2025-2026学年北师大版高二数学上学期期末必刷常考题之排列问题

2025・2026学年上学期高二数学北师大期末必刷常考题之排列

问题

一.选择题（共6小题）

1.2025年10月西宁市大通回族土族自治县首次全面摸清野生动物资源“家底”，标志着生物多样性保护

进入科学化、精细化新阶段.某校野生动物兴趣小组在野生动物宣传周后合影留念，2名指导老师和5

名学生排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（）

A.5040种B.1440种C.720种D.360种

2.某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班

的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（）

A.36种B.72种C.144种D.288种

3.甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（）

A.6B.12C.24D.36

4.已知〃EN",若54；=3c泰t，贝IJ〃=（）

A.1B.2C.3D.1或3

5.某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑

三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（）

A.12B.18C.24D.32

6.公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率n的范围是:3.14I5926<TT<3.1415927,为纪念祖冲之在圆周

率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手

机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1,4,1,5,9,2进行某种排列得到密码.如果排列

时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（）个.

A.180B.240C.300D.360

二.多选题（共3小题）

（多选）7.中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西

岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山.小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则

（）

A.3人选择的地点均不同的方法总数为6（）

B.恰有2人选一个地方的方法总数为15

C.恰有1人选泰山的概率是我

D.若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为商

（多选）8.3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（）

A.任意站成一排，有120种排法

B.学生不相邻，有24种排法

C.教师相邻，有48种排法

D.教师不站在两边，有72种排法

（多选）9.现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A,B,C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则

下列说法正确的是（）

A.不同的安排方法共有34种

B.若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有6（24-1）种

C.若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种

D.若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种

三.填空题（共4小题）

10.甲、乙、丙、丁4人排成一列.且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法共有种.

II.从2到7这6个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增

大，则满足条件的三位数的个数是.

12.某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班

的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有种.（用数字作答）

13.随着杭州亚运会的举办，吉祥物“踪琮”、“莲莲”、“岚宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要

与“琮踪”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物相邻的排队方法数为.（用

数字作答）

四,解答题（共2小题）

14.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A,8,。三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目.

（1）共有多少种不同的报名方法？

（2）若甲、乙报同一项目，丙不报A项目，则有多少种不同的报名方法？

15.现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种

不同的站法？

（1）老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；

（2）4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端：

(3)2名老师之间必要有男女学生各1人.

2025・2026学年上学期高二数学北师大版（2019）期末必刷常考题之排列

问题

参考答案与试题解析

一,选择题（共6小题）

题号123456

答案BCBCCC

二.多选题（共3小题）

题号789

答案ACACACD

一.选择题（共6小题）

1.2025年10月西宁市大通回族土族自治县首次全面摸清野生动物资源“家底”，标志着生物多样性保护

进入科学化、精细化新阶段.某校野生动物兴趣小组在野生动物宣传周后合影留念，2名指导老师和5

名学生排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（）

A.5040种B.1440种C.720种D.360种

【考点】部分元素相邻的排列问题.

【专题】对应思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】B

【分析】利用捆绑法即可求解.

【解答】解：先将2位老师看作一个整体与5名学生全排，有维=720种，

2位老师排列有心=2种情况，

所以2位老师相邻时不同的排法共有720X2=1440种.

故选:B.

【点评】本题考查排列组合的应用，相邻问题采用捆绑法，属于基础题.

2.某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班

的2名同学相邻，旦乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（）

A.36种B.72种C.144种D.288种

【考点】部分元素不相邻的排列问题.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法

计数原理即可求解.

【解答】解：将6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻，

可以分两步完成：

第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有用掰=12种站法；

第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有用=12种站法.

根据分步乘法计数原理，不同的站法共有12X12=144和

故选：C.

【点评】本题考查了排列组合及简单计数问题，重点考查了捆绑法及插空法，属基础题.

3.甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（）

A.6B.12C.24D.36

［考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】B

【分析】根据位置优先，先安排第一个位置，再排其他位置，利用分步乘法计数原理即可求解.

【解答】解：已知甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，

先安排第一个位置有2种排法，再排后面的3个位置有房种排法，

根据分步乘法计数原理共有：2房=12种排法.

故选：B.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

4.已如〃WN*,若5人3=3或八一1，贝I〃=（）

A.IB.2C.3D.1或3

【考点】排列及排列数公式.

