2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷拔尖卷（人教版）解析版

八年级数学上学期期中模拟卷.拔尖卷【人教版

全解全析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（25-26八年级上•安徽芜湖•阶段练习）如图所示的是可调躺椅的示意图，AE与BD的交点为C,且4C4B,

1844E保持不变.为了舒适，需调整乙。的大小，若使乙EFD=110。，则图中乙。应减少（）

【答案】A

【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识.延长E尸交8。

于点G,由图可知，^CAB=50°,Z.CBA=60°,zE=30°,则/ECG==70。，根据三角形的外角性

质可得NOG尸=100。，进而得到当NEFO=110。时，ZD=Z.EFD-£.DGF=10°,即可求解.

【详解】解：如图，延长EF交BD于点G,

由图可知，Z-CAB=50°,Z.CBA=60°,Z.E=30°,

乙ECG=Z.ACB=1800-Z.CAB-LCBA=70°,

:.乙DGF=ZE+乙ECG=30°4-70°=100°,

■:Z-EFD=110°,

:.ZD=^.EFD-^DGF=110°-100°=10°,

则图中NO应减少20。-10°=10°,

故选：A.

2.如图，△ABC是等边三角形，。是BC边上的动点（不与点8,C重合），连结力。，点E,尸分别在线段

AB,AC的延长线上，且DE=D9=4。，在动点。从点8运动到点C的过程中，△BED与△CFD的周长之和

的变化情况为（）

A.一直变大B.一直变小

C.先变大后变小D.先变小后变大

【答案】D

【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确找出

两个全等三角形是解题关键.设等边△ABC的边长为Q,则BC=a,先根据等边三角形的性质可得

Z.ABC=/-ACB=乙BAC=60°,从而可得/OBE=乙FCD=120°,再证出4BEO=乙CDF,然后证出

△BED^△CDF,根据全等三角形的性质可得8E=CD,8D=C/，从而可得△与△CFD的周长之和为

2a+2AZ）,最后根据的值的变化情况即可得出答案.

【详解】解：设等边△4BC的边长为。，则8C=a,

•・•△4RC是等边三角形，

“ABC=乙ACB=Z.BAC=60°,

••ZDBE=Z.FCD=120°,

,：DE=DF=AD,

:.Z.DAE=LDEA,Z.DAF=Z.DFA,

I&LDAE=乙DEA=x,则乙OF4=Z-DAF=Z.BAC-LDAE=60°-%,

•.•乙D厂月十乙CDF=Z-ACB=60°,

.^CDF=60°-^DFA=xt

"BED=乙CDF=x,

在aBED和△CD?中，

乙DBE=乙FCD

乙BED=乙CDF,

DE=FD

△BED三△CDF(AAS),

=CD,BD=CF,

△BED与△C/D的周长之和为BO-l-BE+DE+CD+CF+DF

=BD+CD+AD+CD+BD+AD

=2(80+CD)+2AD

=2BC+2AD

=2a+2AD,

△BED与△CTD的周长之和随春4D的变化而变化，

由垂线段最短可知，当4D_LBC时，力。的值最小，

二在动点。从点8运动到点C的过程中，4。的值是先变小后变大，

•••在动点。从点B运动到点C的过程中，△BED与△CFD的周长之和的变化情况为先变小后变大，

故选：D.

3.如图，力。是△A8C的角平分线，CE1AD,垂足为F.若乙SB=30。，△8=55。，则匕的度数为

()

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】B

【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的

知识求出相应各个角的度数是解题的关键.

根据三角形的内角和求出乙95。，再求出乙以1。=△=15。，然后通过证明△ACFw△力EF、

△4CD三并利用全等三角形的性质。C=DE,再利用外角的性质求解即可.

【详解】解：••2&4B=30°,48=55°,

:zACB=180°-4CAB一乙B=180°-30°-55°=95°,

,:CE1AD,

.-.Z.AFC=/-AFE=90°,

•MD是△ABC的角平分线,

.'.ACAD=^EAD=\/-CAB=1x30°=15°,

又•./尸=AF,

△ACF^△4"（ASA）,

'.AC=AE,

,­•AD=AD,Z.CAD=Z.EAD,

△AC1。三△力E〃（SAS）,

:.DC=DE,

"DCE=乙DEC,

“ACE=90°-4CAE=90°-15°=75。，

:/DCE=乙DEC=Z-ACB-^ACE=95°-75°=20°,

“BDE=乙DCE+乙DEC=20°+20°=40°.

故选：B.

