2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷拔尖卷（沪教版）解析版

八年级数学上学期期中模拟卷.拔尖卷

【沪教版五四制2024]

全解全析

一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，满分12分)

1.关于工的方程无2-2血无+加2=4的两个根％1，义2满足X1=2々+3,且无1>%2，则用的值为()

A.-3B.1C.3D.9

【答案】C

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根.根据。一加+2)。一小一2)=0,xi>x2

得到％i=m+2,x2=m—2,由=2%2+3可得/〃的方程，解用的方程即可.

【详解】解：—2mx+m2=4,

•••(X—771+2)(%—771—2)=0,

：.x—m+2=0或％—m—2=0,

•：X]>x2»

.,.%!=m+2,x2=m-2,

=2x2+3,

•，-m4-2=2(m—2)+3,

解得m=3.

故选：C.

2.已知a的算术平方根是12.3,b的立方根是一45.6,x的平方根是±1平3,y的立方根是456,则％和y分别

是()

ah

A.x=-^,y=100bB.x=1000a,y=—

C.x=就,y=-1000Z?D.x=总,y=1000b

【答案】c

【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到。，。的值，由此可得到％与a和y与5的关系

【详解】解：・••Q的算术平方根是12.3,b的立方根是一45.6,%的平方根是±1.23,y的立方根是456,

.-.a=12.32=100x1.232力=（_45.6）3,

x=1.232,y=1000x45.63

‘X=急y=一10°°爪

故选：C.

【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得U氏与a和y与b的关系是解题的关键.

3.(24-25八年级下•全国•期末)若J1+1)Q_2)2=(2-x)v7TT，则x的取值范围在数轴上表示正确的

是()

c.-3-2-16~1~234D.-3-2-101234

【答案】D

rX2<o

->然后

>'X+1_O

【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解不等式组,、

l

解不等式组并在数轴上表示即可，掌握知识点的应用是解题的关键.

［详解］解：((x+1)(%—2)2=(2_x)Vx+1»

.M-2<0

,•U+1>0'

A-l<x<2,

••.x的取值范围在数轴上表示为，

-3-2-101234

故选:D.

4.(2025•福建三明•一模)已知方程(％—2)(%2-4%+o)=0的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边

边长，则实数a的取值范围是()

A.1<a<3B.1<a<4

C.3<a<4D.2<a<3

【答案】C

【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方

程得到一个解为％=2,结合题意可得%2一轨+。=。方程有两个不相等的正实数根，且|修一益|<2,再进

一步解答即可.

【详解】解；—4%十a)=O,

•,.X-2=0或X2—4x+a=0,

当x-2=0时，则x=2,

当*-轨+Q=0时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，

2

=(—4)—4a>0,%I+%2=4>2,XXX2=a>0,

解得：a<4,

•••方程(％—2)(%2一轨+。)=0的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，

—X2\<2,

•••,(%]+无2)2—4%]无2=V16—4a<2,

••.0<16—4a<4,

解得：3<a<4,

综上：3<Q<4,

故选：C

5.(25-26八年级上•陕西西安•阶段练习)如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入如勺值为32,

那么输出的值为()

A.272B.2C.V2D.±V2

【答案】C

【分析】本题考查程序设计与实数运算，求立方根，求算术平方根.

根据程序框图，将％=32代入，按照运算法则计算即可.

【详解】解：32X(-2)=-64,

V-64=—4,

-4<0,

(-4)x(-2)=8,

V8=2,

2>0,

2的算术平方根为VL

••・输出的值为五.

故选；C.

