2024北师大版八年级数学上册第五章《二元一次方程组》每课时教学设计汇编（含个教学设计）

第五章二元一次方程组

1认识二元一次方程组

一、学习任务分析

方程是刻画现实世界数最关系的有效数学模型，其本质是联系已知晟和未知量之间的关

系，借助己知量，求出未知量。二元一次方程是方程的一个重要类型，获得其概念要经历从

特殊到一般的抽象概括的过程，进而建立二元一次方程（组）的模型。“认识二元一次方程

组”是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”的第一节，由于本节课

是章节起始课，所以要重点引导学生明白为什么要学习这个新的方程模型，在概念引入时,

可以采用实例引入和类比教学相结合的教学方法，帮助学生体会到学习本节课的必要性。同

时，《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生能根据现实情境理解方程的意义，能

根据具体问题中的数曷关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数曷关系的有效数学模型。

因此，本节课选择了贴近学生生活的实例，帮助学生建立二元一次方程和二元一次方程组的

概念，引导学生在具体问题中探索数量关系，体会模型思想。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生在七年级已经初步建立了方程的概念，学习了什么是一元一

次方程，可以类比一元一次方程的“元”和“次”去发现和认识二元一次方程的概念。

学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经具有在实际情境中寻找等量

关系的经验，会设一个未知数并列出方程，初步感受模型思想，枳累了利用方程解决实际问

题的经验。学生在之前已经学习了大晟的数学概念，对数学概念的建立并不陌生，尤其是在

学习一元一次方程时，学生己经经历过从具体情境中抽象出一元一次方程概念的过程，具备

初步的建模思想。

三、教学目标

1.通过对实际问题的分析，能列出二元一次方程及二元一次方程组。感受学习二元一次

方程的必要性和优越性，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型。

2.经历估计方程和方程组解的过程，理解二元一次方程和二元一次方程组的解的意

义，并会判断一组数是不是某个二元一次方程或二元一次方程组的解。

3.培养学生在解决实际问题时，能从数学的角度发现问题和提出问题、分析问题和解

决问题的能力，体会数学与现实生活的联系。

教学重点：了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，会判断一组数是不是

某个二元一次方程组的解，

教学难点：从实际问题中建立二元•次方程(组)，体会方程是刻画现实世界数量关

系的有效数学模型。

四、教学过程设计

【笫一环节】问题情境，引入方程

1.活动内容

(1)情境感知

小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种攸绿植

比小颖多2株，如果将小颖栽种的绿植减少1株，将小明栽种的绿植增加1株，那么小明栽

种的绿植数量是小颖的2倍。

①这个情境涉及哪些量？

②这些量之间有怎样的等量关系？请用文字语言列出等量关系。

③设小明栽种了x株绿植，小颖栽种了y株绿植，由此你能得到怎样的方程？

(2)尝试•思考

周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们一共8人，买门票花了34元。已知每

张成人票5元，每张学生票3元。

①这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？

②设他们中有成人x人、学生)，人，由此你能得到怎样的方程？

2.活动目的

在“情境感知”中，根据实际情境创设问题串，引导学生认识情境中的“量”，感知量

与量之间的等量关系，并尝试引入未知数，建立方程，唤醒学生已有的认知经验.