【专题】方程思想；转化法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析】根据排列组合公式列方程求参数

【解答】解：依题意可知，”的值不小于2,

所以5九（>-1）=3XQ九TJ2n-2）,由此解得〃=3.

故选：C.

【点评】本题主要考查排列数和组合数的计算，属于基础题.

5.某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑

三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（）

A.12B.18C.24D.32

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】运动思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析】根据题意可计算所有的安排情况，再减去甲•个人在短跑场或甲和另•人在短跑场两种情况即

可.

【解答】解：已知甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场

地至少安排一人,

则将四人分为1,1,2三组，有=6组，再分到三个场地，共有6房=36种方法,

若甲一个人在短跑场，则有六属=6种情况,

若甲和另一人在短跑场，则有弓房=6种情况,

则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为36-6-6=24种.

故选：C.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

6.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率n的范围是：3.1415926<n<3.1415927,为纪念祖冲之在圆周

率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手

机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1,4,I,5,9,2进行某种排列得到密码.如果排列

时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（）个.

A.180B.240C.300D.360

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析】利用特殊位置优先处理及相同元素定位计算得到答案.

【解答】解：先排数字9得出有心乂废=600种，

因为有两个1,

600

所以总数有300种.

A2

故选：C.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数原理，属基础题.

二,多选题（共3小题）

（多选）7.中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西

岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山.小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则

（）

A.3人选择的地点均不同的方法总数为60

B.恰有2人选一个地方的方法总数为15

C.恰有1人选泰山的概率是摄

D.若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为II

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题；古典概型及其概率计算公式.

【专题】整体思想；综合法：概率与统计；排列组合；运算求解.

【答案】AC

【分析】由排列及排列数的计算即可判断4由分步计数乘法原理及组合即可判断由古典概型概率

公式即可判断C；由对立事件的概率即可判断D.

【解答】解：小明与其父母共3人计划在假期出游，每人在东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、

中岳嵩山中选一个地方，

对于A,3人选择的地点均不同的方法总数为胆=60,

故A正确；

府于从恰有2人选一个地方的方法总数为废xAj=60,

故〃错误；

对于C,恰有I人选泰山的方法总数为6X42=48,

又所有的方法数为5?=125,

48

所以恰有1人选泰山的概率是二二，

125

故C正确；

._,4416

对于£）,父母都不选择去泰山的概率为二x-=—,

5525

所以小明己选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率二w，

故。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考杳了古典概型概率公式，属中档题.

（多选）8.3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（）

A.任意站成•排,有120种排法

B.学生不相邻,有24种排法

C.教师相邻,有48种排法

D.教师不站在两边，有72种排法

【考点】部分元素不相邻的排列问题.

【专题】整体思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】AC

【分析】根据全排列可求得人，根据不相邻问题用插空法可求得A，根据相邻问题用捆绑法可求得C,

根据特殊位置优先排可求得D.

【解答】解：任意站成一排，有猫=120种排法，A正确；

先排老师，然后插空，即彩心=12种排法，8错误；

教师相邻用捆绑，即掰掰=48种排法，C正确；

教师不站两边，先将两边排上学生，剩卜.的人全排列，即题咫=36种排法，。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查排列的应用，属于基础题.

（多选）9.现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A,B,。三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则

下列说法正确的是（）

A.不同的安排方法共有34种

B.若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有它（24-1）种

C.若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有！4种

D.若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】ACD

【分析】对A,利用分步乘法京理判断；对B,首先从3项工作中选1项无人参加，再将4人安排到两

项工作，计算可判断；对C,分组只有（1、1、2）这种情况，分甲乙同组与甲乙不同组两种情况，即

可判断；对。，先分组只有（1、1、2）这种情况，再分配计算判断.

【解答】解：现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加4,从。三项工作，且每个同学只能参加一项工作，

对于A,安排4人参加3项工作，每人有3种安排方法，则有34种安排方法，故A正确；

对于8,恰有一项工作无人去参加，则首先从3项工作中选1项无人参加有心,

再将4人安排到两项工作有（24-2）种，故一共有6（24-2）种安排方法，故8错误；

对于C,每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，

若甲、乙同组，则有屐•膨=4种，

若甲、乙不同组，则废-1=5种分组方法，又甲乙不能去参加A项工作，

则安排不含甲乙的一组参加工作4剩下的两组安排参加夙C两项工作，则5属=10种，

综上，一共有4+10=14种安排方法，故C正确；

对于。，每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，先分组，再分配，

则不同的安排方法有服?它•用=36种,故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

三.填空题（共4小题）

10.甲、乙、丙、丁4人排成一列.且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法共有12种.