6.（2025•浙江•模拟预测）设关于x的方程。好+（Q+2）%+9。=0有两个不相等的实数根.口，x2,且

X1<1<x2,那么实数a的取值范围是（）

22222

A.a<——B.—C.a>-D.——<a<0

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及不等式的综合应用.根据一元二次

方程的根的判别式，建立关于4的不等式，求出4的取值范围.又因为勺V1<%2，所以（不-1）（%2—1）

<0,即%1%2—（入1+%2）+1<°，利用根与系数的关系，

【详解】解：％•方程有两个不相等的实数根，

；.aH0J1A>0,

.,.（a+2）2—4ax9a=-35a2+4a+4>0,

解得—y<a<

,a+2

••%+%2=--，XlX2=9，

又•.*1<1<X2,

—1V0,%2—1>0,

—1）（^2—1）<0,

：.xAx2-（xj+x2）+1<0,即9+等+1VO,

解得一卷<aV0,

:.a的取值范围是一元<a<0.

故选：D.

二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）

7.（24-25八年级下•内蒙古赤峰•期末）若何能与最简二次根式V7TT合并，则》的值为.

【答案】4

【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌

握同类二次根式是解题的关键.

【洋解】解：由质=2西，

・•・能与最简二次根式GTT合并，

.•.%+1=5,解得：x=4,

故答案为:4.

8.已知(7+y2+i)&2+y2+2)=6,则好+产的值为__

【答案】1

【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设t=/+y2,原方程变形为£2+31-4=0,然后利用因式

分解法解得G=1,4=-4,进而求解即可.

【详解】设t=/+y2

+y2+1)(/+y2+2)=6

•e•(t+l)(t+2)=6

：.t2+2£+£+2—6=0

.*.t2+3t—4=0

•"•(t—l)(t+4)=0

.-.t-1=0或亡+4=0

.••ti=1,0=—4

vt=x2+y2>0

:*2=-4应舍去

At=1

.-.x2+y2=1.

故答案为：1.

9.(2025•河北沧州•模拟预测)若—而<a+1,则正整数a的值是.

【答案】4

【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键.先进行二次根式的

加减运算，然后估算结果的值即可.

【详解】解：V80-V20，

=4遮-2西，

=2啊,

•••42<(2㈣2V52,

.*.4<2V5<5,

・•.正整数Q的值4.

故答案为；4.

10.(24-25七年级下•北京•期中)小篇-7T普石二

vb-vlO2V3+3V2

【答案】-2V3-V5+V2

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，先进行分母有理化，然后再进行计算，即可解答.

【详解】解：舄

203班

26(遥+VT5)_________7^(2点-3•)

(V6-710)(76+V10)(2V3+3V2)(273-372)

x<12+V202VT8-3V12

------2-+6

=—V3—V5+V2—V3

=-2•一西+我，

故答案为：-273-V5+V2.

11.(24-25七年级下•陕西榆林•期中)若正数加的两个不同的平方根分别为2x+l和x+8,贝卜一瓶+1的

立方根为.

【答案】-3

【分析】本题主要考查了平方根的定义和立方根的定义，根据平方根的定义可得出2x+l=—%—8,解一

元一次方程求出x，再求出小，代入代数式求出代数式的值，再根据立方根的定义求出立方根即可.

【详解】解：•.•正数，〃的两个不同的平方根分别为2%+1和％+8,

--.2x+1=—x—8,

解得：x=-3,

'.m=(2x+I)2=[2x(—3)4-1]2=25,

••X-ni+1=-3-25+1=-27,

^27=-3,

故答案为：一3

12.(24-25七年级上•浙江杭州•开学考试)若将一个棱长为10cm的立方体体积减少V(cm3),而保留立方

体形状不变，则棱长应减少cm(用含V的代数式表示)，若V=875cm3,则棱长应减少cm.

【答案】(10-V1000-K)5

【分析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后

立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把P=875cm3代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关

键.

【详解】解；•••立方体的棱长为10cm,

.••立方体的体积为1。3=1000cm3,

二立方体体积减少V(cm3)后剩余的体积为(1000-7)cm3,

，此时的棱长为YlOOO-1/cm,

•••棱长应减少(10-V1000-V)cm,

当U=875cm3时，10-V1000-V=10-V1000-875=10-V125=10-5=5cm,

.•.若V=875cm3,则棱长应减少5cm,

故答案为：(10-V1000-7)：5.

