2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷（培优卷）（考试范围：第1-4章）解析版

八年级数学上学期期中押题重难点检测卷

（北师大版2024）（培优卷）

全解全析

（满分120分，考试时间120分钟，共25题）

注意事项：

1.本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上；

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；

4.测试范围：北师大版2。24第1一4章：勾股定理、实数、位置与坐标、一次函数；

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）

1.（25-26八年级上•山西晋中•期中）下列二次根式是最简二次根式的是（）

A.B.C.y/sD.

【答案】A

【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键.

最简二次根式：被开方数不能含有能开方的数或因式：被开方数中不能含有分母；分母中不能含有二次根

式；由此即可求解.

【详解】解：A、9是最简二次根式，符合题意;

175

B、耳F原选项不是最简二次根式，不符合题意;

C、瓜=2五,原选项不是最简二次根式，不符合题意;

D、原选项不是最简二次根式，不符合题意;

故选：A.

2.（25-26八年级上•云南昆明,期中）若点4（。,一份在第二象限，则点8（一血6）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】本题主要考查象限点的概念，熟悉各象限点的特征是解题的关键.

由题知“VO,-b>0,解得接着得到-"<0,再根据象限点的特征判断即可.

【详解】解：因为点/（凡一8）在第二象限，

所以。<（）,—力>0,解得。<0/<0,

所以-ab<0,又b<0,

所以点在第三象限.

故选：C.

3.（25・26八年级上•福建三明,期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误

的，这组错误的数据是（）

A.B.（0,2）C.D.（2,-6）

【答案】A

【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键.

在坐标系中描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论.

【详解】解:如图所示,

点（-1,3）和其它三个点不在同一条直线上,

••・错误的数据是（T3）,

故选：A.

4.（25-26八年级上•福建三明•期中）对于一次函数y=2x-l,下列结论不正确的是（）

A.它的图像与歹轴交于点（0,-1）B.V随X的增大而增大

C.它的图像经过第一、二、三象限D.它的图像与直线y=2x+5平行

【答案】C

【分析】本题考查了一次函数图像的性质，掌握一次函数解析式中各项系数与图像的特点是解题的关键.

根据一次函数解析式得到，一次函数图像经过第一、三、四象限，由此即可求解.

【详解】解：•次函数y=2x—1,

当x=0时，y=-1,

••・它的图像与V轴交于点（0，-1）,故A选项正确，不符合题意；

・••一次函数图像经过第一、三、四象限，v随方的增大而增大，故B选项正确，不符合题意，c选项错误,

符合题意：

•••一次函数歹=2x-l向上平移6个单位，得到一次函数y=2x+5,

,它的图像与直线y=2x+5平行，故D选项正确，不符合题意；

故选：C.

5.125-26八年级上•山西太原•期中）如图，在数轴上，点4对应的数是1,点。对应的数是3,线段4814c

于点力，且线段48长为1个单位长度，若以点C为圆心，3C长为半径的弧交数轴于0和1之间的点。，

A.3-^5B.V5-2C.710-2D.3-V10

【答案】A

【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴上的点是解题的关键.由

勾股定理得3c=J力）+力。?，求出8C,由PC=BC即可求解.

【详解】解：由题意得，JC=3-1=2,AB=\

在Rt△历1C中，BC=LB、AC?=Jl+22=石,

PC=BC=,

.•.P表示的实数为3-b.

故选：A.

6.（25-26八年级上•广东揭阳•期中）如图，将长方形纸片折叠，使边。。落在对角线力C上，折痕为

CE,且。点落在对角线。处，若48=9,/1。=12,则切=（）

8C

9n

3C-

A.-2B.2

【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出力。的长，由折叠的性质得到

DE=D£NE£＞，C=ND=90。，根据+S.以-列式求解即可.

【详解】解：由题意得，CD=AB=9,ZD=90°,

-AC=y/AD2+CD2=15；

由折叠的性质可得。£Z£^C=ZD=90°,

・・QQ

•°cACD一干°RDCE，

：.-AD•CD=-CD-DEAC-DE,

222

/.-x9xl2=-x9Z）E+ixl57）E,

222

:.DE=-,

2

故选：A.