在“尝试•思考”中，通过生活情境问题，引导学生提取信息获得等量关系，具体的过

程是先用文字语言表示等量关系，再引入未知数，将等量关系转化为用方程表示。

3.注意事项

在“情境感知”教学中，教师要引导学生对种植问题进行自主探索，并尝试解决。解题

过程中学生可能会使用一元一次方程的方法。教师要鼓励学生尝试用多种方法解决问胭，使

学生充分体会不同方法的特点。

在“尝试•思考”教学中，教师可以根据学生的生活实际和认知水平，创设更丰富、更

贴近学生生活的现实情境，还可以请学生自行列举生活口与两个未知量相关的实际问题，充

分体会方程的模型思想。

【第二环节】归纳共性，生成概念

1.活动内容

（1）观察・思考

在上面两个情境中，我们分别得到方程：工一），=2和”+1=2（），一1）,以及x+y=8

和5x+3y=34。

①观察这些方程，它们有什么共同特征？（提示：可以从等号左右两边代数式的特征、

未知数的个数、未知数的次数等方面思考）

②你能类比一元一次方程的定义来归纳这类方程的定义吗？

（2）归纳概念

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。

强化理解：①含有两个未知数：②含有未知数的项的次数都是1:③是整式方程；④整

理后两个未知数的系数不为Oo

（3）辨析概念

问题I下列方程中，是二元一次方程的有o（填序号）

①xy+2x-y=7；②4x+l=x-y；@—+y=5；®x=y；⑤/-），二1；

x

@6x-2y；Q）x+y+z=1；©y（y-l）=2y2-y2+x；©—+y=5o

问题2已知（。-2）/收+3y=1是关于x,），的二元一次方程，求。的值。

2.活动目的

通过对比所列的4个方程，引导学生观察两个问题口所得方程的共性，进而尝试归纳出

二元一次方程的概念。学生大胆表达观察到的方程的共性特征，经历小组合作交流，提炼出

类似“一个等式，两个未知数，未知数的项的次数都是1,整式方程”等共性，提高观察、

归纳和表达的能力。

通过辨析概念进一步明晰二元一次方程的概念，掌握判断一个方程是否为二元一次方程

的关键点。

3.注意事项

新的概念生成后一定要及时进行辨析，辨析的方式可以与之前学习的一元一次方程进行

类比辨析，也可以采用正例与反例的对比辨析，还可以在解决实际问题中明确二元一次方程

的概念。

【第三环节】思考交流，理解方程组

1.活动内容

（1）思考・交流

在上面的方程x+y=8和5x+3y=34中，丫所表示的对象相同吗？），呢？与同伴进行

交流。

方程x+y=8和5x+3y=34中，x,），所表示的对象分别相同。因此，x,y必须同时

满足方程x+y=8和5x+3y=34。把它们联立起来，得

x+y=8,

5x+3y=34。

（2）观察归纳：像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作

二元一次方程组。

强化理解：①方程组各方程中同一字母必须代表同一个量；

②二元一次方程组中的方程可以只含有一个未知数，但两个方程合起来有两个未知数：

③表示时需要加上大括号。

（3）辨析概念

11।

x=2,工+y=0,x=l,_—二b—I—=1,

在方程组：①《②，©­%y

py-x=l；3x-y=5；y=l；x+2y=3；

x+y=1；

⑥,'+,，=0,中，是二元一次方程组的有______________。（填序号）

3x+z=l

2.活动目的

通过呼应情境问题，使学生认识两个方程中的实际意义，其代表的对象分别相同，

从而将两个方程组联立，形成一个方程组，进而自然地引出二元一次方程组的概念。本环节

学生通过经历“自主归纳一对比认知一体会差异一深入理解”的探究过程，加深对二元一次

方程组的定义的理解。

3.注意事项

这个环节要着重关注学生是否能区别二元一次方程和二元一次方程组的概念，并能用自

己的话或者列举具体的实例进行说明。情境中所列举的两个方程组只是我们最常见的一类,

事实上，共含有两个未知数的几个一次方程组成的一组方程，都是二元一次方程组。

【第四环节】对比理解，方程（组）的解

1.活动内容

（1）尝试・思考

®x=6,），=2满足方程=8吗？

@x=5,y=3满足方程x+y=8吗？

③x=4,），=4满足方程x+y=8吗？你还能找到其他x,J，的值满足方程x+y=8

吗？

④通过上面问题总结：什么是二元一次方程的解？二元一次方程的解有什么特点？

归纳小结：便一个二亓一次方程左、右两妨的俏相等的一组未知数的俏，叫作议个二元

一次方程的一个解。

强化理解：a.二元一次方程的每个解都是一对数值；

b.一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。（换言之，一个二元一次方程确定不了

两个未知数。）

（2）类比迁移

①x=5,），=3满足方程5*十3），=34吗？x=2,），=8呢？

②你能找到一组x,的值，同时满足方程x+），=8和5x+3），=34吗？

③通过上面问题总结:什么是二元一次方程组的解？二元一次方程组的解有什么特点？

归纳小结：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。

（3）典型例题

①下列五组值中，1孟二元一次方程x-2y=\的解是_________o

x=l,fx=(),[x=1,[x=-1,(x=2,

A.B.

y=1：[y=-0.5；[y=0；[y=-l；[y=L

卜+2y=10,

②二元一次方程组，/的解是_________0

[v=2x

x=4,x—3,x—2,x—4,

A.B.C.D.