13.(25-26八年级上•上海•阶段练习)化简：.

【答案】—aV—b—

【分析】本题主要考杳根式化简，根据二次根式确定Q<0,bWO是解题的关犍.

根据二次根式一层匕20,£20解得aVO,b<0,然后化简即可.

【详解】根据题意，QAO,-a2b>0,

又。2>0,所以6工0,

小0,.

原式二V—cfib-Ja2•g=-ay/-b-Vad.

故答案为：—a,-VHS.

14.(2025•江苏苏州•模拟预测)若a是方程/+%—1=0的根，则代数式2025+。2的值是.

【答案】2028

【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根

据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算

法则化简求值是解决问题的关键.

【详解】解：：Q是方程“2十%-1=0的根，

a2+a—1=0,即小=1—a,

・•・2025+02+2

1

=2025+(l-a)+^—

(1-a)21

=2025+\———+-——

a2-2a+2

=2025+-----------

1—a

(1—Q)—2(-._

=2025+-----7--------

1-a

3(1—a)

=2025+-4-----

1-a

=2025+3

=2028,

故答案为：2028.

15.(24-25九年级下•安徽芜湖•阶段练习)把一条线分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长

线段与整条线段之比，这个比值就是黄金数，即为年.比较大小：铝卷(填或"二〃)

【答案】>

【分析】本题考查了用求差法比较实数的大小，因为毛一白二"严，其中如行一时>0,所以

可得："s11—丹〉0,从而可得：

【详解】解：写一卷=增产=丝铲二号严，

2262626

•••、砺>V841»

•••\领一vW>0,

•年Y”

.三二二

2>13，

故答案为：>.

________________2___________

16.(25-26八年级上•陕西西安•阶段练习)已知—100)2+«98—x)=200,y=y/m+24+

+的匚正，y-x的立方根是.

【答案】连

【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的立方根，先因为ja—ioo)2+(标V)

=200,得出X498,x-100<0,即可化简得100—X+98—工=200,算出工的值，因为y=，zn+24+

Vm-1+71-m,得m=l,求出m的值、y的值，代入y-x,即可作答.

.__________,______2

【详解】解：v7(x-100)2+(V98-X)=200,

:.x<98,x—100<0,

二原式=100—x+98-x=200,

解得％=—1,

vy=yjm+24+Vm—14-V1—

.•.m-1>0,1—m>0,

•••m=1,

则:y=Vl+24+行=！+Vl^l=V25=5,

••.y—x=5—(—1)=5+1=6,

则N-x的立方根为痣，

故答案为：V6.

17.若关于x的一元二次方程/-3%+Tn?+m=0(m>0),当m=1,2,3,•••,2022时，相应的一元二次方程

的两根分别记为即，1泌2，夕2；。2c22—2022,则2+京++看+…短+瓦、的值为«

6066

【答案】

2023

【分析】利用根与系数的关系得到+夕1=3,a〔0i=1X2;+02=3,。2角=2X3;...Q022+?2022

=3,散。22%022=2022x2023：把原式变形，再代入，即可求出答案.

【详解】解：vx2—3x+m2+m=0,m=1,2,3,•••,2022,

二由根与系数的关系得：。1+£1=3,1131=1x2;做+62=3,1232=2X3;..02022+。2022=3,

^2022^2022=2022X2023：

原式=++..，022+%。22

a1l。2。2（^202202022

3,3,3

1x2+2x3+,…2022x2023

11111

=3x

2十23十…’20222023

=3x（1-盛）

2022

=J>2023

6066

二2023

故答案为：黑

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若打，功是一元二次方程ax2+W:+c=0(a00)的两

根时，+%2=—务Xi%=三.