4.（25-26八年级上•河北邢台•阶段练习）如图，小明在计算机上川“几何画板〃画了一个，MON=70。，点

A,8分别在射线OM,ON上（均不与点。重合），△AOB的角平分线AC与角平分线8。交于点E.随着点

A,4位置的变化，对于4MD8和Z4E从下列判断正确的是（）

A.(MDB和44E8的度数均会改变

B.4M08和4力E8的度数均不会改变

C.只有乙MOB的度数不会改变

D.只有NAE8的度数不会改变

【答案】D

【分析】本题考查三角形的角平分线，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理

和三角形外角的性质是解题的关键.

由角平分线得到乙OB。=/A80,^OAC=^OAB,从而根据三角形外角的性质得到/M08=44。8+

Z.A3O,即可判断4MD8的度数会改变.由上/1E8=+zG4DE=^OAB4-LAOB+\z-ABO=90°4-1

乙408=125°,可判断乙4EB的度数不会改变.

【详解】解：•••8D平分〃BO,

.•・乙。8。=2^力80,

:"DB=Z.A0B+乙0BD=70°+^ABO,

•••随着点48位置的改变，乙4B0的大小也随之改变，

••ZM08的度数会改变.

•••AC平分乙。力B,

.-./.OAC=^OAB,

：.LAEB=£.OAC+乙ADE

11

=-乙OAB+乙4。8+5乙48。

乙乙

1

=-(Z.OAB+Z.ABO)+/-AOB

1

=5(180。一4408)+4力。3

1

=90°+-^.AOB

乙

1

=90°+-x70°

乙

=125%

二随着点44位置的改变，44EB的度数不会改变.

故选：D

5.如图，在△力BC中，AB=AC,D为BC上的一点,Z.BAD=28°,在40的右侧作△4OE,使得

AE=AD,/-DAE=^BAC,连接CE、DE,DE交AC于点。，若CEIL4B,则4DOC的度数为()

A.124°B.102°C.92°D.88°

【答案】C

【分析】根据题意由SAS可证△48"2\力£。，得至忆WO=2CE,结合两直线平行，同旁内角互补和等

边对等角可推由4力80=^BCA=^ACE=1X1800=60。，从而得到△ABC是等边三角形，进而推出△ADE

是等边三角形，可知N4DE=60。，=LBAC-£.BAD=32°,由三角形外角的性质即可求得答案.

【详解】解：-^DAE=ABAC,

：.Z.DAE-Z.DAC=Z.BAC-Z.DAC,^/.EAC=乙DAB,

=AC,AE=AD,

/.△ABD^△AEC(SAS),

;.乙ABD=Z.ACE,

-CEWAB,

：./-ABD+乙BCE=180°,

.'.Z.ABD+Z,BCA+Z-ACE=180°,

-AB=AC,

.'./.ABD=Z.BCA,

"BD=Z.BCA=Z-ACE=；x180°=60°,

.•・△力8。是等边三角形，

：/3AC=Z.DAE=60°,

-AE=AD,

.•.△4QE是等边三角形，

:./.ADE=60°,

-/.BAD=28°,

.'.Z.OAD=Z.BAC-乙BAD=600-28°=32°,

.-.Z.DOC=40/10+4ADE=32°+60°=92°.

故选:C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，y行线的

性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

6.(25・26八年级上•全国•期中)如图，在△力8c中，LABC=3rC=60°,4D平分交8c于D,

AC=a,AB=b,BPLAD于P,则8P的长为()

A

..„b_a-b>a-b

A.a—bB.a--乙C.—z4-D.—r—

【答案】c

【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，外角的性质.

延长8P交4c于点E,由AD平分乙BAC和BPJLAD,可以证明△ABP三△AEP(ASA),由全等三角形的性质和

匕4。可以证明EB=EC=Q-b,且BP=EP=：BE,屏可求出8。的长.

【详解】解：延长8尸交4c于点E,

•••乙BAD=Z.DAC,

-BPLAD,

LBPA=Z-APE=90°,

在a/lBP与△命2中，

(ZLBAD=LDAC

AP=AP,

.Z.BPA=Z.APE

.♦.△48P£Zk4EP(ASA),

：.LABP=/-AEP,BP=EP=3BE,AB=AE=bf

•:AC=a,

EC=AC—AE=a—b,

•••/4E8是ABEC的一个夕卜角，

:.乙AEB=Z-EBC+zC,

:•乙ABC=Z-ABE+乙EBC=乙AEB+Z.EBC=2乙EBC+ZC,

v/.ABC=3zC,

LEBC=乙c,

：.EB=EC=a—b,

.-.BP=EP=^BE=^（a-b）.

故选：C.