y=3；y=6；[y=4；[y=2o

（4）能力提升

x+4y=+6,

①若关于-y的方程组2一"的解满足中=9,则加的值为

②a.找到几组满足方程x+），=0的x,），的值。

b.找到几组满足方程・）=2的达），的值。

c.找出一组乂y的值，使它们同时满足方程4+），=。和五-），=2。

x+V=0

d.根据上面的结论，你能直接写出二元一次方程组-,的解吗？

x-y=2

2.活动目的

基于原有的二元一次方程（组）建立方程（组）解的概念，从特殊的几组解出发，让学

牛理解二元一次方程解的不唯一性,掌握二亓一次方程的解是有序数对。在此某础匕让学

生进一步理解二元一次方程组的解需要同时满足方程组中的每个方程。这两者既有联系，也

有区别。

3.注意事项

如果课堂教学中学生没有追问或者提出疑惑,这里建议不展开讨论二元一次方程组解的

情况（唯一解，无解，无数组解）。

【第五环节】课堂小结

1.活动内容

（1）本节课我们学习了哪些知识？

（2）我们是如何认识二元一次方程和二元一次方程组的？

（3）类比一元一次方程，后续我们会继续研究二元一次方程组的哪些知识？

构建框架：

2.活动目的

先引导学生自己总结本节课的知识要点及数学思想、方法，教师再进行补充完善，使学

生的知识系统化。

3.注意事项

在本环节中，教师要给予学生足够的空间让学生畅所欲言，用自己的话进行归纳息结,

通过同伴间相互补充，完善总结。

【第六环节】作业布置

1.活动内容

（1）基础性作业：教科书习题5.1第1,2,3,4,5题。

（2）拓展性作业：

按一定规律排列方程组及其解如下：

x+y=\Ax+y=\,x+y=L

x-y=1；=4：[x-3y=9：

x-1,x-2,x-3,x-

<<<

y=0；[y=-1；[y=-2；[y=

①依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处。

②猜想第〃个方程组和它的解并进行验证。

③若方程组L的解是卜=5,求，〃的值，并判断该方程组是否符合（|）中的

x-my=16[y=-4,

规律。

2.活动目的

通过设计分层作业，让不同层级的学生都能得到发展。

五、教学设计反思

1.突出重点、突破难点的策略

本节课的教学采用“问题情境一建立数学模型一类比探究一应用拓展”的学习模式，引

导学生在自主探索与合作交流的过程中建立二元一次方程组模型，逐步掌握数学基本知识和

基本方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力。

同时，本节课通过建模呈现了研究方程的一般思路，为今后研究其他的方程（一元二次

方程、分式方程）和不等式积累学习经验，提升学生核心素养。

最后，作为章节起始课，本节课重视学生的知识发展规律，注重单元教学理念，基于新

课标，创造性地使用教材，科学地设计探究活动，深化学生对概念的理解。整个教学过程使

学生真正体会到知识的自然发生和发展过程，整体感知二元一次方程组的单元知识结构，从

而突破本节课的重难点。

2.评价方式

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的评价理念，教师在课堂教学中应尊重学

生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，鼓励学生探索方式、表述方式和解题方法等多

样化。在教学活动中，教师应关注学生的参与程度和表现出来的思维水平，如关注学生对二

元一次方程（组）概念的理解水平和解决问题过程中的表述水平，学生对基本知识的掌握情

况和应用二元一次方程（组）的概念解决问题的意识。教学中可通过学生的探究情况和对典

型例题、能力提升等环节的完成情况，分析学生的认知7K平和应用二元一次方程（组）的概

念解决问题的意以和能力水平。对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认

识自我，建立自信，发挥评价的教育功能。

第五章二元一次方程组

2二元一次方程组的解法（第1课时）

一、学习任务分析

二元一次方程组作为衔接一元一次方程与多元一次方程组的关键环节，既巩固了一元一

次方程的学习基础，更为后续学习一次函数、一元二次方程、不等式组，以及复杂的代数系

统奠定了坚实的基础。通过求解二元一次方程组，学生将能够初步掌握利用代数方法解决多

变量的实际问题，培养逻与思维能力与代数运算能力，初步建立数学建模意识。二元一次方

程组的解法基于消元思想，通过将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。木节涵盖的

消元方法有代入消元法和加减消元法。

本节内容共安排2课时，本课为第1课时。基于学生已掌握的二元一次方程（组）基本

概念，并承接上节课“种植问题”情境，引导学生经历自主探究和合作交流的活动，感受代

入消元法的形成过程；通过问题串，引导学生整理与提炼解二元一次方程组的基本思路与步

骤，习得二元一次方程组的解法一一代入消元法。二元一次方程组的解法，其本质思想是消

元，体会”化未知为已知”的化归思想。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：在之前的学习中，学生能进行有理数与整式的运算，会解一元一