7.（25・26八年级上•浙江宁波・期中）Rt△/8C中，4c8=90。，以ZUBC的每条边为边按如图方向作三个

正方形，分别是正方形正方形BCPQ,正方・形/CE产，且点N恰好是笈”的中点.若图中阴影部

分面积为9,则正方形48/MV的面积是（）

A.27B.36C.40D.45

【答案】D

【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，设CE,MN交于G,CP,BM交于H,可

证明△在4V0△C48(ASA),得到尸N=8C；再证明从C、4三点共线，则可证明/NGgACB/ASA),得

=+

到S"NG=S&CBH»根据S正方形BCPQ^^BCHS四边腕QPH=AE.VG+S四边机3”=9,得到BU=9，则

JC2=(25C)2=36,由勾股定理可得/32=4。2+3。2=45,则正方形/8A/N的面积是45.

【详解】解：如图所示，设CE,MN交于G,CP,BM交手H,

由正方形的性质可得NF=ZBAN=ZACB=90°,AC=AF=EF,

NFAN+NON=ZCAB+ZCAN,

:"FAN=NCAB,

.•.△FANaCAB(ASA),

FN=BC；

•・•点N恰好是E尸的中点,

EN=FN=>EF=1AC=BC；

22

由正方形的性质可得NBCP=/NEG=90°,/4CE=ZM=90°,

.•ZCE+4C8=180°,

:.E、C、B:点共线，

•.•NENG+/EGN=9。。,/MGB+/MBG=90。,/EGN=/MGB,

ZENG=NCBH,

：oENG&CBH〈ASA),

S'ENG~SMBH，

+

SjE方形8CTQ=SABCH,崔世彤BQPH=4ENG+''四必彩9,

••・8。2=9,

.-./1C2=(25C)2=36,

­■AB2=AC2+BC2=45,

.••正方形川城处的面积是45,

故选:D.

B

8.(25-26八年级上•安徽淮北•期中)在平面直角坐标系中，有若干个横坐标、纵坐标都是整数的点，我们

称它们为“整点”.把这些点按图中箭头标注的顺序排列，第1个点是(。,0),第2个点是(0』)，第3个点是

(1/)，第4个点是(1,0)……根据这个规律，第2025个点是()

2-

73J|IcT3^4门5口167x

(1,0)(1,0)(5,0)(7,0)

A.(1011,1)B.(1012,1)C.(1011,0)D.(1012,0)

【答案】D

【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键.

根据图形推导出当〃=506时，第2024个点的坐标为：(1011,0),再往后推1个点即可得到答案.

【详解】解：由图可知：第4个点的坐标为：(1,0),

第8个点的坐标为：(3,0),

第12个点的坐标为：(5,0),

・•・第4〃个点的坐标为：(2〃-1,0),

当〃=506时，第2024个点的坐标为：（1011,0）,

第2025个点的坐标为：（1012,0）.

故选：D.

9.（24-25八年级上•福建厦门•期中）如图，已知点户在第一象限角平分线。。上，若NAPB

是直角顶点，点P在。。上，角两边与x轴y轴分别交于彳点，8点，则。4+0?等于（）

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知6〃L4=3〃L1,求出点P的

坐标为（2,2）,过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为。、E,由点Q的坐标知，

PE=PD=OD=OE=2,证明△P£Mg—EB（SAS）,得出=即可得解，熟练掌握以上知识点并灵

活运用是解此题的关键.

【详解】解：由条件可知6加一4=3〃?一1,

解得：m=\,

则点P的坐标为（2,2）,

过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为。、E,如图，

•••ZEPD=/EPB+NBPD=90°,

•••4BPA=NDPA+NBPD=90°,

•••4EPB=ZDPA,

由点尸的坐标知，PE=PD=OD=OE=2t

.•.△PD4且WB(SAS),

•••DA=BE,

.-.OA+OB=OD+DA+OB=OD+BE+OB=OD+OE=2+2=4.

答案：D.

10.(2024八年级上•安徽蚌埠•期中)甲、乙两车从力地出发，匀速驶往〃地.乙车出发lh后，甲车才沿相

同的路线开始行驶.甲车先到达6地并停留30分钟后，乂以原速按原路线返回，直至与乙车相遇.图中的

折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离V(km)与甲车行驶的时间x(h)的函数关系的图象，则()

A.甲车速度是120h??/hB.A、8两地的距离是360km

C.乙车出发4.5h时甲车到达4地D.甲车出发4.5h最终与乙车相遇

【答案】C

【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题.