2

18.（24-25七年级下•广东湛江•期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，

它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数.如3.15的整数部分为3,小数部分为3.15-3=0.15.如果

6+VTT的小数部分是TH,6—JIT的整数部分是几，那么m—九-VTT的值为.

【答案】-5

【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，由夹逼法可得3<vn<4,即得9V6+VTTV10,

2<6-VlT<3,进而求出m、n的徜，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键.

【详解】解：V3<V11<4,

.*.9<6+V11<10,2<6-V1T<3,

••・6+ar的小数部分是m,6—而1的整数部分是几，

.•.m=6+V1T—9=V1T—3,n=2,

-n—Vil=711—3—2—Vil=-5,

故答案为：一5.

三、解答题（本大题共8小题，满分52分）

19.（6分）我们用⑷表示不大于Q的最大整数，a-⑷的值称为数a的小数部分,如［2.13］=2,2.13的小

数部分为2.13—［2.13］=0.13.

（1）［73］=,［V7］=,九的小数部分=：

（2）设通的小数部分为a,求a+［V13］-西的值；

⑶已知10+K=x+y,其中％是整数，且0<y<l,求x-y的相反数.

【答案】（1）1,2,TT-3

（2）1

（3）73-12

【分析】（1）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点即可求得［巡］和［夕］;已知

［同，则可求得兀的小数部分；

（2）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点可求得病的整数部分和小数部分，进

而可求得Q,遵循同样步骤可求得［而如将Q利旧］代入原式即可得解；

（3）利用有理数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算：不等式的性质等知识点可求得10+K的

取值范围，进而根据已知条件可求得％和y,于是可求得％-y,并最终求得x-y的相反数.

【详解】（1）解：•••lv3V4,

1<V3<2,

••・[间=1,

v4<7<9,

2<V7<3,

••・西=2,

团=3,

•••兀的小数部分为"一比]=兀-3,

故答案为：1，2,7T-3；

(2)解：v4<5<9,

2<V5<3,

“网=2,

•••本的小数部分为遍-[㈣=遥-2,

a—V5-2,

•••9V13<16,

3<g<4,

•••[炳=3,

.•.G+[V13]-V5=V5-2+3-V5=1：

(3)解：v1<3<4,

1<V3<2,

11<104-V3<12,

v104-V3=x+y,工是整数，且Ovyvl,

••・x=ll,y=10+V3-x=10-I-V3-11=V3-1,

•*-x—y=11—(V3—1)=11—>/3+1=12—r

・•・x-y的相反数为百-12.

【点睛】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，入等式的性质,

求相反数等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键.

20.(6分)阅读理解，观察下列式子：

@V8+\n^8=2+(-2)=0：

②VI+=14-(-1)=0；

@VTOOO+V-1000=10+(-10)=0；

④肾宁=2-2。：

根据上述等式反映的规律，回答如下问题：

⑴由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数。，b,若

,则VH+VF=o；反之也成立.

（2）根据上述的真命题，解答问题：柠VI二^与疹，5的值互为相反数，求一怎的值.

【答案】（l）a+b=O

⑵-4

【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键.

（1）用含服匕的式子表达规律即可得答案；

（2）根据题意列出•元••次方程，解方程求出x的值即可，进而求得算术平方根，即可.

【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数。、b,若Q+b=O,则言+好=0,

故答案为：a+b=0.

（2）解：若调二育与氏铳的值互为相反数，则2—3%+2%+6=0,

解得：x=8.