次方程，对二元一次方程（组）及其解等基本概念有清晰认知。在应用迁移层面，学生经历

了列一元一次方程解应用题的建模训练，具备通过分析问题并抽象出问题中的等量关系的能

力，可初步建立二元一次方程组模型。这便于学生联想利用一元一次方程解二元一次方程组,

体会将“二元”化归为“一元”的消元思想。尤为关键的是，学生已经掌握了用单变量表示

另一变量的代数变形技能，这为代入消元法奠定了直接的操作基础。

学生的活动经验基础：学生经历了用列举法探索二元一次方程组解的过程，已深刻感知

学习二元一次方程组一般解法的必要性，并具备主动探究与合作交流的意识。然而，由于认

知水平的限制，其归纳概括的能力较弱，解决实际问题的能力仍待提升。

三、教学目标

1.会用代入消元法解二元一次方程组，能用自己的语言归纳出用代入消元法解二元一次

方程组的一般步骤。

2.经历从二元一次方程组到一元一次方程的转化过程，理解.“消元”是解二元一次方程

组的基本思想。

教学重点：会用代入消元法解二元一次方程组。

教学难点：“消元”思想的理解。

四、教学过程设计

【第一环节】问题情境，引入新知

1.活动内容

在上一节的种植问题中，要想知道小明和小颖各栽种了几株绿植，就需要解方程组

x-y=2,①

\r+l=2（y-l）o②

（1）两个方程中的未知数x有什么关系？未知数m呢？

（2）未知数X与未知数j，之间满足什么关系？你能用其中一个未知数表示另一个未知

数吗？

（3）你能设法把这个二元一次方程组转化为一元一次方程吗？与同伴进行交流。

（4）如果将代入方程①会出现什么结果？用这种方法解二元一次方程组有

哪些注意事项？

（5）如何保证所求方程组的解是正确的？如何检验？

分析：（1）同一个方程组中，相同未知数表示同一对象，这里的x都表示小明栽种的

绿植数最，y都表示小颖栽种的绿植数量。

（2）选择利用第①个方程进行变形，因为方程①中x的系数是1,更简单，直接通过

移项就可以得到x=y+2或尸x—2。

（3）将x=y+2代入方程②中，消去未知数x,就可以得到关于y的一元一次方程：y

+2+1=2（），-1）；当然也可以将y=x—2代入方程②中，消去未知数》就可以得到关于

x的一元一次方程：x+l=2（x—2—1）。

（4）如果将y=x—2代入方程①会出现“2=2”这样的恒等式，不能得到关于其中一

个未知数的一元一次方程，无法实现将“二元”方程转化为“一元”方程。

（5）把求出的未知数的值代入原方程组，可以检验所求得的解是否正确。

x-y=2,①

解方程组：

1=2(y-l)o②

解：由①，得y=x-2。③

由下方程组中相同的未知数表示同一对象，所以方程②中的y也等干x—2,可以用工一

2代替方程②中的亦于是有

x+l=2（x-2-l）o④

解一元一次方程④，得x=7°

再把x=7代入③，得y=5。

Ly=2,x=7,

这样，我们就得到二元一次方程组，工，，、的解<

Lx+1=2（y—1）[y=5o

2.活动目的

以“种植问题”这一延续性情境为切入点，基于学生上节课已建立的二元一次方程组

模型，通过未解决的悬念自然导入新知。这一设计旨在保持情境的连贯性，激活学生已有

认知，创设认知冲突，激发探究动机，体现知识的层层递进关系，帮助学生构建完整的知

识体系框架。

规范书写解二元一次方程组的完整过程，实质上就是用询单且准确的数学语言进行表

达的过程，让学生初步感受用代入消元法解决具体问题的完整流程，培养数学语言表达能

力。

3.注意事项

问题（1）（2）（3）是沿用新教材中的问题，问题（4）引导学生意识到用一个未知数

表示另一个未知数后，必须代入另一个没有变形的方程；问题（5）则引导学生进一步感受

方程组的解是使得原方程组成立的未知数的值。

鉴于学生尚未形成对代入消元法的系统化认知，也可以辅以解决问题的路径图。

【第二环节】典例精析，应用新知

1.活动内容

例1解方程组：

3%+2），=14,①

x=y+3。②

问：观察方程组，你会选择消去哪一个未知数来解方程组？为什么？

解：将②代入①，得：3（y+3）+2_v=14,

3y+9+2），=14,

5y=5,

y=l,

将y=l代入②,得x=4（,

所以原方程组的解是；=4・

1'=1・

例2解方程组：

2x+3y=16,①

A+4y=13o②

问：（1）观察方程组，你会选择哪一个方程进行变形后求解？为什么？

（2）尝试利用其他方式变形求解，你有什么发现？

解法一：由②，得x=13—4）%③

将③代入①，得2（13-4〉，）+3尸16,

26-8>-+3y=16,

-5y=-10,

y—2G

将y=2代入③，得x=5o

所以原方程组的解是［*=5'

1y・2・

解法二：由①，得xJ，：）。③

将③代入②，得今起+4），=13,

解得尸2。

将y=2代入③，得x=5o

所以原方程组的解是「一5'

b=2.