分析两车之间的距高y(km)与甲车行驶的时间x(h)的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解.

【详解】解：点(0,60)中可知，乙1小时行驶了60km,

•••乙的速度60km/h,

点(1.5,0)中可知，L5h后，甲追上乙,

二甲的速度为缈。4)=100(hn/h).

1.5

由点仇80)可知，甲到4地，且甲乙相差80km,贝1|：

b=——----F1.5=3.5,

100-60

点(c,。)可知，休息30分钟,

.,•c=3.5+0.5=4,a=80-60x0.5=50；

点(d,0)可知，甲乙再次相遇，d=4+需/=4+2=4；

1UU+Iolo

A.甲车的速度是lOOkm/h,故A错误，不符合题意:

B.由以上分析已知甲出发3.5h后到达H地，且甲速度为100km/h,所以力，8两地为100x3.5=350（km）,

故B错误，不符合题意；

C.甲车3.5h到达8地，乙车比甲车早出发lh,所以乙车出发4.5h时甲车到达台地，故C正碓，符合题意；

D.从上中（150）和00）可知，甲出发1.5h和45h与乙车相遇，故D错误，不符合题意.

故选：C.

第H卷（非选择题）

二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）

H.（25-26八年级上•福建三明•期中）在0.14,y,正，），历这五个实数中，其中是无理数的有几

个.

【答案】2

【分析】本胭考查了无理数定义，结合数值判断即可.

【详解】解：无理数有三种形式：无限不循环小数、开方开不尽的数、含有北的数，

所以无理数有：叵，兀,

故答案为：2.

12.（25-26八年级上•黑龙江哈尔滨•期中）已知点P（叽4）与点0（-3,〃-1）关于y轴而称，则跖+〃=.

【答案】8

【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于对称轴对称的点的坐标特征.

根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同“求出〃?，〃的值，再代入解答即可.

〃-1二4

【详解】解：根据题意得，，，

]〃=5

解得？，

m=3

二〃7+〃=3+5=8,

故答案为：8.

13.（25-26八年级上,山西太原•期中）某初中数学小组参加项目学习，他们的项目课题是《测最吊车起重臂

顶端与地面的距离》，他们的项目对象是吊车，如图为某吊车操年示意图，吊车作业时是通过液压杆C。的

伸缩使起重臂N8绕点8转动的，从而使得起重臂完成升降作业（起重臂的长度也可以伸缩），如果起重

臂48=2折米，点8到地面的距离8K=1.8米，钢丝绳所在直线[小垂直地面于点尸，点4至必尸的距离

8G=6米,则吊车起重臂的顶端A到地面的距离AF=米.

【答案】5.8

【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，由勾股定理得/1G=J//2—3G2，即可求解.

【详解】解：由题意得FG=BE=1.8,

在RtAUGS中，

AG=>iAB2-BG2

=^(2V13)2-62=4,

AF=AG+FG

=4+1.8=5.8(米)，

故答案为：5.8.

14.(22-23七年级下•陕西西安•期中)在平面直角坐标系中，点力(-2,2),8(1,4),C(x,y)f若力C〃x轴,

则线段4。的值最小时，点。的坐标为.

【答案】(1,2)

【分析】本题考查的是坐标与图形，垂线段的性质.先根据轴得出y的值，再由垂线段最短即可得

出工的值，进而得出结论.

【详解】解：••FC〃x轴，4(-2,2),

「•点C在直线卜=2,

垂线段最短，

:.当BC1力。时，线段8C最短，

•；以1,4),

x=I,

「•线段8c的值最小时，点。的坐标为(1,2),

故答案为：(1,2).

15.(25-26八年级上•山西太原•期中)如图，动点£,P分别是正方形48CO的边4C,CD上的动点，沿

AE,力。折叠正方形，点8,O的对应点恰好都落在O处，若dB=9,当点P是C。边的三等分点时，BE

的长为.

【答案】］9或9;(4.5或1.8)

【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段.

由题意可知，需要分为点尸位「哪近点。的三等分点和点尸位于靠近点C的三等分点两种情况进行讨论，

根据题意可得。P,CP的长度，设出8E的长度，由折叠的性质可依次求出CE,PE的长度，由勾股定理可

知，CP2+CE2=PE2,建立方程并解方程即可得解.