-V2x=—V16=—4

21.（6分）（24-25八年级上•广东佛山・期末）如图1,若干张边长处、Q、/…的正方形纸片，面积分为

51、$2、S3...,且有以下关系:

=2x14-1=3,a1=6

S2=2x24-1=5,。2=V5

S3=2x34-1=7,。3=V7

（1）填空：S5=,Sn=（用含正整数n的式子表示）：

⑵如图2,在大正方形纸片中放置两个小正方形，面积分别为Siz，S13,重叠部分是一个面枳为Si的正方形,

求空白部分的面积；

⑶如图3,有一张面积为S40的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为4:3,面积为120,能将这张

贺七不折叠的放入此信封吗？为什么？

【答案】（1氏=11,Sn=2n+1

（2）S空=20V3-12

⑶正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由见解析

【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的实际应用，算术平方根的实际应用：

（1）根据已有等式进行推导即可得出结果；

（2）根据空白部分的面积等于大正方形的面积减去Si2,减去S13,再加上S1，进行求解即可；

（3）设长方形的长为4右宽为3x,列出方程求出长和宽，比较宽与面积为54。的正方形的边长大小，即可

得出结论.

（详解】（1）解：=2X1+1=3,

52=2x2+1=5,

S3=2x34-1=7,

:.Ss=2x5+1=11,=2n4-1；

（2）由（1）可得：Si=2x1+1=3,512=2x12+1=25,S13=2x13+1=27,

.•。［2=5,。13=3遍，

,.aj=3V3

大正方形的边长为：。12+。13—ai=5+3V3-V3=5+2^3>

••・空白部分的面积=（5+2V3）2-25-27+3=20百一12：

（3）正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下：

设长方形的长为4右宽为3x,则：4"3%=120,

:X=V10.

•••长方形的宽为：3V10,

,.So=2x40+1=81,

=9,

•••3/10>9,

•••正方形卡片能够直接装进长方形封皮中.

22.（6分）（24-25九年级上福建宁德•期中）已知：实数?n满足am2十8徵卜1=O（a#0）.

⑴求证:b2-4a>0：

⑵若Q,匕都是奇数，关于m的方程。62+匕瓶+1=0是否有整数根？并说明理由；

(3)若a=7,b=13,n2+13n+7=0,求"巾+,+1的值.

【答案】⑴见解析

⑵无整数根，见解析

⑶T

【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系.

(1)根据一元二次方程根的判别式可得〃-4xax120,即可得证；

(2)利用反证法求解即可；

(3)先证明出小、:是方程7d+13%+1=0的两根，再由一元二次方程根与系数的关系得出血+：=—孩,

nn7

=a代入计算即可得解.

【详解】(1)解:•••实数满足的2+bm+1=0,

二关于m的方程am?+bm+1=0有解，

，报—4xax1>0,

:B-4a>0

(2)解：无整数根，理由如下：

假设有整数根，

若加为奇数时，

••,a,b都是奇数,

.'.am2+bm+1为奇数，与如心+bm+1=0相矛盾；

若加为偶数时，

,:a,b都是奇数,

.,.am2+bm+1为奇数，与am?4-1=0相矛盾；

二假设错误，

综上所述，方程am2+1=0无整数根；

(3)解：若Q=7,b=13,则77n2+i3m+1=0,

vn2+13n+7=0,

•4+?+l=0,

••.〃?、3是方程7/+13x+1=。的两根,

,11311

.••TH+-=m--=-

n7n7

mn+6m+l.6m,113,6«

——=7n+V+；=-T+7=-1

23.（6分）（2025•江苏扬州•二模）定义：我们把一个整数Q平方后得到的数。2称为完全平方数.例如:

32=9,02=0,（-5）2=25,我们就将9,0,25这些数都称为完全平方数.

⑴如果一个完全平方数次满足61工。24120,则满足条件Q的值为_（请写出所有满足条件的数）；

（2）n是正整数,如果n-20和n+21都是完全平方数,求n的值;

⑶如果关于“的一元二次方程+2（2。_i）x+4（a-3）=0至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正

整数Q的值.

［答案］⑴±8；±9；±10

(2)420

（3）1：3；6；10

【分析】本题主要考查了平方根、平方差公式、一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关

键.