7.如图，正方形48co中，E为BC上一点,过8作8GJ./1E于点G,延长8G至点r使得力G=GF,连接

（卜：AF\若乙DA卜'=a,则乙/儿/一定等于（）

A.aB.60°—2aC.2aD.45°—a

【答案】A

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明全等三角形是解

题的关键；过C作CH18小于“，证明△A8G三△8CH,得AG=BH,BG=CH,从而得CH=FH,得

^HFC=45°,则可求得上D6.

【详解】解：如图，过。作CH1B产于从则=90。；

在正方形ABC。中，AB=BC,/.DAB=Z.ABE=Z.BCD=90°；

-BFLAE,AG=GF,

：.AGAF=45°；

...LBAG=乙DAB-Z-DAF-Z.GAF=45°-a；

•:&BAG+乙ABG=90。，乙ABG+Z.CAH=90°,

£CAH=/.BAG=45。-a；

在AABG与△BCH中，

(Z-BAG=乙CBH

IAAGB=Z-BHC=90°,

IAB=BC

三△BCH(AAS),

：.AG=BH,BG=CH-

-AG=GF,

BH=GF,

即BG+GH=GH+HF,

•••CH=FH；

-CH1BF,

AHFC=45°,

LBCF=180°-Z,CBH-Z,HFC=90°+a,

乙DCF=乙BCF—乙BCD=a.

故选:A.

8.（25-26八年级上•湖北武汉•阶段练习）如图，在△ABC中，454c=90。，AB=AC,E、/分别为48、

4C上的动点，且CT=4E,连接CE,BF,当CE+8/取得最小值时，则CBBE的值为（）

【答案】A

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点C作CN_L4C,使得CN=4C,连接FN,BN,BN

交AC于点、M,证明三△八",得CE+BF=NF+BF,些8、F、N三点共线时+CE的值最小，再

证明三△CNF,得CM=AM,进而可得CF=BE,即可求解.

【详解】解：如图，过点C作GV1/C,使得CN=4C,连接河V,BN,8N交4C于点M,

在AGIE和△NCF中,

(AC=CN

[NA="CN=90°,

IAE=CF

:.△CAE=△NCF(SAS),

:.NF=CE,

.-.CE+BF=NF+BF,

vNF+BF>BN,

・••当8、F、N三点共线时，N尸+B广有最小值，最小值为线段BN的长，且此时点尸与点M重合，

•2ACN=£A=90。，

“BIICN,

山BM=Z-CNM,

又"B=AC,AC=CN,

.-.AB=CN,

在a/BM和△CNM中，

乙ABM=(CNM

AB=CN,

VLA=乙MCN=90°

.•・△A8MwZiCNM(ASA),

.-.AM=MC=^AC,即此时=C尸=4E=/C,

-AB=AC,BE=AB-AE

:.BE==\AC=CF,

.•・此时CF:BE=1:1.

故选:A.

9.(25-26八年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)如图，在△48C中，AB=AC,4847=60。，AD上BC于

D,石是线段月。上一点，尸是边48上一点，且满足Cf=EF,G是8”的中点，连接EG.则下列四个结论

①BD=DC；②4CEF=120。；③乙4CE="E；④当心AEF=15°时，LBEC=150°.其中正确的个数

有()

A

【答案】D

【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为30。的直角三角形的性质，熟练掌握等

腰三角形和等边三角形的性质是解题的关健.连接BE,根据48=AC,，肌4c=60。，证明△ABC是等边三

角形，根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，逐项进行判断即可.

【详解】解：连接BE,如图

-AB=AC,LBAC=60°,

是等边三角形，

.-.AB=AC=BC,/ACB=zBAC=/ABC=60°,

,：AD1BC,

•••BD=CD,故①符合题意：

,：AD1BC,BD=CD,

:.BE=CE,

"BCE=乙CBE,

•：CE=EF,

:.BE=EF,

"FBE=乙BFE,

•.2BFE=Z-BAD+/-AEF,Z.BAD=30°,

:.Z.AEF=乙BFE-/.BAD=乙FBE-30°,

-AD1BC,

.'.LADC=90°,

•：z.AEC=Z.ADC+乙BCE,

.'.Z-AEC=90°+“BE,

-Z-CEF=LAEC+Z-AEF,

"CEF=90°+乙CBE+乙FBE-30°

“ABC=乙FBE+CBE=60°,

“EF=90°+60°-30°=120°,故②符合题意;

,力B=AC,

."ABC=Z.ACBt

•:BE=CE,

:.乙BCE=乙CBE,

；/FDE=Z.ACE,

-BE=EF,

:/FBE=Z.BFE,

“ACE=乙BFE,故③符合题意；

vLAEF=15°,Z-BFE=ABAD+LAEF,

••.WE=300+15°=45°,

•；BE=CE,CE=EF,

:.BE=EF,

・••G为8尸的中点，

.,.BG=GF,

.,.EG1ABt

"EGF=90°,

.•.△EG/为等腰直角三角形，

:.乙乙

BFE=FEG=45°,EG=FGt

.,.BG=FG=EG,

•:乙BGE=90°,

.•.△BGE为等腰直角三角形，

"BEG=45°,

：.LBEC=360°-LBEG-^FEG-LCEF=150°,故④符合题意；

综二分析可知：正确的有4个.