【详解】如图1所示，当点。位于靠近点。的三等分点时，

由题意可知，AB=BC=CD=AD=9,

DP=-CD=3

3f

:.CP=CD-DP=9-3=6,

由折叠的性质可知，。?=。尸=3,

设=

则由折售的性质可知，OE=BE=x,

PE-OE+OP=x+3,

又CE=BC-BE=9-x,

在RtZXPCE中，由勾股定理可知，CP2+CE2=PE2

.\62+(9-X)2=(X+3)2,

整理得，24x=l()8,

9

解得，》=5，

9

・•・当点P位于靠近点C的三等分点时，5E的长为三.

如图2所示，当点P位于靠近点C的三等分点时，

2

由题意可知，DP=-CD=6,

:.CP=CD-DP=9-6=3,

由折叠的性质可知，OP=DP=6,

此时，设吟九

则由折登的性质可知，OE=BE=y,

PE=OE+OP=y+6,

又CE=BC-BE=9-y,

在RtZ\PCE中，由勾股定理可知，CP2+CE2=PE2,

，32+(97)2=(y+6『，

整理得，30y=54,

9

解得，y=

9

・•・当点尸位于靠近点C的三等分点时，BE的长为《.

99

综上所述，当点P是8边的三等分点时，4E的长为§或

图I图2

16.(24-25八年级上•四川成都•期中)对于线段48外一点M,给出如下定义：若点M满足

-MB-\=AB2,则称A/为线段力4的垂点.当=或A"=/14时，称A/为线段的等垂点.在

平面直角坐标系直沙中，已知点P&1),。(，+2,0).

p

oQX

（1）如图，，=（）时，直线），=-,+〃上存在线段〃。的等垂点，则6=—：

Z

（2）44。的顶点坐标分别为力8（1,1）,C（0,4）,若边上（包含顶点）存在线段〃。的垂点,

则『的取值范围是—.

【答案】'7或一]3-4</<1

【分析】（1）设点”是直线丁=-；x+8上存在的线段尸。的等垂点，根据垂点的定义得到“。,尸。于点。

（1A1

或〃尸，尸。上点、P,则M+b,分y=—；x+/）在线段P0上方和下方，两种情况讨论求解即可；

（2）根据新定义结合（1）知，△川5c边I：（包含顶点）的点的直线与线段尸。垂直，当C2'_LP'。'时，则

NP'Q'C=90。，此时/有最小值，此时，。'（-2,0）,求出直线。。的解析式为y=2》+4；再求出平行于直线

C0的直线的解析式为y=2x-l,当点/过直线y=2x-l时，比时f有最大值，即可得出答案.

【详解】解：（I）当1=（）时，点尸（0,1）,。（2,0）,

设点用是直线y=-gx+Z）上存在的线段尸。的等垂点，

由垂点的定义得—M?卜尸C,

当M尸-"。2=。。2时，^MP2=PQ2+MQ2,

则NMQP=90。，即MQ1尸。于点。，

222

当M尸2-M02=-尸。2时，^\]MP+PQ=MQ,

则NMPQ=90°,即MP1尸。于点P,

如图，当MP上PQ于点、P,且直线y=-gx+b在线段尸。上方时，

1）

则Mm,--^m+b\,

过点M作A/GJLy釉「点G,

由等垂点的定义得A"=P。，

."PGM=ZQOP=90。，

：.AMPG+4PMG=90°,/QPO+/MPG=90°,

"MG=AQPO,

.•.△PMG%0PO（AAS）,

：.MG=OP=\,PG=OQ=2,

.-.OG=OP+PG=\+2=3t

m=Im=1

1人，，解得：，L7;

—ni+b=3b——

22

当直线y=-§,i+〃在线段〃。下方时，

则〃(〃?'，-g〃?'+bj,过点作轴于点儿

同理可得：

w=­Im=1

1,.»解得：，,3:

—ni+b=-lh——

22

-gx+力在线段?。上方日寸,

同理可得：M"（3,2）,

m=3m=3

•,」1,解得：7:

——m+b=2b=—

22

当1尸。于点0,且直线9=—gx+8在线段产。下方时，

同理可得：

in=1ni=1

•,」1,解得：\L3：

——ni+b=-2b=——

22

73

综上，8的值为:或-三；

22

73

故答案为：a或-不；

（2）・••△49C边.上（包含顶点）存在线段尸。的垂点，

同理⑴知,ZU8C边上（包含顶点）的点的直线与线段尸。垂直,

如图,

当C0_LP0时，则NP0C=9O。，此时F有最小值,

.^Q,2+CQ,2=PfC2,即[(/7-2『+(1-0)[+[(0-/-2『+(4-0)2卜(07)2+(4一1)2,

•••5+4+f2+4(+16=J+9，

解得：/=-4；

此时,。'（-2,0）,

设直线。。'的解析式为y=〃ix+〃,

-2m+〃=0

则:，解得:m=2,

〃=4

•・•直线C。'的解析式为N=2x+4；

设平行于直线。。'的直线的解析式为N=2》+〃'，

当此直线过点4时，贝I」1=2+〃'，解得"=-1,

・•・平行于直线c。'的直线的解析式为歹=2.”1,

•.C℃Q,

••・尸。」直线丁=2》一1,

当点"过直线歹=2%-1时，此时f有最大值，

则」=291,

解得：/=1,此时，8两点重合(不符合题意)，

•••/的取值范围是-4W1；

故答案为：-4</<l.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何图形综合，掌握新定义、学会对动点

在直线上运动进行几何模型构建，能充分利用数形结合思想解决实际问题是解题的关键.

三、解答题(9小题，共72分)

17.(25-26八年级上•四川内江・期中)计算.

(1)-12024—1-73-2卜V—27+1(-3)2；

(2)4(X-1)2=36.

【答案】(1)6+3

(2)/=4,x2=-2

【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键.

(1)根据立方根定义，算术平方根定义和绝对值的意义，进行求解即可；

(2)根据平方根定义解方程即可.

【详解】⑴解：一产一椁一2卜不万+

=-1-(2-3)+3

=-l-2+G+3+3

=6+3.

(2)解：4(X-1)2=36,

方程两边同除以4得：(X-1)2=9,

开平方得：x-l=±3,

2=4,x2=-2.

18.（25・26九年级上•福建泉州•期中）已知x=4+VJ,y=4-6,分别求下列代数式的值.

（l）x2-/.

⑵/F+V.

【答案】（1）16々

⑵25

【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键：

（1）利用平方差公式法进行因式分解，整体代入法进行计算即可；

（2）利用完全平方公式进行因式分解，整体代入法进行计算即可.

【详解】（1）解：•.==4+百，j=4一百，

x+=8,x—y=2>/3,.ry=（4+百）（4-G）=16-3=13,

x'-y~=（x+>>）（x-y）=8x2^3=16\/3；

（2）x2-xy+y2=（x-y\+xy

=（2^）2+13

=12+13=25.

19.（25-26八年级上•江苏南通・期中）如图，已知△/班?的三个顶点分别为力（2,3）、8（3,1）、C（-2,-2）.

（1）请在图中作出ZU8C关于x轴对称的图形必£尸（4、B、。的对应点分别是。、£、F）.

（2）求四边形/加EO的面积.

【答案】（1）图见解析

(2)4

【分析】本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积公式等知识.

(1)分别画出力、B、。三点关于x釉的对称点。、E、尸即可解决问题；

(2)根据四边形力用切是等腰梯形，利用梯形的面积公式即可解决问题.

【详解】(1)解：如图所示：即为所求；

(2)解:四边形力“*力的面积为：1x(6+2)xl=4.

20.(25-26八年级上山西晋中•期中)如图,方格纸中每个小方格的边长均为1.

(1)在图1中，以力B为边画一个Rt△4BC,使得力C=48,N8/IC=90。，并直接写出△48C的面积.

(2)在图2中，画一个△44。，使得4B=戊,BC=2应,AC=屈.

(3)在图3中，画一个△48C,使得力8=不,8。=布,/。=屈，并计算△48。的面积.

【答案】⑴图见解析，y

(2)图见解析

(3)图见解析，g

【分析】本题考查了作图•应用与设计作图、勾股定理逆定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点,

解决本题的关键是根据网格准确画图.

（1）在图1中，画一个以为直角边的等腰直角三角形即可；

（2）在图2中，根据网格利用勾股定理即可画一个三角形，使它的三边长分别为：

AB=&BC=20AC=M;

（3）在图2中，根据网格利用勾股定理即可画•个三角形，使它的三边K分别为：

AB=瓜BC=M,AC=4H，根据割补法求面积即可.

I,

222222222

AC=3+2=l3tAB=3+2=13,BC=5+l=26,

:.心+AB?=BC2,AC=AB.