2.活动目的

这两个例题的安排体现了先易后难的原则，例I中的方程②已经将戈表示为含有y的

代数式，直接代入方程①即可消去一个未知数x,而例2则需先进行恒等变形。解方程组的

过程中，引导学生通过自主探究与合作交流尝试求解，鼓励学生分享自己的解题策略，进一

步体会消元思想的核心价值以及消元策略的优化选择过程。

3.注意事项

实际上，对于方程组中的任一方程，利用等式的性质都可以用其中一个未知数表示另

一个未知数。但为了计算方便,通常选择未知数的系数税为简单的那个方程进行变形。教

学中，引导学生先观察方程的结构特征，通过与同桌交流选择消去哪一个未知数实现“消

元”，再解方程组。

【第三环节】思考交流，提炼新知

1.活动内容

思考•交流

（1）上面解方程组的基本唐路是什么？主要步骤有哪些？与同伴进行交流°

上面解方程组的基本思路是“消元”一一把“二元”变为“一元”。

主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出

来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这

种解方程组的方法称为代入消化法。

代入消元法的详细步骤如下。

（1）变形：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数。

（选择未知数的系数较为简单的方程进行变形）

（2）代入：用新得到的这个代数式替代另一个方程中相应的未知数。

（将此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程）

（3）求解：解这个一元一次方程，得到其中一个未知数的值。

（4）回代：回代求M另一个未知数的值。

（5）作答：把方程组的解衣示出来。

（6）检验：把求得的解代入每一个方程看是否成立，若是实际问题，还需要注意是否

符合生活实际。

2.活动目的

引导学生梳理用代入消元法解二元一次方程组的基本思路，并归纳概括出代入消元法的

主要步骤，并提醒学生注重细节、理清算理，体会知识之间的关联。

3.注意事项

明确解二元一次方程组的本质是“消元”，实现消元的途径可能不是唯一的，本课重点

掌握利用代入消元的方法将“二元”方程转化为“一元”方程。

【第四环节】学以致用，巩固新知

L活动内容

用代入消元法解卜列方程组:

⑴0一人

x+y=l2.

/、(x^y=\\,(3x-2y=9,

⑶.(4)

Ix+2y=3o

2.活动目的

通过有针对性地解二元一次方程组的训练，巩固用代入消元法解二元一次方程组的方法。

学生独立完成后，可组织“同伴互评”活动，既可以激发学生学习积极性，又能加深学生对

消无思想的认识。

【第五环节】归纳小结，完善新知

1.活动内容

（1）这节课你是怎样求解二元一次方程组的？

（2）这节课你感受到了哪些数学思想？

（3）类比解二元一次方程组的过程，你认为解多元方程组的核心方法是什么？

2.活动目的

引导学生自主总结本课核心知识要点及数学思想方法,通过结构化的梳理明晰知识结构,

完善知识体系，使学生体会用单一知识技能解题是基础，而运用数学思想贯通整个知识体系

才是本课的主要内涵所在。

【第六环节】分层作业，课后延伸

1.活动内容

基础性作业：习题52知识技能第1,3题。

拓展性作业：

2023年5月10□,搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天

发射场点火发射成功。为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观

学习。已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用I辆甲型客车需600元，租

用1辆乙型客车需500元，租车费共8000元，问该校日、乙两种型号客车各租多少辆？

2.活动目的

基于学生认知水平差异设计分层作业，既保留教材基础题型作为基础性作业，又增设发

展性作业，通过梯度任务更好地激活不同层次学生的学习动力，满足不同层次学生的发展需

求。

五、教学设计反思

1.教学方法：紧扣教材，问题串引领

本节课在问题串引领下，引导学生发现求解二元一次方程组的方法是利用代入消元将二

元一次方程组转化为一元一次方程求解，再反代求出另一个未知数。从单一的代入消元延伸

至整体代入消元的思想，在构造知识体系的同时，体现知识的层层递进关系。在结构化设计

的数学活动中，教师着力还原知识形成过程，通过观察比较、合作交流等学习方式，促进学

生深度埋解消元思想，系统掌握二元•次方程组的解法，形成良好的数学思维习惯。

2.核心素养培育

本节课在教材设计的基础上，设置了问题情境，用追问设疑的方式启发学生思考分析、

交流对比。教学中引导学生用已经获取的经验解决新的问题，借助层层递进的问题申，加强

学生对解二元一次方程组基本思路——消元思想的体会。在此思想指导下，遵循从具体到抽

象、从特殊到一般的认知规律，系统建构代入消元法。本节课不仅是解二元一次方程组方法

的学习，更是对消元思想的深度培养，让学生体会用单一知识技能解题是基础，而运用数学

思想贯通整个知识体系才是木课的主要内涵所在。

3.教学评价

对用代入消元法解二元一次方程组的评价，应侧重考察学生能否根据方程组的结构特

征，灵活选择适当的代入方法求出二元一次方程组的解；尊重学生之间思维习惯、学习能力

和学习水平等方面的差异，根据不同学生的情况进行针对性的指导，注重对学生活动过程的

评价，只要合理都应给予鼓励和肯定，帮助学牛树立学习数学的白信。同时，教师可以在小

组合作中为学生提供生生评价的平台，让学生间学会质疑、讨论和互相欣赏。

附：板书设计

5.2.1求解二元一次方程组

一代入消元法

3x+2>-=14,①

1.求解二元一次方程组的基本思路:例1解方程组

x=y+3o②

消元

解：将②代入①，得：3(v+3)+2y=14

“二元方程”------>“一元方程”