故选：D.

10.（24-25七年级下•重庆・期中）如图，在△48C中,AB=BC.^ABC=30°,点D为4c中点，连接BD,点

E、点"分别为8D、4B上两动点，过点广作FH1."于点H,当月E+E"+取最小值时BH=7则△48C

的面积是（）

【答案】A

【分析】连接CR过点。作4?的对称点0,连接。8,过点F作FN_LB。于点N,作CP18。于点P,证明

AE=CE,FN=FH,那么AE+EF+FH=CE+EF+FNNCP,当点&E,F,N,P共线时.,力E+EF+尸H取

得最小值，记C。卅8交于点Q,可证明△FBN三△HBH（AAS），则此时BN=8H=今可得△0BC为等边三

角形，则8。=BC=84=。。=[,由C,。关于4B对称，得到CQ="。="Q-8,那么由S△4EC=<

ABxCQ,即可求解.

【详解】解：连接CE,过点C作的对称点。，连接。儿过点F作/N1B。于点N,作CP18。于点P,

:.BO=BC,Z.ABO=Z.ABC,

•.•4B=BC/4BC=30。，点D为4C中点,

:.BD1AC,

••."D垂直平分/C,

：.AE=CE,

•：FHIBC,FN1B0,Z.ABO=^ABC,

:.FN=FH,

：.AE+EF+FH=CE+EF+FN>CP,

当点C,瓦F,N,P共线时,4E+E尸+FH取得最小值,如图:

记CO,AD交于点Q,

•：FH1BC,FN1.BO,

:ZFNB=Z.FHB=90°

,:乙ABO=Z.ABC,BF=BF,

△FBN三△FBH(AAS),

.•.此时BN=BH=之,

MAB0=乙ABC=30°,

：/OBC=60°,

叉;BO=BC,

为等边三角形，

'.CO=BO,

：.BO=BC=BA=CO,

"CP1BOf

o

.'.BO=2BN=支

••.BO=BC=BA=CO=1，

•••C,。关于48对称，

...”=*0=*CQ1A8,

CIAC"18416

•'△ABC=乙2AB乙XDC^D=2JX3X3=T,

故选：A.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，轴对称

的性质，线段垂直平分线的性质，难度较大解题的关键在于将/^+£^+产，进行转化.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.（25-26七年级上•重庆万州•阶段练习）如图，在△力BC中，=图中阴影部分的面积

为25平方厘米，则△ABC的面积为平方厘米.

【答案】200

【分析】本题主要考查三角形面积，△4BD与等高，又因为BD=：8C,所以S△酒）=5人4叱同理,

/E=ED,S&BED-^^ABD=gS/S/IBC,即可解答.

【详解】解：因为△4BD与△48C等高，

又因为80=*。，

所以S》80=3S/X/IBC,

同理，AE=EDt

所以SM£O=^^ABD=

所以S△48c=SS^BED=8x25=200（平方厘米）

故答案为:200.

12.（25-26八年级上•江苏泰州阳段练习）如图，△ABC是等边三角形，BC=BD^BAD=25°,则iBCD

的度数为一.

B

【答案】55°

【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用

这些性质进行推理.

由等边三角形的性质可得力8=BC,^ABC=60°,由等腰三角形的性质可求乙=130。，可求解.

【详解】解：•••△ABC是等边三角形，

•••AB=BC,乙ABC=60°,

•:BC=BD,

AB=BD,

LBAD=Z.ADB=25°,

ALABD=130°,

LCBD=70°,

X­••BC=BD,

•••/BCD=乙BDC=1(180°-乙CBD)=55°,

故答案为：55°.

13.如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，41+22+乙3=.

【答案】1357135g

【分析】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.也考查了正方形的性质.如图，根

据题意得DE=BC,EC=AB,GF=GC,/.DEC=^ABC=Z.FGC=90°,先判断△CGF为等腰直角三角形

得到42=45°,再证明△ABC三△CED(SAS),得到=乙DCE,则41+43=90°,从而求出，1+42+43

的度数.

【详解】解：如图,

£B

根据题意得DE=BC,EC=AB,GF=GC,乙DEC=UBC=，FGC=90°,

••.△CG/为等腰直角三角形，

.-.Z2=45°,

AB=CE

在△48C和△CEO中，\Z.ABC=Z.CED,

BC=DE

△ABC三△CED(SAS),

••.Z.1=乙DCE,

•・NDCE+±3=90°,

.-.zl+43=90°,

3I+Z24-Z3=90°+45°=135°.