ZBAC=90°,AC=AB

.•.Rt"5c即为所求（答案不唯）.

.•.△.sc的面积为:x拒

=68C="+22=272,AC=V32+l2=厢，

则。即为所求（答案不唯一）.

（3）解：如答图3,

AAB="+]2=V5,BC=V32+l2=Vlo,JC=V32+22=Vil，

答图3

则A/IBC即为所求(答案不唯一).

1117

•••5A^c=3x3-yxlx3--x1x2--x2x3=-.

21.(24-25八年级下•山西大同•期中)小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到

体育场，到达赛场后观看比赛用了lh,看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同

时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返【可家中，结果比姐姐早40min到家，姐姐从家出发开始计时，

两人离家的距离J，(m)与所用时间/(min)之间的关系图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：

(I)填空：。=，b=：

(2)求出小亮从体育场出发的过程中，小亮与姐姐第一次相遇距出发的时间.

【答案】(1)40,70

(2)8min

【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息.

(1)由姐姐从离家到回到家,共用IOx2+6O=8O(min),即可求出6=80-10=70,而小亮比姐姐早40min

到家，故。=80-40=40,即可解答；

(2)设小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为zmin,根据题意列方程可解得答案.

【详解】(1)解：根据已知,姐姐从离家到回到家,共用10x2+60=80(min),

.•./>=80-1()=70,

••,小亮比姐姐早40min到家,

“=80-40=40,

故答案为：40,70；

（2）设小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为fmin,

2000“八八2000

根据题意得:----1=2000------(

1040

解得y8,

••・小亮与姐组第•次相遇距出发的时间为8min.

22.（25-26八年级上•福建三明•期中）我们知道（6+&）（有-旬=1,因此将下：五分子、分母同时乘

“0-旧,分母就变成了I,原式可以化简为G-拉，所以有百:拉=6-五

请仿照上面的方法，解决卜列各题.

⑴化简：用T——5云T——

(2)根据以上规律计算卜.列式子的值：

1][]]

V2+1V3+V2V4+V3V5+V4……V2025+V2024*

【答案】（1）太一石，V5-2

⑵44

【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字类规律探究，熟练掌握分母有理化是解答的关

健.

（1）利用分母有理化的计算方法求解即可；

（2）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可.

1y/b-y/5/7G

【详解】⑴解：ET曲均即一码="-6

।必2r-

V5+2（75+2）（V5-2），

故答案为：瓜V5-2.

]J〃+l-y/nI~~-f-

⑵解:而T+4=.+国gm

1111

♦十---•••+

"y/2+lV3+V2"+6V2025+V2024

=M/2-1+>/3-V2+V4-V3+---+X/2025-V2024

=^^2025-1

=45-1

=44.

23.(24-25八年级上•甘肃兰州•期中)如图，在长方形。力8。中，。为平面直角坐标系的原点，点坐标为

(。,0),点。的坐标为(01)，且°、力满足J^J+|b-6|=0,点8在第一象限内，点尸从原点出发，以每

秒2个单位长度的速度沿着的线路移动.

(1)求点4B,。的坐标.

(2)当点尸移动4秒时，请求出点P的坐标.

(3)当点P移动到距离x轴3个单位长度时，求点P移动的时间.

【答案】(1)点力的坐标是(4,0),点8的坐标是(4,6),点C的坐标是(0,6).

(2)点尸的坐标是(4,4)

(3)点P移动的时间是4.5秒或7.5秒.

【分析】本题考查坐标与图形的性质，非负性的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件,

利用数形结合的思想解答问题.

(1)利用非负数的性质可以求得。、6的值，根据长方形的性质，可以求得点8的坐标；

(2)根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着Of的线路移动，可以

得到当点尸移动4秒时，点P的位置和点P的坐标；

(3)由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点尸移动的时间即可.

【详解】(1)解：•••〃、8满足五二1+|力一6|=0,

二。一4=G,b-6=0,

解得Q=4,6=6,

•••点力的坐标是(4,0),点8的坐标是(4,6),点。的坐标是(0,6).

(2)解：•.•点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着。74-87CTO的线路移动，

・•・点尸的路程:2x4=8,

•.•0力=4,48=6,

・•・当点。移动4秒时，在线段力4上，』P=8-4=4,

即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是（4,4）.

（3）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，

第一种情况，当点P在力B上时.