（1）直接运用平方根的知识估算即可解答；

（2）设八-20=I,九+21=八m为正整数，易得（m+A）（m—k）=41,由1只有因数1和41,可

列方程组求得:3，最后代入即可求得n的值；

（3）关于x的一元二次方程a/+2（2。一1户+4伍-3）=0至少有一个整数解，根据根的判别式可得

a>-1,则％=一（2a-i）±、，鱼亘,由方程的解为正整数，屈不T为整数，设我不TT=k，则8。+1=攵2,

oa

解得：。=01=生陪］,设k=2m+l可得a=誓辿，然后代入验证即可解答.

oO/

【详解】（1）解：••,61工。2<120,

.-.49<61<a2<120<121,

.-.49<a2<121,

二7V\a\<11,

.•横足条件a的值为±8、±9、±10.

(2)解.：设"-20=攵2,〃+21=租2,八m为正整数,

.,.m2—k2=n+21—(n—20)=41,

•••(m+k)(m-/c)=41,

•••41只有因数1和41,

・••{/:屋本解得:管:拈

vn-20=k2,

.•.ri=k2+20=202+20=420.

（3）解：,.・关于丁的一元二次方程。产+2（2。-1万+4（（1—3）=0至少有一个整数解,

=[2(2a-I)]2-4a•4(a-3)=32a+4>0恒成立，即a

.v_一2(2a-l)±，32a+4_-(2a-l)±V^TT__2+1土、^I

••%-1i'-

2aa一a

•••因为方程至少有一个整数解且a是正整数,

.1++8a+1“戈1—，8十+1为整数,

设带巨=k（"为非负整数），则8。+1=k2,解得：。=恪1=如华山,

oO

为正整数,

M为正奇数，月.kwl,

(2m+l+l)(2m+l-l)4(m+l>n_m(m+l)

设A=2m+1（m为正整数）则Q=

88―2

当加=1时，a=1,1±迤亘=*符合题意；

a

当m=2时，a=3,1±迤亘=2,符合题意；

a

当m=3时，a=6,邈亘=-1,符合题意:

a

当机=4时，Q=10,土也±1=1,符合题意；

a

当仇=5时，Q=15,生匹1=叫＜1,上年亘=_3＞一1,不符合题意;

aQ15

当n＞4时，a＞10,此时0＜出恒1＜1,一1＜上叵亘vo,都不是整数；

aa

••・满足题意的正整数a的值是：1:3；6：10.

24.（6分）（24-25八年级上•湖南永州•期末）像＞/4-2g,VV48-V45,这样的根式叫做复合二次根

式.有-•些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如:

4-2V3=V3-2V3+1=J(v3)2-2x/3x1+12=J(百一1相=近一1再如:

』+26=JJ(v3)2+2XV3xV2+(V2)2=J(V3+V2)2=V3+V2

3+276+2=

请用上述方法探索并解决下列问题：

(1)化简：V10+2VH：

(2)化简：V14-8V3;

⑶计算：V3-2V2+V5-2V6+yj7-2\fl2+…+72023-2^1023132+72025-2V1O12X1013：.

【答案】(1)百+近

(2)2四一石

(3)71013-1

【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根

式的性质是解题的关键.

(1)利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；

(2)利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解：

(3)根据题意找出规律进行求解即可.

【详解】(1)解：V10+2VH

=^3+2721+7

=J(6V+2V3XV7+(V7)2

=J(V3+V7)2

=V3+V7：

(2)解:714-8^3

=J14-2V48

=J8-2V48+6

=J(倔屋-2V8xV6+(V6)2

=J(我一遍f

=2^2—V6；

(3)解：vV3-2V2=J(V2-1)2=V2-1,

V5-2V6=J(百一&f=V3-V2,

7-2412=J(2-V3)2=2一

;对第于〃项，形式可表不为J(2〃+1)—2J,1(71十1),

二可化简为(2n+1)—2y/n(n+1)=J(Vn4-1—Vn)2=Vn+1—Vn

式中最后一项为J2025-2V1012X10后,

•••2025=2x1012+1,

.-.n=1012,

二最后一项化简为：V3-2V2+45-2n+V7-2V12+…+，/2023-271023132+

V2025-2V1012X1013=(V2-1)+(V3-V2)+(V4-V3)+•••+(V1012-ViOlT)+

(71013-71012)

=V1013-1.