2解.二元一次方程组的步骤：解得：>=1

(1)变形

将y=l代入②得：A=4

(2)代入

A=4

(3)求解・•・原方程组的解是、

(4)回代

(5)作答

(6)检验

第五章二元一次方程组

2二元一次方程组的解法（第2课时）

一、学习任务分析

“二元一次方程组的解法”是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方

程组”的第2节。本节内容共安排2个课时，第1课时引导学生用一个未知数表示另一个

未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，理解代入消元法，体验消元思路与

化归思想。本节课为第2课时，通过代入消元法解系数不为I的二元一次方程组，感受学

习加减消元法的必要性；比较加减消元法和代入消元法的特点，归纳解二元一次方程组的

基本思路和主要步骤，积累解方程组的经验。教材通过问题链设计揭示消元本质，引导学

生体会”化未知为已知”的化归思想，在解决问题的过程中锻炼学生的思维能力，为后续

学习线件方程绢及平面解析几何等知识奠定基础。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生在七年级已学习了解一元一次方程。经过上一课时的学

习，学生会用代入消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，掌握了代入消元法

解二元一次方程组的主要步骤，并体会到解二元一次方程组的本质是“消元”。

学生的活动经验基础：学生在之前的学习中，已经经历了探索用消元法解二元一次方

程组的过程，积累了一定的解方程组经验。八年级学生已具备在数学活动中大胆发表见

解、独立思考和合作交流的经验。

三、教学目标

1.经历对二元一次方程组解法的探索，体会加减消元法的必要性。

2.能用加减消元法解二元一次方程组，了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体

会”化未知为已知”的化归思想。

教学重点：用加减消元法解二元一次方程组。

教学难度：感受学习加减消元法的必要性，并理解其基本原理。

四、教学过程设计

【第一环节】问题情境，引入新知

1.活动内容

怎样解下面的二元•次方程组呢？

3x+5y=21,®

,2x-5y=-llo②

（1）你能用代入消元法解上面这个二元一次方程组吗？你是怎么做的？与同伴进行交

流。

（2）两个方程中的未知数），的系数有什么特点？

（3）除了代入消元法以外，你还能用其他方法把这个方程组从“二元”化为“一元”

吗？这样做的道理是什么？

方法1：方法2：方法3

5v-ll

把②变形，得x二」一，把②变形得5y=2x+ll,①+②，得5X=10,

2

代入①，得x=2o

代入①，得3R+2X+11=21,

也卢+511,将工=2代入①，得

x=2。

6+5），=21,

y=3o将x=2代入①，得

6+5y=21,y=3。

将y=3代入①，得

x=2,

3x+15=21,y=3o原方程组的解是1c

x=2oy=3o

2.活动

通过设置问题串，引导学生回顾用代入消元法解二元一次方程组的过程，并基于方程组

的系数特征，引出对新的消元法的探究，为探索加减消元法作铺垫。在活动中，教师要引导

学生关注不同解法的异同，体会用“消元”思想解二元一次方程组方法的多样性，初步感知

本题用加减消元求解的简捷性。

3.注意事项

本题可以以问题“你为怎样解这个二元一次方程组？”引导学生自主建构解题路径，生

成用加减消元法解二元一次方程组的基本步骤，体会消元的思想。

【第二环节】典例精析，应用新知

1.活动内容

2r-5y=7,①

例I解方程组：=i②

o

解：②一①，得8），=—8,

y=一lo

将＞，=_］代入①，得2x+5=7,

X—lo

所以原方程组的解是JX=L

y=-L

2A+3V=12,①

例2解方程组：kiz1「

3x+4y=17。②。。。

解：①X3,得6x+9y=36。③

②X2,得6x+8y=34。④

0oo

③-④，得y=2。

将y=2代入①，得工=3。

x=3,

所以原方程组的解是。

y=2o

2.活动目的

例1通过将两式相减可直接消去未知数x,例2则需根据最小公倍数将两个方程中其中

一个未知数的系数均化为相同的数再进行求解。两道例题均采用加减消元法求解，设计具有

层次感。

3.注意事项

教师要引导学生观察二元一次方程组中相同未知数系数的特征，利用等式的性质探索加

减消元法的主要步骤；让:学生发现不同未知数系数的特征，并选择合适的未知数，把系数化

为相等（或相反）的数，在最后教师要提醒学生检验，确保正确求解。

【第三环节】思考交流，提炼新知

1.活动内容

思考-交流

上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？与同伴进行交流。

上面解方程组的基木思路仍然是“消元”。.主要步骤是通过两式相加（或相减）消去其

中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法。

回顾-反思

回顾求解方程组的过程，你积累了哪些经验？

2.活动目的

归纳加减消元法的基本思路是“消元”，主要步骤是通过两式相加(或相减)消去其中

一个未知数。

3.注意事项

加减消元法是“消元”的技能之一，消元的思路是把“二元”变为“一元”。针对基础

薄弱的学生，把归纳加减消元法的基本步骤作为课堂重点内容：针对基础较好的学生，让学

生体验代入消元法和加减消元法的方法选择，淡化步骤，强化“消元”的思想。

【第四环节】学以致用,巩固新知

1.活动内容O

(1)用加减消元法解下列方程组:O

[7x-2y=3,

|9.v+2y=-19；

(2)解下列方程组：

…3(x+2)+5(y+l)=2L(3。+1)+5(丁-1)=21,

①2,

2(x—3)—5(y—2)=—11；[2(x+1)—5(y—1)=-1L

2.活动目的

第一组练习明确提出用加减消元法解下列方程，检测学生对加减消元法的掌握情况，归

纳解二元一次方程组的两种方法的共同特点是“消元”.