故答案为：135°.

14.(25-26八年级上•湖北武汉•阶段练习)如图，十△。十ZZ7十二。+乙2十4"的度数是

【答案】360°

【分析】根据三角形内角和定理，对顶角相等，平角的定义，解答即可.

本题考杳了三角形内角和定理，对顶角相等，平角，熟练掌握定理和性质是解题的关键.

【详解】解：如图，根据题意，得乙4二42,且乙1+43+4=180。，

由+zB=180°-zl,zC+zD=180°-z3,zE+Z.F=180°-z2,

故/力+NB+NC+4D+NE+NF=180°一41+180°-Z3+1800-z2

=540°-(ZLl+Z3+42)

=540°-(zl+43+Z4)=540°-180°=360°；

故答案为：360°.

15.(25・26八年级上•江苏南京•阶段练习)如图是5x5的正方形网格，△A8C的顶点都在小正方形的顶点

上，像△4BC这样的三角形叫格点三角形.画与△力BC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三

角形最多可以画个.

/c

【答案】6

【分析】本题考杳全等三角形的性质，三条对应边分别相等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判

定定理是解决问题的关键.可以以4B和BC为公共边分别画出3个，4c不可以，故可求出结果.

【详解】解：以BC为公共边可画出△BDC,△BEC,△BFC三个三角形和原三角形全等.以AB为公共边

可画出三个三角形△4BG,AAEM,和原三角形全等，所以可画出6个这样的三角形.

故答案为：6.

16.如图，在直角三角形ABC中，44cB=90。，。在BC边上，E在4C边上，且

Z/1DE=45°,/-ABC=2/,CDE,AE=3,8。=2,则AB=

【答案】5

【分析】在48上截取力尸=4E,连接。凡先根据三角形的外角性质和直角三角形锐角互余证明

△,4FD=A/!ED(SAS),再根据全等三角形的性质证明8尸=BD,最后由48=4尸+8/求解即可.

【详解】解；在上截取/F=/E=3,连接。F,

A

设/COE=a,则由题意得N/18C=2a,

-Z.ADC=Z-B+/.BAD,Z.ADE=45°,

•••45°+a=2a+乙BAD,

：.LBAD=45°—a,

-Z.ACB=90°,

3AC=90°-Z.ADC=90°-(45°+a)=45°-a,

：.Z.i)AC=/.BAD,

-AD=AD,

三△AEO(SAS),

：.Z.FDA=LEDA=45°,

"8FD=乙FDA+乙FAD=45°+45°-a=90°-a,

“BDF=180°-乙FDE-乙CDE=90°-a,

"BDF=Z.BFD,

:.BF=BD=2,

.\AB=AF+BF=3+2=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性

质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.

三、解答题(本大题共8小题，满分72分)

17.(6分)(25-26八年级上•河北邢台•阶段练习)李明、林红和红军三位同学同时测量AABC的三边长,

李明说：“△48C的周长是16.”红军说:“△ABC的三边长都是整数.〃

⑴芳AC是最大边，则力C的最大长度为；

⑵林红说：的长度为6.”若A/IBC是等腰三角形，求边8C的长度.

【答案】(1)7

(2)BC的长度为4或5或6

【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义；

(1)设三边长分别为AB=c,BC=a,AC=b,则Q+6+C=16,且a,b,c均为正整数，最大边长为

从根据已知条件可以得到三角形的另外两边之和，再根据三角形的三边关系可以得到16—匕>从从而求

得最大边：

(2)设=AC=y,mx+y=10,且x,y为正整数.△48C是等腰三角形，即至少两边相等.分类讨

论即可求解.

【详解】(1)解：设三边长分别为力8=c,BC=a,AC=b,且a,b,c均为正整数，最大边长为b.

•••△ABC的周长是16,

.••a+b+c=16.则Q+c=16—b

根据三角形的三边关系，a+c>b

.--16—b>b

:.b<8,

••力是正整数，贝心的最大值为7,

故答案为：7.

(2)解：知48=6,周长为16,且三边长均为整数，因此8C+4C=16—6=10.

设BC=x,AC=y,Mx+y=10,且x,y为正整数.

△，4BC是等腰三角形，即至少两边相等.可能情形如下：

AB=AC,则y=6,代入无+y=10得x=4.边长为AB=6,AC=6,BC=4,能构成三角形.

AB=BC,则x=6,代入无+y=10得y=4.边长为48=6,BC=6,AC=4,能构成三角形.