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】12.

【分析】结合分步乘法计数原理求解即可.

【解答】解：甲、乙、丙、丁4人排成一列.且甲、乙均不在第一个位置，

则不同的排法共有6=12种.

故答案为：12.

【点评】本题考查了分步乘法计数原理，属基础题.

II.从2到7这6个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增

大,则满足条件的三位数的个数是20.

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】对应思想：综合法；排列组合；运算求解.

【答案】20.

【分析】根据题意利用组合数求解即可.

【解答】解：从2到7这6个数字中任取3个不同的数，由于要求三位数的百位到个位数字依次增大,

因此，每一组取出的3个数，按从小到大排列只有1种排列方式.

因此，满足条件的三位数的个数等价于从6个数字中选3个的组合数，

故答案为：20.

【点评】本题考查组合的应用，属于基础题.

12.某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班

的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有144种.（用数字作答）

【考点】部分元素不相邻的排列问题.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】144.

【分析】根据排列组合相关知识可解.

【解答】解：若甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻，

则将甲班2位同学看作整体，有掰=2种排法，

再与丙班2位同学进行全排列有“=6种排法，

最后将乙班2位同学插入4个空中，有照=12种排法，

贝IJ共有2X6X12=144种排法.

故答案为：144.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

13.随着杭州亚运会的举办，吉祥物“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要

与“琮踪”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物相邻的排队方法数为144.（用

数字作答）

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】144.

【分析】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动

员形成的一个空位中，结合排列数的计算公式，即可求解.

【解答】解：先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3

位运动员形成的一个空位中，

所以不同的排队方法种数为胆x屐x“二144（种）.

故答案为：144.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

四,解答题（共2小题）

14.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A,8,C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目.

（1）共有多少种不同的报名方法？

（2）若甲、乙报同一项目，丙不报人项目，则有多少种不同的报名方法？

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】（1）81：

（2）18.

【分析】（1）结合分步乘法计数原理求解即可；

（2）结合分步乘法计数原理求解即可.；

【解答】解：（1）已知甲、乙、丙、丁四名同学报名参加48,C三个智力竞赛项目，每个人都要报

名旦只能参加一个项目，

贝I」共有3X3X3X3=81种不同的报名方法；

（2）甲、乙报同一项目，丙大报A项目，

则有2X3X3=18种不同的报名方法.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考杳了分步乘法计数原理，属基础题.

15.现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种

不同的站法？

（1）老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；

（2）4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；

（3）2名老师之间必要有男女学生各1人.

【考点】部分元素不相邻的排列问题.

【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】（1）96；（2）1728；（3）3840.

【分析】（1）按照特殊元素先排的原则即可；（2）互不相邻问题，利用插空法；（3）利用捆绑法即可.

【解答】解：（1）由题意可得共兆掰题=2x2x24=96种不同的站法.

（2）先排老师和女学生共有另种站法，再排男学生甲有©种站法，

最后排剩余的3名男学生有属种站法，所以共有所然盾=24x3x24=1728种不同的站法.

（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有©口鹿种站法，两老师的站法有心种，

再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有星种，

所以共有的心掰盛福=2x4x2x2x120=3840种不同的站法.

【点评】本题考查排列组合的应用，属于中档题.

考点卡片

1.古典概型及其概率计算公式

【知识点的认识】

1.定义：如果一个试验具有下列特征：

（I）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；

<2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的.

则称这种随机试验的概率模型为古典概型.

*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就

可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.

2.古典概率的计算公式

如果一次试验中可能出现的结果有〃个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率

都是一；

n

1

如果某个事件4包含的结果有6个，那么事件人的概率为P（4）=三=八中防，叫片岁数.

n基本事件总数

【解题方法点拨】

1.注意要点：解决占典概型的问题的关键是：分清基本事件个数〃与事件A中所包含的基本事件数.

因比要注意清楚以下三个方面：

（I）本试验是否具有等可能性：

（2）本试验的基本事件有多少个；

（3）事件4是什么.

2.解题实现步骤：

（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料•，加深理解题意；

（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件4

<3）分别求出基本事件的个数〃与所求事件人中所包含的基本事件个数〃1；

（4）利用公式P（人）=与求出事件4的概率.

3.解题