第二组题干中没有对如何消元提出要求，需要学生通过观察方程组特点，把未知数变成

多项式，整理方程组或整体换元，再选择合适的方法解方程组。

3.注意事项

教师对学生要有及时的指导和点评，对有困难的学生，要及时帮扶与鼓励。

【第五环节】归纳小结，完善新知

1.活动内容

【回顾•反思】

（1）本节课解二元一次方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？

（2）回顾这两节课解二元一次方程组的过程，你积累了哪些经验？

构建框架：

2.活动目的

学生自主总结本节课的知识要点及数学思想和方法，师生相互补充。

3.注意事项

学生先主动用自己的语言归纳总结，接着小组之间相互补充提炼，然后教师在此基础上

进行补充，最终形成系统的用“消元”法解方程组的思路，强化对代入消元法和加减消元法

算理的理解。

【第六环节】分层作业，课后延伸

1.活动内容

基础性作业：

习题5.2第2,4题。

拓展性作业：

（1）习题5.2第5题。

（2）请根据习题5.2第5题（1）的二元一次方程组，编制一道实际问题。

2.活动目的

设计分层作业供不同水平的学生选择，使每个学生都能学有所获。

五、教学设计反思

1.重视研究教材，遵循学生认知规律

本节课作为解二元一次方程组的技能训练，教材通过问题情境引导学生用己掌握的代入

消元法解二元一次方程组，类比感受加减消元法的必要性；此情境设计有利于学生积累消元

的一般路径，为后续学习更复杂方程组奠定基础。

本节课的例1,例2呈现了二元一次方程组中两个方程的相同未知数系数相等或互为相

反数的情形。为了贴近学生的认知水平，在“学以致用：巩固新知”环节设计了两道习题，

习题1减少了二元一次方程组系数特征的探索，强化了加减消元方法的提炼，是对例2的拔

高训练，突出了解二元一次方程组的基本步骤：消元、求解、检验，培养学生解方程组的严

谨思维。习题2是问题情境中二元•次方程组的变式，从变式1改变系数到变式2改变未知

数，解题过程可用不同的方法，但方程组的解题思路始终不变，凸显转化与换元的思想。

本节课整体设计遵循学生已有的知识结构和认知规律，以变式2作为分界点，前面突出

技能训练，后面侧重数学思维的训练，可根据学生的特征选择性使用。

2.突出学生主体，多元激励评价

教师通过给出主问题“怎样解下面的二元一次方程组呢？"，激发学生讨论和训练，引

导学生主动归纳提炼，体现学生的主体地位。课堂教学口，教师应尊重学生的个体差异，满

足多样化的学习需要，鼓励学生探索方式、表述方式和解题方法的多样化，支持学生对不同

方法进行比较和评判，培养学生批判思维。

教学活动中要聚焦用加减消亓法解二元一次方程组的技能训练,教师要关注学牛的参与

程度和思维水平，及时对学生进行帮助和积极评价。评价旨在帮助学生认识自我、建立自信，

充分发挥评价的学科育人功能。在进行评价时，要体现评价方式的多样化，重点关注学生的

过程性评价，不可只局限于结果评价。

附：板书设计

二元一次方程组的解法（二）

怎样解下面的二元一次方程组呢？例题：

3x+5y=21①5X4-3^=21①

2x-5y=-11②2x-5y=-\\②

法1：法2：法3：变式2：

3(x+2)+5(y+l)=21

解方程组的基本思路：—2(x-3)-5(y-2)=-ll

加减消元步骤：__________

第五章二元一次方程组

3二元一次方程组的应用（第1课时）

一、学习任务分析

列二元一次方程组解决简单的实际问题，是代数领域的一个重要内容，也是数学联系现

实生活的一个重要方面。本节课通过创设丰富的情境，引导学生经历从实际问题中抽象出二

元•次方程（组）的过程，通过解方程（组）解决实际问题，进•步提高学生的应用意识和

问题解决能力。

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”第3节第1课

时，以经典的“雉兔同笼”问题为背景，引导学生经历用算术方法、一元一次方程以及二元

一次方程组解决实际问题的过程。通过对比分析，体会用二元一次方程组建立模型解决实际

问题的必要性和重要价值，并在用二元一次方程组解决实际问题的过程中总结一般性策略。

因此，在学习过程中应更多的关注对算术方法、列一元一次方程和列二元一次方程组等方法

的意义理解与对比分析，以及在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养夕1方程

组解决现实问题的意识和能力。同时，将解方程组的技能与实际问题的解决融为一体，进一

步提高学牛借助方程匆解决实际问题的能力。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：在学习本节课之前，学生已经学习了二元一次方程（组）的概念