BC=AC：即x=y,则x+y=2x=10得%=y=5,边长为=6,BC=5,AC=5,能构成三角形

综上所述，8c的长度为4或5或6

18.(6分)(25-26八年级上•江苏泰州•阶段练习)如图，△力8c中，AB=AC,将3c沿着EF翻折使点4

恰好落在8c上点。处，且。F18C.

⑴求证：ZDFC=-Z-BAC.

⑵延长ED交4C延长线于点G,求证：DF=DG；

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的外角等知识点，熟练掌握相

关知识点，是解题的关键：

（1）过点、力作AHJ.BC于点、”,根据等腰三角形的性质得出NBA"=4&4H证明DFIM”，得出

zDFC=^CAE,即可证明结论；

（2）根据折叠得出4£MC=N£7）F,根据4OFC=得出/£。尸=240产。，

根据NED尸=得出NOFG=4G,根据等腰三角形的判定得出结论；

【详解】（1）证明：过点力作于点〃，如图所示：

.-.Z.BAH=Z.CAH=\LBAC,

.'.AHIBC,DF1BC,

.•.OFII4H,

:.Z.DFC=乙CAH,

:/DFC=^BAC；

(2)解：根据折叠可知：乙BAC=AEDF,

1

vzDFC=

"EDF=2乙DFC,

,:乙EDF=Z.DFC+Z_G,

:zDFG=Z.G,

：.DF=DG.

19.(8分)(25-26八年级上•广东中山•期中)如图1,在△ABC中，AC=BC,^ACB=90°,点。是AB的

中点，点E是边上一点.直线垂直于直线CE,垂足为点F,交CD于点G.

⑴若〃CE=20°,求“"的度数；

(2)求证:AE=CG；

⑶如图2,直线力”垂直于直线CE,垂足为点从交CD的延长线于点M,找出图中与BE相等的线段，并证

明.

【答案】(1)20°

⑵见解析

(3)BE=CM,见解析

【分析】此题考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明三角

形全等是解题的关键.

(1)根据〃CE+乙BCF=90°和乙CBF+乙BCF=90°可得结论：

(2)首先根据点。是48中点，Z.ACB=90°,可得出N4CD="CD=45。，判断出△4ECM△CG8,即可

得出4E=CG；

(3)根据垂直的定义得出NCM/1+4MCH=90。，^BEC+^MCH=90°,再根据/IC=BC,

/.ACM=Z.CBE=45°,得出进而证明出8£=CM.

【详解】(1)解：-BFLCE,

"CBG+乙BCF=90°,

乂..zACE+乙BCF=90°,

"CBG=4ACE=20。；

(2)•••点。是AB中点，AC=BC,乙ACB=90。,

：.CD1AB,/.ACD=乙BCD=45°,

:/CAD=乙CBD=45°,

.,■^.CAE=乙BCG,

在△AEC和ACGB中,

(Z.CAE=乙BCG

AC=BC

./.ACE=Z.CBG

△/4EC=ACGF(ASA),

.,.AE=CG,

(3)BE=CM.理由如下：

vCH1HM,CDLED,

：.LCMA+乙MCH=90°,乙BEC+Z.MCH=90°,

.,.Z.CMA=乙BEC,

又•.△4cM=Z.CBE=45°,

在△BCE和△&4M中，

jBEC=Z.CMA,

Z.ACM=乙CBE,

BC=ACf

:.△BCE=△SM（AAS）,

：.BE=CM.

20.（8分）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副

三角板（在△力8c中，LABC=90°,AB=CB；△DEF中,^DEF=90°,zFDF=30°）,并提出了相应

的问题.

【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段。尸上时，过点A作

AMLDF,垂足为点M,过点C作CN1D凡垂足为点N,

①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论：

vLABC=90°,

:.2ABM+乙CBN=90°,

-.-AM1DF,CN1DF,

：.LAMB=90°,乙CNB=9。。,

LABM4-Z.BAM=90°,

LBAM=乙CBN,

=乙CBN

=乙CNB=90°

AB=BC,

②AM=2,CN=7,则MN=；

【类比】(2)如图2,将两个三角板置放在一起，当顶点8在线段DE上且顶点力在线段后尸上时，过点C作

CP1.DE,垂足为点P,猜想4E,PE,CP的数量关系，并说明理由；

【拓展】(3)如图3,将两个三角板叠放在一起，当顶点力在线段OE上且顶点4在线段EF上时，若

AE=5,BE=1,连接CE贝ij△4CZF的面矛只为.

【答案】(1)①三△BCN(AAS)②9；(2)结论尸E=PC-4E,理由见解析：(3)10

【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键.