点尸移动的时间是：（5+4）+2=4.5（秒），

第二种情况，当点P在。。上时，

点尸移动的时间是：[2x（4+6）-5]+2=7.5（秒），

故在移动过程中，当点尸到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是4.5秒或7.5秒.

24.（25-26八年级上•江苏宿迁•期中）在中，乙4cB=90°,点、D,E分别是初，8c上的点，连

接DE.

⑴【基础设问】若点E为8C的中点，BC=8,DE=3,BD=5,则△也乃是一三角形.（填“等腰”“等边”或“直

角”）

（2）如图1,连接力E,若/£1平分/A/。，DE1AB,BD=4,/?C=8,则班•一

（3）如图2,若仙=w,DE1AB,求证：点E在/的平分线上.

（4）【能力设问】如图3,点尸在力C上运动，尸。始终保持与必相等，£尸是8。的垂直平分线，交8。于

点尸.

①判断OE与。尸的位置关系，并说明理由；

②若力。=4,8c=6,PA=\,求线段。石的长.

【答案】（1）直角

（2）5

（3）见解析

（4）©DE±DP,理由见解析；（2）y

【分析】（1）先根据中点的定义得8E=g8C=4,再利用勾股定理逆定理求解即可；

（2）先根据角平分线的性质得。£=。£,设8£=。，则。£=C£=8-。，利用勾股定理列方程求解即可;

(3)连接力E,证明RtA/OEgRt△/CE(HL)得NC4E=/D4E,即可得出结论；

(4)①由PD=R4得，ZJ=Z.PDA,由线段垂直平分线的性质得DE=5E,NEDB=",进而可推出

ZPDA+ZEDB=90°,进步可得结论：

②连接PE，设£>E=8E=x,则CE=6-x,根据勾股定理列方程求解即可.

【详解】(1)解：•••点E为8c的中点，8c=8,

：.BE=LBC=4,

2

•:DE=3,BD=5,且32+42=52,

；•DE2+BE2=BD?，

・•.△BQE是直角三角形，

故答案为：直角；

(2)解：平分N5/1C,DE1AB,ZACB=9()°,

:.CE=DE,

设=则。E=CE=8-〃，

在中，BD2+DE2=BE2,

.\16+(8-t/)2=a2,

...Q=5,

即BE=5,

故答案为：5；

(3)证明：如图，连接力£,

NADE=NC=90。,

在Rt“DE和RUACE中,

AD=AC

AE=AE

,RL/OE丝Rl"CE（HL）,

/.ZCAE=ZDAE,

•••点E在ZBAC的平分线上；

(4)解：①DE工DP,理由如下：

由题意知，PD=PA,

：.Z4=NPDA,

•二£尸是6。的垂直平分线，

；.DE=BE,/EDB=,

•••ZA+N8=180°—NC=90°,

:./PDA+NEDB=90。,

£PDE=180。-(NPD4+ZEDB)=90°,

/.DEXDP；

②如图1,连接产K,设DE=BE=x,贝l」CE=6-X,

;.PD=1,PC=3,

由勾股定理，»PE1=PC2+CE2=32+（6-x）2,PE2=PD2+DE2=\2+X2,

即32+（6-X）2=12+X2,

11

:.x=—,

3

••・线段3E的长为蓝.

【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定及应

用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点.解题的关键是能够灵活应用相关知识点.

25.（24-25八年级上•四川成都・期中）如图，已知直线y=x-2分别与x轴，轴交于力，B两点,直线

OG：y=<0）交力"于点。.

图1

⑴求人B两点的坐标;

(2)如图1,点E是线段。8的中点，连接力E,点尸是射线OG上一点，当OG_L/1E,且OF=4£时，在x

轴二找一点。，当PE+尸。的值最小时，求出△力尸E的面积;

(3)如图2,若k=-2,过8点作8c||0G,交x轴于点C,此时在x轴上是否存在点M,使

NO8M+/O8C=45。，若存在，求出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)X(2,0),5(0)-2)

喈

T0

【分析】(1)令x=0,求4点坐标，令y=0,求力点坐标;

(2)过尸点作尸爪轴交于点忆证明△4OEgAOM，(AAS),可求/点坐标，作E点关于工轴的对称点

£1'，连接EZ)交x轴于点P,当E'、。、尸三点共线时，PE+PO的值最小，再由尸(L-2)在直线