及解法，以及列二元一次方程组解应用题的部分内容，能正确地分析和理解现实问题的题意,

并匣清简单的已知量和未知量之间的数量关系，初步具备了用方程组解决简单实际问题的能

力。

学生的活动经验基础：在小学阶段，学生学习过用算术方法解决“雉兔同笼”的问题,

积累了一定的分析实际问题的经验。在七年级上册，学生通过对一元一次方程及应用的学习，

积累了一定利用方程模型解决实际问题的经验，掌握了解决现实问题的基本思想和方法。

三、教学目标

1.能分析简单实际问题中的数晟关系，建立方程组解决问题。

2.经历和体验列方程组解决实际问题的过程，积累利用二元一次方程组解决实际问题的

一般策略，体会方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和模型

意识。

教学重点：能分析简单问题中的数量关系，建立方程组解决问题。

教学难点：理解用算术方法、•元一次方程与二元•次方程组解决实际问题的差异，体

会用二元一次方程组解决实际问题的价值意义及一般策略。

四、教学过程设计

【第一环节】情境引入

1.活动内容

《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有

九十四足。问：雉兔各几何？

（1）这个问题涉及哪些量？

（2）这些量之间有怎样的等量关系？

（3）你能列方程组解决这个有趣的问题吗？你是怎么做的？与同伴进行交流。

追问：你能用一元一次方程或小学的算术方法求解这个问题吗？

2.活动目的

以中国经典的“雉兔同笼”问题为例引入课题，为梳理算术方法、一元•次方程和二元

一次方程组之间的关系埋卜.伏笔，激发学生的学习积极性，增强学生的文化自信。

通过问题串引领，启发学牛从实际问题中获取关键信息,思考、分析问题中包含的量及

等量关系，并引导学生从算术方法，一元一次方程及二元一次方程组等多种方法尝试解决问

题。

3.注意事项

在解决实际问题的过程中引导学生分析问题中包含的等量关系。

“雉兔同笼”问题对很多学生来说并不陌生，学生在小学阶段或在学习一元一次方程时

可能就研究过这一问题。教学时，教师可以鼓励学生列一元一次方程或用小学学过的算术方

法求解，并对解决这一问题的不同方法进行比较，思考这些方法之间的区别和联系。

【第二环节】探索新知

1.活动内容

尝试•思考

列方程组求解下面的问题：

若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则中拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得

到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？［选自意

大利数学家斐波纳奇（Leonard。Fibonacci,约1170—约1240）的《计算之书》］

（1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？

（2）你能列方程组解决这个问题吗？你是怎么做的？

（3）你能用一元一次方程或小学学过的算术方法求解吗？你觉得哪种方法更简单？

2.活动目的

以问题串的形式引导学生层层递进地匣清题目中的数量关系，通过对等量关系和未知量

的分析，引导学生体会设两个未知数相较于设一个未知数，在数学表达和降低思维难度上的

优越性，进•步强化用二元•次方程组解决实际问题的价值与意义，同时帮助学生在问题解

决的过程中形成建立方程组的策略，从而提高学生分析问题和解决问题的能力，发展学生运

用数学解决问题的意识。

3.注意事项

此问题为古算题，计算结果为分数，为保留古算题的原貌，在数据上可向学生作筒单说

明。

【第三环节】典例精析

L活动内容：

例1今有甲、乙怀饯，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。

问：甲、乙怀钱各几何？（选自《张斤・建算:经》）

题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余

的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱？

追问：题目中有哪些等量关系？你能用含未知量的式子表示这些等量关系吗？

回顾以上几个问题的解决过程，思考：

列二元一次方程组解决实际问题的基本思路和策略是什么？与同伴进行交流。

思考-交流

列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系？与同伴进

行交流。

2.活动目的

例1在新知应用的基础上，川中国古算题进一步巩固利用二元一次方程组解决实际问

题，强化建立方程组的策略，提高学生分析问题和解决问题的能力，发展学生运用数学模型

解决问题的意识。

“思考•交流”要求学生结合本节课的学习，思考列二元一次方程组解决问题与列一元

一次方程解决问题之间的区别和联系，力图让学生体会学习二元一次方程组的必要性和优越

性，逐步形成对相关学习内容的结构化认识。

3.注意事项

例1为古算题，需要学生先理解题意，再从实际情境中抽象出数学模型，并利用二元一

次方程组解决问题。

在“思考•交流”环节需要让学生感受到，列二元一次方程组解决问题与列一元一次方

程解决问题的基本思路、基本思考策略是一致的，如都需要分析问题中涉及的各种量，以及

量与量之间的等量关系，并抓住主要等量关系。它们的主要区别在于所设未知数