(1)①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案；

②由①中△H8M三△BCN(AAS),利用两个三角形全等的性质，得到AM=8N=2,BM=CN=7,即可

得到MN=MB+BN=CN+=9；

(2)根据两个三角形全等的判定定理，得到△ABE三△8CP,利用两个三角形全等的性质，得到4E=8P,

BE=CP,由图中BE=BP+PE,即可得到三者的数量关系；

(3)延长FE,过点。作CP_LFE于P,如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到△ABE三ABCP,从而

PC=BE=1,PB=AE=5,则可求得PE,延长4E,过点。作CF_L/1E于凡如图所示，由平行线间的平行

线段相等可得=尸£=4,代入面积公式得SA45，即可得到答案.

【详解】解：(1)①•.ZA8C=9O。，

:•乙ABM+乙CBN=90°,

-AM1DF,CN1DFf

.•.44MB=90°,/.CNB=90°,

LABM+^BAM=90°,

LBAM=乙CBN,

•:乙BAM=CCBN,Z.AMB=Z.CN3=90°,AB=BC,

AABM三△BCN(AAS)；

故答案为：△ABM三△BCN(AAS)

②由①知△ABM三△BCN(AAS),

.MM=BN,BM=CN,

•：AM=2,CN=7,

：.MN=MB+BN=CN+4M=9：

故答案为：%

(2)结论：PE=PC-AE.理由如下：

•••ZA8C=9O。，

.•ZBE+zCBE=90。，

•••CP1BE,

:.乙CPD=90°,

:.乙BCP+Z-CBP=90°

•••2.ABE=乙BCP,

vLAEB=90°,

•••LAEB=乙CPB=90°,

•；AB=BC,

:.AABEwABCP,

：.AE=BP,BE=CP

vBE=BP+PE,

：.PE=BE-BP=PC-AE-

(3)延长FE,过点。作CPJLFE于尸，如图所示:

•••/4BE+NEBC=90°,^ABE+^BAE=90°,

LEBC=Z-BAE,

VLAEB=乙CPB=90°,AB=BC,

:.AABE三ABCP,

PC=BE=1,PB=AE=5,

:.PE=PB-BE=5—1=4,

延长过点C作于F,如图所示:

-AFIPE,CP工PE,

CP,

-AFIPE,CFLAFf

PEWCF,

由平行线间的平行线段相等可得C广=PE=4,

S^CE=gxAExCF=1x5x4=10.

故答案为：10.

21.（10分）（25-26八年级上山西朔州•阶段练习）如图，是△48C的角平分线，点上在边力。上（不

与点4C重合），连接BE,交力D于点O.

⑴如图1,若4七是△ABC的中线，48=8,8。=5,则△ABE与△8CE的周长差为

⑵如图2,若血C=28。,BE是△ABC的高,则乙4。8的度数为

⑶如图3,若NC=64。，BE是△4BC的角平分线，求乙4。8的度数.

【答案】⑴3

⑵104。

(3)122°

【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和.

(1)由中线的定义得=然后利用周长公式求解即可；

(2)先求出〃80=62。，再根据角平分线的定义求出484。14。，然后利用三角形内角和定理

即可求解；

(3)先由三角形内角和定理求出N84C+N4BC=116。，再根据，力。8=180°—女求解即可.

【详解】(1)•4E是△ABC的中线，

.'.AE=CE,

△4BE与△8CE的周长差为：AB-^-BE+AE-(BC+BE+CE)

=AB+BE+AE-BC-BE-CE

=AB-BC

=8—5=3.

故答案为：3；

(2)•••BE是△48C的高，

.•ZAEB=90°.

V/LBAC=28°.

:ZABO=90°-28°=62°,

“D是△48C的角平分线，

.^8AD=^BAC=14°,

.kAOB=180°-62°-14°=104°.

故答案为：104°；

(3)vzC=64°,

+LABC=180°-64°=116°,

“D是△ABC的角平分线，BE是△ABC的角平分线，

：.L3AO=g乙BAC,乙ABO=\LABC,

・"OB=180°-(4BAO+Z.ABO)

1

=A80°--^BAC+^ABQ

乙

=180°-1x116°=122°.

22.（10分）（25-26八年级上•浙江绍兴•阶段练习）如图，AB=16cm,ACLAB,BDLAB.

/C=BO=12cm,点P在线段48上以4cm/s的速度，由川句B运动，同时点Q在线段80上由B向。运动.

cI。CqA

AM=^PiB/Z一）＜A----------AL---------A-------------

图।图2图3

⑴如图1,若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=l（s），△4CP与△BPQ是否全等？说

明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系：

⑵如图2,将80_14夕改为26718=4081，其他条件不变，若Q的运动速度与P的运动速度不

相等，当Q的运动速度为多少时，能使△4CP与全等.

