:3+—,x+6+—.

X+1x-1

/x2_1+1(x_1)(x+1)+11

(3)解:-------_-------------------_--------------------------------一八十1十-------

x-1x-1X-1

£的值为整数，且•丫为整数,

x-1

“+1为整数,吊整数,

设」~r二左（％为整数）,

x-1

则Al=:，

K

・"为整数,

.1为整数,

A=±1,

当上=1时，x-l=l,解得x=2,

当人=一1时