25.（8分）根据以下素材，完成下列任务.

背景素材

随着“绿色出行，低碳生活"理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人

们喜爱的交通工具.新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不

背景需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护

环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求

逐年上升.

某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断

素材1增多，该品牌新能源汽车的销售股逐月递增，3月份的销售最达到

5.07万辆.

某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公

司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发

素材2

现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价

每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使

平均每盾的销售利润为96万元.

问题解决

根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平

任务1

均增长率.

根据素材2,为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求

任务2

下调后每辆汽车的售价.

【答案】任务1：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%：任务2：下调后每辆

汽车的售价为21万元

【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准

等量关系，正确列出一元二次方程.

任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为S根据某品牌新能源汽车1月份销

售量为3万辆，3月份的销售量达到5.07万辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；

(2)设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为(y—15)万元，平均每周可售出(58—2y)

辆，根据使平均每周的销售利润为96万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.

【详解】任务1：解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为为

根据题意得:3(1+刈2=537,

解得：不=0.3=30%,无2=-2.3(舍去)，

答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%；

任务2：设卜调后每辆汽车的售价为y万元.则每辆汽车的销售利润为(y-15)万元，平均每周可售出8+雪

xl=(58-2y)辆，

根据题意得:(y-15)(58-2y)=96,

解得：力=21,y2=23,

・•・此次销售尽量让利于顾客，

••.y=21,

答：下调后每辆汽车的售价为21万元.

26.(8分)(2025•湖南长沙•二模)我们知道：关于％的一元二次方程aX2+bx+c=0(QH0,a,b,c均

为整数)，如果b2-4QCN0时，这个方程的实数根就可以表示为工=但容亚，其中炉一4函就叫做一元

2a

一次方程根的判别式,我们用A表示，即A=b2—4ag通过观察公式，我们可以发现,如果△的值是一个完

全平方数(若九二巾2(爪为整数)，则n是一个完全平方数)时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是

如果一元二次方程的根都为整数，△的值一定是一个完全平方数.

例：方程2X2—%—1=0,△=/)2—4ac=(-I)2—4X2X(-1)=9=32,A的值是一个完全平方数，但

是该方程的根为勺=1,x2=-p不都为整数；方程/-6工+8=0的两根治=2,七=4,都为整数，此

时A=b2-4ac=(-6)2-4xlx8=4=22,A的值是一个完全平方数.

我们定义：两根都为整数的一元二次方程Q产+b%+c=0(aHO,a，b,。均为整数)称为“幸运方程”，两

整数根称为"幸运根"，代数式与产的值为该“幸运方程〃的“幸运数〃，用尸(a,b,c)表示，即/(。力,c)=

4。；；”.若有另一个“幸运方程"px2+qx+r=o(p^o,p,q,r均为整数)的"幸运数”为F(pqr),若

r-F(a/,c)=c•F(p,q,r),则称F(a,b,c)与尸(p,q,r)互为"开心数”.

⑴关于％的一元二次方程必-(m+l)x+m=0是一个"幸运方程

①当m=2时，该幸运方程的"幸运数"是；

②若该幸运方程的"幸运数”是一1，则小的值为.

⑵若关于41勺一元二次方程'2—(2m一1口+加2—2m一3=0(m为整数，且4VmV15)是“幸运方程〃，

求m的值及该方程的“幸运数”；

⑶若关于“的一元二次方程/一瓶工+血+1=o与％2一(几+2)%+2几=0(血、日均为整数)都是“幸运方

程〃，且其“幸运数〃互为“开心数”，求n的值.

【答案】⑴①一右②一1或3；

(2)加=9,该方程的“幸运数”为一日

(3)n=3或n=0

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“幸运方程”