⑶在图2的基础上延长4C,8。交于点£,使C,。分别是力町BE中点,如图3,若点Q以（2）中的运动速

度从点8出发，点P以原来速度从点力同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q

第一次相遇.

【答案】（1）全等，理由见解析；垂直

（2）6cm/s

（3）24s

【分析】（L）利用SAS证得△ACP三△BPQ,得出乙4cp=®Q,进一步得出

Z.APC+乙BPQ=Z.APC+/-ACP=90°,得出结论即可；

（2）根据Q的运动速度与P的运动速度不相等，可得力PH8Q,那么要使尸与△BPQ全等，则只存在

△,4CP三ABQP这种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可；

（3）因为Q以（2）中的运动速度6cm/s从点8出发，点P以原来速度4cm/s从点4同时出发，都逆时针沿△/BE

三边运动，只能是Q点绕圈追上P点，即点P比点Q多走8E+4E的路程，据此列出方程，解这个方程即可.

【详解】（1）解：全等，理由如下：

当£=l（s）时，AP=BQ=4cm,BP=AB-AP=12cm=AC,

•：ACLAB,BDLAB,

J.NA=Z_B=90°,

在a/lCP与△BPQ中,

(AP=BQ

Z.A=Z.B,

I/IC=BP

.•.△4CP三△BPQ(SAS),

•••LACP=乙BPQ,

.•・LAPC+Z.BPQ=Z.APC+LACP=90°,

"CPQ=90°,

二线段PC与线段PQ垂直.

(2)解:设点Q的运动速度%cm/s,

•••Q的运动速度与P的运动速度不相等，

.,.APHBQ,

vz.4=Z.Z?,

要使△/CP与△BPQ全等,则只存在△ACP=△BQP这种情况，

.-.AC=BQ,AP=BP,

(12=xt

Al4t=16-4t)

解得｛；：3

・•・当点Q的运动速度为6cm/s时，能使△4CP与△RPQ全等.

(3)解：•••C,D分别是力E,BE中点,AC=80=12cm,

:.AE=BE=24cm,

•••Q以(2)中的运动速度6cm/s从点B出发，点P以原来速度4cm/s从点力同时出发，都逆时针沿三边

汪功，

・•・第一次二者相遇时，只能是Q点绕圈追上P点，即点Q比点P多走BE+AE的路程，

设运动时间为m秒，

则6m—4m=24+24,

解得：m=24,

故经过24s,点P与点Q第一次相遇.

23.(12分)△48C为等腰直角三角形，Z.ABC=90°,点、D在AB边上(不与点］、4重合)，以CD为腰

作等腰直角△CDE,ZDCE=90°.

⑴如图1,作E~18C于E求证：ADBgACFE；

⑵在图1中，连接力£交BC于M,如图2,求照的值；

OJ*7

(3)如图3,过点£作E"_LCE交CB的延长线于点〃，过点。作OG_L0C,交AC于点、G,连接G，，当点。在

边48上运动时，探究线段HE,HG与0G之间的数量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)见解析

(2)2

(3)HE=GH+GD,证明见解析

【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE,再利用等角的余角相等得到ZDC8="EF,然后

根据AAS可证明△DBC三△CFEx

(2)由△CBCe△CFE得到BO=CRBC=EF,再利用△4RC为等腰直角三角形得到/R=RC所以

AB=EF,AD=BF,接着证明△三△得到BM=FM,所以右；=2；

(3)在E”上截取EQ=0G,如图3,先证明△C0G三2XCEQ得到CG=CQ,乙DCG=^ECQ,由于

(DCG+乙DCB=45°,则4ECQ4-乙DCB=45。，所以/HCQ=45°,再证明△HCG=△HCQ,则得到"G=HQ,

然后问题可求解.

【详解】(1)证明：•・•△<:/)£为等腰直角三角形，^DCE=90°.

.'.CD=CE,乙DCB+乙ECF=90°,

•••EF1BC,

.•"CF+“EF=90。,

"DCB=Z.CEF,

在ADBC和△CFE中,

ZDBC=Z-CFE

乙DCB=乙CEF,

CD=EC

△DBCm△CFF(AAS)：

(2)解：•••△DBC三△CFE,

：.BD=CF,BC=EF,

•・・△/WC为等腰直角三角形，

.,.A3=BC,

.-.AB=EF,AD=BF,

在△力8M和中，

(Z.AMB=Z.EMF

乙ABM=乙EFM,

AB=EF

△Z?™(AAS)

:.BM=尸M,

：.BF=2BM,

"D=2BM,

,第的值为2;

(3)解：HE=GH+GD,理由如下:

在EH上截取EQ=